<< Предыдущая

стр. 88
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

4 2 x3
1
7. A(x) = exp ?0 ?1 ln(x0 + x1 ) ;
2
1 x2
A(x) = exp ? ?2 ?3 arctg
8. ;
2 x3
A(x) = x?k I; 10–12. A(x) = I,
9. 0

где I — единичная матрица размерности 4 ? 4.
Анзацы для уравнения (26). Для того чтобы построить инвариантные пере-
менные ?1 (x), ?2 (x), ?3 (x), необходимо проинтегрировать систему ДУЧП (23),
взяв в качестве ? µ (x) коэффициенты операторов (30). Интегрирование системы
380 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

(24) проводится стандартными методами теории линейных ДУЧП первого поряд-
ка, мы приводим полученный результат в виде таблицы, где ??1 ?1 + ?2 ?2 = 1.
Таблица 1
?1 (x) ?2 (x) ?3 (x)
№ п/п
x2 ? x2 ? x2 x?2 (x0 ? x2 )x?1 ax1 (x0 ? x2 )?1 ? ln(x0 ? x2 )
1.1 0 1 2 3 3

x2 ? x2 ? x2
x0 ? x2
1.2 x3 0 1 2

2x1 + (x0 ? x2 )2 3x3 + 3x1 (x0 ? x2 ) + (x0 ? x2 )3
x3 + ?(x0 ? x2 )
2
x2 ? x2 ? x2
x0 ? x2 ?x1 ? (x0 ? x2 )x3
3 0 1 2
?1
x0 x?1 ln x2 + x2 + 2 arctg x2 + x2 x2 ? x2
x2
4 2 3 2 3 0 1
1 x3
?a?1 ?1
x2 ? x2 x2 ? x2 x2 + x2 b ln x2 + x2 + 2a arctg x2
?
5.1 0 1 0 1 2 3 2 3 x3

?(x0 + x1 )2a
?1
x2 ? x2 x2 + x2 b ln x2 + x2 ? 2 arctg x2
x0 + x1
5.2 0 1 2 3 2 3 x3

x2 ? x2 x2 + x2 x2
b ln (x0 + x1 ) + arctg
5.3 0 1 2 3 x3
?1
(2x0 + 2x1 + ?) x2 + x2 b ln x2 + x2 + 2 arctg x2
(2x0 + 2x1 + ?)?
6 2 3 2 3 x3
2
? exp (x1 ? x0 )
?

x2 ? x2 ln(x0 + x1 ) ? x2
7 x3
0 1

x2 + x2 x2
arctg + ?1 x 0 + ?2 x 1 ?2 x 0 + ?1 x 1
8 2 3 x3

x1 x?1 x2 x?1 x3 x?1
9 0 0 0

x0 + x1
10 x2 x3
11 x1 x2 x3
12 x0 x1 x2

Подставляя формулы (34) и результаты из табл. 1 в (9), получаем набор анза-
?
цев, инвариантных относительно расширенной группы Пуанкаре P (1, 3):
1
1.1. ?(x) = (x0 ? x2 )?k exp ?1 (?0 ? ?2 ) ln(x0 ? x2 ) ?(? 1.1 ); (35)
2a
x1
?1 (?0 ? ?2 ) ?(? 1.2 ); (36)
1.2. ?(x) = exp
2(x0 ? x2 )
1
?1 (?2 ? ?0 )(x2 ? x0 ) ?(? 2 ); (37)
2. ?(x) = exp
2
x3
?1 (?2 ? ?0 ) ?(? 3 ); (38)
3. ?(x) = exp
2?
1 x2
?k/2
exp ? ?2 ?3 arctg
4. ?(x) = x2 + x2 (39)
?(? 4 );
2 3
2 x3
?k/2
5.1. ?(x) = x2 ? x2 ?
0 1
(40)
1 1 x2
? exp ?0 ?1 ln(x0 + x1 ) ? ?2 ?3 arctg ?(? 5.1 );
2(a + 1) 2 x3
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 381

?k/2
5.2. ?(x) = x2 ? x2 ?
0 1
(41)
1 1 x2
? exp ? ?0 ?1 ln(x0 ? x1 ) ? ?2 ?3 arctg ?(? 5.2 );
4 2 x3
1 1 x2
?0 ?1 ln(x0 + x1 ) ? ?2 ?3 arctg (42)
5.3. ?(x) = exp ?(? 5.3 );
2 2 x3

6. ?(x) = (2x0 + 2x1 + ?)?k/2 ?
(43)
1 1 x2
? exp ?0 ?1 ln(2x0 + 2x1 + ?) ? ?2 ?3 arctg ?(? 6 );
4 2 x3
1
(44)
7. ?(x) = exp ?0 ?1 ln(x0 + x1 ) ?(? 7 );
2
1 x2
8. ?(x) = exp ? ?2 ?3 arctg (45)
?(? 8 );
2 x3

9. ?(x) = x?k ?(? 9 ); (46)
0

(47)
10. ?(x) = ?(? 10 );

(48)
11. ?(x) = ?(? 11 );

