<< Предыдущая

стр. 87
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

µ? ?


С помощью простых, хотя и довольно громоздких рассуждений, удается по-
строить общее решение системы ДУЧП (15). Подставляя найденный результат
в (14) с учетом тождеств Фирца–Паули
? ? ? ?
(??)2 ? (?Sµ? ?)(?S µ? ?) + (??4 ?)2 = 0,
? ? ? ?
(??µ ?)(?? µ ?) ? (??µ ?4 ?)(??4 ? µ ?) = 0,
? ? ? ?
(??)2 ? (??µ ?4 ?)(??4 ? µ ?) ? (??4 ?)2 = 0,
получаем утверждение теоремы.
Замечание. Нетрудно убедиться, что уравнение Гейзенберга является частным
случаем уравнений (8), (13).
Теорема 2. Уравнение (8) инвариантно относительно расширенной группы Пу-
анкаре P (1, 3), если и только если F (? ? , ?) имеет вид (13), причем
?

Fi = (??)?1/2k Fi , i = 1, 2,
? ?
(16)
Fj = (??)?(1+2k)/2k Fj , j = 3, 4,
? ?

??
? ?
где F1 , . . . , F4 — произвольные функции от ??/??4 ?.
Теорема 3. Уравнение (8) инвариантно относительно конформной группы
C(1, 3), если и только если F (? ? , ?) имеет вид (13), (16) при k = ?3/2.
Доказательство двух последних утверждений проводится с помощью метода
Ли (см. [33, 34]), мы его опускаем. Отметим лишь, что достаточность теоремы 3
может быть установлена непосредственной проверкой, обозначим

G(? ? , ?) = ?µ pµ ? + (F1 + F2 ?4 )(??)1/3 +
?
? ?
(17)
+ [F3 ? µ (??4 ?µ ?) + F4 S µ? (??4 Sµ? ?)](??)?2/3 ?.
? ? ?
? ?

Тогда справедливы следующие тождества:
G(? ? , ? ) = e?5/2? G(? ? , ?), (18)
376 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

если ? ? , ? имеют вид (10) при k = ?3/2;
G(? ? , ? ) = ? 2 (x)[1 ? (? · ?)(? · x)]G(? ? , ?), (19)
если ? ? , ? имеют вид (11). Из (18), (19) следует, что уравнение инвариантно
относительно групп преобразований (10), (11), что и требовалось доказать.
? ? ? ?
Замечание. Если положить в (16) F2 ? F3 ? F4 ? 0, F1 = ? = const, k = ?3/2,
то мы получим конформно-инвариантное спинорное уравнение Гюрши (5).
Как уже отмечалось во введение, существуют пуанкаре-инвариантные спинор-
ные уравнения, принципиально отличные от уравнений вида (8). Одной из таких
моделей является система нелинейных ДУЧП (7), на множетсве решений которой
реализуется представление бесконечномерной алгебры Ли. Этот факт дает возмо-
жность построить общее решение уравнения (7). Используя классические методы
интегрирования систем ДУЧП первого порядка с одинаковой главной частью (см.,
например, [37]), получаем, что общее решение спинорного уравнения (7) задается
следующими формулами:
F ? (xµ (j · j) ? jµ (j · x), ?, ? ? ) = 0,
?
где jµ = ??µ ?; F ? : R4 ? C4 ? C4 > C1 — произвольные дифференцируемые
(в смысле действительного анализа) функции.

Анзацы для спинорного поля
В этом разделе изложен метод построения анзацев (9), редуцирующих уравне-
ния вида (8) к ДУЧП меньших размерностей. Построены анзацы для спинорного
?
поля, инвариантные относительно расширенной группы Пуанкаре P (1, 3).
Постановка задачи. Будем говорить, что анзац (9) редуцирует уравнение (8)
к ДУЧП меньшей размерности, если существуют четырехрядные матрицы R(x),
R1 (?), R2 (?), R3 (?), Q(?, ?, ?? ), для которых справедливо равенство
??
[?µ pµ ? + F (? ? , ?)?]|?=A(x)?(?) = R(x) Ri (20)
+ Q? .
??i
Из (20) следует, что если ?(?) удовлетворяет уравнению
??
(21)
Ri + Q? = 0,
??i
то дираковский спинор, построенный по формуле (9), является решением исходно-
го уравнения (8).
Следовательно, задача состоит в построении возможно более широких классов
анзацев, удовлетворяющих условию (20). Подставляя анзац (9) в левую часть
равенства (20) и приравнивая матричные коэффициенты при ??/??i , получаем
уравнения на ?i (x), A(x):
?A
i?µ = RH(?),
?xµ
??a (22)
i?µ A = RRa (?), a = 1, 3,
?xµ
F ((A?)? , A?)A = R(x)Q(?, ?, ?? ),
? ?
Q + H = Q.
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 377

На первый взгляд, система ДУЧП (22) ничуть не проще, чем (8). Тем не менее
теоретико-алгебраические методы дают эффективный алгоритм для построения
широких классов частных решений системы (22). Из общей теории инвариантных
решений следует, что если матрица A(x) и скалярные функции ?1 (x), ?2 (x), ?3 (x)
удовлетворяют условиям
?A
QA(x) ? ? µ (x) (23)
+ ?(x)A = 0,
?xµ
??a
Qd ?a ? ? µ (x) (24)
= 0, a = 1, 3,
?xµ
где Q — оператор симметрии уравнения (8), то анзац (9) редуцирует (8) к тре-
хмерному ДУЧП (см. [33, 38, 39]).
Сформулируем теперь общую схему построения решений нелинейного уравне-
?
ния Дирака, инвариантного относительно расширенной группы Пуанкаре P (1, 3).
В качестве оператора Q выбираем линейную комбинацию базисных операторов
?
алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре AP (1, 3):
Q = cµ? Jµ? + c00 D + cµ Pµ , (25)
где Pµ = igµ? ?x? , Jµ? = xµ P? ? x? Pµ + Sµ? , D = xµ P µ + ik, cµ? , c00 , cµ —
?

константы, µ, ? = 0, 3.
Решая систему ДУЧП (23), (24) с Q из (25), находим анзацы вида (9). Подста-
новка последних в (8) приводит к ДУЧП, зависящим от трех переменных ?1 , ?2 ,
?3 . Решая полученные уравнения и подставляя результаты в (9), находим точные
решения исходного ДУЧП (8).
Таким образом, задача построения точных решений нелинейного уравнения
Дирака разбивается на два этапа. Содержанием первого из них является инте-
грирование ДУЧП (23), (24) и построение анзацев (9). На втором этапе ищутся
частные решения редуцированных ДУЧП.
Мы реализуем эту схему для нелинейного уравнения Дирака вида
?
?µ pµ + ?(??)1/2k ?(x) = 0. (26)

Построение матриц A(x). Для того чтобы найти явный вид матрицы A(x),
необходимо проинтегрировать систему ДУЧП (23) с оператором Q вида (25).
Но (23) — это система 16 уравнений с переменными коэффициентами, решить
ее стандартными методами непросто. Поэтому, прежде чем интегрировать систе-
му (23), упростим ее, воспользовавшись инвариантностью нелинейного уравне-
?
ния (26) относительно расширенной группы Пуанкаре P (1, 3). Для этого сделаем
в (23) следующую замену:
(27)
A (x) = exp{?}A(x),
где ? = ?µ? Jµ? + ?00 D + ?µ Pµ , ?µ? , ?00 , ?µ = const.
Причем ? выбирается таким образом, чтобы уравнение на A (x) имело наиболее
простой вид. Из (23), (27) нетрудно получить, что A (x) удовлетворяет системе
ДУЧП вида
(28)
[exp{?}Q exp{??}]A (x) = 0.
378 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