(49)
12. ?(x) = ?(? 12 ),

? i — набор инвариантов из табл. 1 под номером i.
Редуцированные уравнения. Подставляя анзацы (35)–(49) в нелинейное урав-
нение Дирака (26), получаем редуцированные уравнения для определения ?(?),
общая структура которых такова:
i(f aµ (?)?µ )??a + i(g µ (?) + ?4 hµ (?))?µ ? + ?(??)1/2k ? = 0, (50)
?
где f aµ , g µ , hµ — рациональные функции от ?1 , ?2 , ?3 , µ = 0, 3, a = 1, 3. Выпишем
полученные уравнения:
k(?2 ? ?0 )? + [(?0 ? ?2 )(?1 + a?2 ?2 ?3 ) + (?0 + ?2 )?2 ?
22 2
1.1.
? 2a?1 ?1 ?3 ?2 ? 2?3 ?1 ?2 ]??1 + [(?0 ? ?2 )?2 ? ?3 ?2 ]??2 +
2 2
(51)
+ [a?1 + (?2 ? ?0 )(?3 + 1)]??3 = i?(??) 1/2k
? ?;
1 ?1
? (?0 ? ?2 )? + (?0 ? ?2 )??1 + ?3 ??2 +
1.2.
21 (52)
?1
+ [(?0 + ?2 )?1 + (?0 ? ?2 )?3 ?1 ]??3 = i?(??)1/2k ?;
?

[?3 + ?(?0 ? ?2 )]??1 + 2?1 ??2 +
2.
(53)
3
+ (2?2 + (?0 ? ?2 )?2 )??3 = i?(??)1/2k ?;
?
2
1 2
?4 (?2 ? ?0 )? + (?0 ? ?2 )??1 + (?0 + ?2 )?1 ? ?1 ?3 +
3.
2? ? (54)
?1
?2
+ (?0 ? ?2 )(? ??2 + (??1 ? ?3 ?1 )??3 = i?(??)
2 1/2k
?3 + ?2 )?1 ? ?;
382 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

1
(1 ? 2k)?3 ? + (?1 ?3 )1/2 (?0 ? ?1 ?1 )??1 + 2(?3 + a?2 )??2 +
4.
2 (55)
1/2 ?1/2
+ [2?3 ? (?0 + ?1 ?1 )?3 ?1 ]?3 ??3 = i?(??)1/2k ?;
?

1/2(a+1) 1/2(a+1)
?k(?0 ch ln ?1 ? ?1 sh ln ?1
5.1. )+
1 1
?1/2(a+1) 1/2
+ ?3 ?2 ? ?
+ (?0 + ?1 )?1
2(a + 1) 2
(56)
1/2(a+1) 1/2(a+1)
? 2(a + 1)(?0 ch ln ?1 ? ?1 sh ln ?1 )?1 ??1 +
1/2(a+1) 1/2(a+1) 3/2
? ?1 sh ln ?1 ) ? ?2 ?3 ]??2 +
+ 2[?2 (?0 ch ln ?1
1/2
+ 2(a?2 + b?3 )?2 ??3 = i?(??)1/2k ?;
?

1 1
1/2 1/2 1/2 1/2
?k(?0 ch ln ?1 ? ?1 sh ln ?1 ) + (?0 ? ?1 )?1 + ?3 ?2 ? +
5.2.
4 2
(57)
1/2 1/2 1/2
+ (?0 + ?1 )?1 ??1 + [2?2 (?0 ch ln ?1 ? ?1 sh ln ?1 ) ?
1/2 1/2
? ?3 ?2 ]??2 + 2?2 (b?3 ? ?2 )??3 = i?(??)1/2k ?;
?

1 ?1/2
)? + [?0 (?1 + 1) + ?1 (?1 ? 1)]??1 +
5.3. (?0 + ?1 + ?3 ?2
2 (58)
?1/2 ?1/2
]??3 = i?(??)1/2k ?;
+ 2?3 ?2 ??2 + [b(?0 + ?1 ) + ?2 ?2 ?

1 1/2
[(1 ? 2k)(?0 + ?1 ) + ?3 ?2 ]? + 2?1 [?(?0 + ?1 ) + ?0 ? ?1 ]??1 +
6.
2 (59)
1/2 1/2
+ 2?2 [(?0 + ?1 ) ? ?3 ?2 ]??2 + 2?2 (?2 + b?3 )??3 = i?(??)1/2k ?;
?

1
(?0 + ?1 )? + [(?0 + ?1 )?1 + ?0 ? ?1 ]??1 +
7.
(60)
2
+ (?0 + ?1 ? ?2 )??2 + ?3 ??3 = i?(??)1/2k ?;
?

1 ?1/2 ?1/2
1/2
8. ?3 ?1 ? + 2?3 ?1 ??1 + (?1 ?0 + ?2 ?1 + ?2 ?1 )??2 +
2 (61)
+ (?2 ?0 + ?1 ?1 )??3 = i?(??)1/2k ?;
?

?k?0 ? + (?a ? ?0 ?a )??a = i?(??)1/2k ?; (62)
9. ?

(?0 + ?3 )??1 + ?1 ??2 + ?2 ??3 = i?(??)1/2k ?; (63)
10. ?

?a ??a = i?(??)1/2k ?; (64)
11. ?

<< Предыдущая

стр. 88
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>