Следовательно, необходимо выбрать параметры ?µ? , ?00 , ?µ так, чтобы оператор
(29)
Q = exp{?}Q exp{??}
имел наиболее простой вид. Эта задача решается следующей теоремой, которую
мы приводим без доказательства.
Теорема 4. Оператор (25) с помощью преобразования (29) может быть приве-
ден к одному из операторов вида
= J01 + J12 ? aD;
1. Q
2. Q = J01 + J12 + P0 + ?P3 ;
3. Q = J01 + J12 + ?P3 ;
= J23 ? aD;
4. Q
= J01 + bJ23 ? aD;
5. Q
= J01 + bJ23 ? D ? ?P0 ;
6. Q
(30)
7. Q = J01 + P2 ;
8. Q = J23 + ?1 P0 + ?2 P1 ;
9. Q = D;
10. Q = P0 + P 3 ;
11. Q = P0 ;
12. Q = P3 ,
где a, b, ?1 , ?2 — произвольные действительные параметры.
Таким образом, вместо того чтобы решать систему (23) с оператором Q общего
вида, достаточно решить систему (28) с операторами Q вида (30), что значительно
проще.
Рассмотрим, например, оператор Q = J01 + J12 ? aD, для него система (28)
имеет вид
? ? ? ?
?axµ + (x2 ? x0 ) ? x1 + +
?xµ ?x1 ?x0 ?x2
(31)
1
+ (?0 ?1 + ?1 ?2 ) ? ak A(x) = 0.
2
Решение (31) ищем в виде
A(x) = f (x) exp{g(x)?1 (?2 ? ?0 )}. (32)
Подставляя (32) в (31), получаем следующую систему для определения f (x),
g(x):
?axµ fxµ + (x2 ? x0 )fx1 ? x1 (fx0 + fx2 ) ? akf = 0,
(33)
1
?axµ gxµ + (x2 ? x0 )gx1 ? x1 (gx0 + gx2 ) + = 0.
2
Частное решение уравнений (33) дается формулами
1
f (x) = (x0 ? x2 )?k , ln(x0 ? x2 ),
g(x) = a = 0,
2a
x1
(x0 ? x2 )?1 ,
f (x) = 1, g(x) = a = 0.
2
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 379

Подставляя полученный результат в (32), находим A(x):
1
A(x) = (x0 ? x2 )?k exp ?1 (?0 ? ?2 ) ln(x0 ? x2 ) ,
a = 0,
2a
x1
?1 (?0 ? ?2 ) .
a = 0, A(x) = exp
2(x0 ? x2 )
Матрицы A(x), соответствующие остальным операторам из (30), находятся
аналогично, приводим окончательный результат:
1
a = 0, A(x) = (x0 ? x2 )?k exp ?1 (?0 ? ?2 ) ln(x0 ? x2 ) ,
1.
2a
x1
?1 (?0 ? ?2 ) ;
a = 0, A(x) = exp
2(x0 ? x2 )
1
(x0 ? x2 )?1 (?0 ? ?2 ) ;
2. A(x) = exp
2
x3
?1 (?0 ? ?2 ) ;
3. A(x) = exp
2?
1 x2
?k/2
exp ? ?2 ?3 arctg
A(x) = x2 + x2
4. ;
2 3
2 x3
?k/2
a = 0, a = ?1, A(x) = x2 ? x2 ?
5. 0 1

1 1 x2
? exp ?0 ?1 ln(x0 + x1 ) ? ?2 ?3 arctg ,
2(a + 1) 2 x3
(34)
?k/2
a = ?1, A(x) = x2 ? x2 ?
0 1

1 1 x2
? exp ? ?0 ?1 ln(x0 ? x1 ) ? ?2 ?3 arctg ,
4 2 x3
1 1 x2
?0 ?1 ln(x0 + x1 ) ? ?2 ?3 arctg
a = 0, A(x) = exp ;
2 2 x3
A(x) = (2x0 + 2x1 + ?)?k/2 ?
6.
1 1 x2
? exp ?0 ?1 ln(2x0 + 2x1 + ?) ? ?2 ?3 arctg ;

<< Предыдущая

стр. 87
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>