<< Предыдущая

стр. 89
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?0 ??1 + ?1 ??2 + ?2 ??3 = i?(??)1/2k ?, (65)
12. ?
??
где ??a = ??a , a = 1, 3.
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 383

Следующим этапом нашего алгоритма является редукция полученных систем
ДУЧП к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Общая структу-
ра получаемых при этом систем нелинейных ОДУ такова:
d?
if µ (z)?µ + i[g µ (z)?µ + hµ (z)?µ ?4 ]? + ?(??)1/2k ? = 0,
?
dz
где f µ , g µ , hµ — рациональные функции от z = z(?1 , ?2 , ?3 ).
Если в ДУЧП (51) положить ? = ?(?2 ), то для нахождения спинора ?(?2 )
получаем следующую систему ОДУ:

k(?2 ? ?0 )? + [(?0 ? ?2 )?2 ? ?3 ?2 ]??2 = i?(??)1/2k ?,
2
(66)
?

если же выбрать ? = ?(?3 ), получаем систему ОДУ вида

k(?2 ? ?0 )? + [a?1 + (?2 ? ?0 )(?3 + 1)]??3 = i?(??)1/2k ?. (67)
?

Аналогичные рассуждения, будучи примененными к уравнениям (52)–(65), да-
ют набор систем нелинейных ОДУ (в скобках указан номер ДУЧП, из которого
получается рассматриваемое уравнение):
1 ?1
(?0 ? ?2 )??1 + ?1 (?0 ? ?2 )? = i?(??)1/2k ?; ((52), 68)
?
2

[?3 + ?(?0 ? ?2 )]??1 = i?(??)1/2k ?; ((53), 69)
?

2?1 ??2 = i?(??)1/2k ?; ((53), 70)
?

2?(?0 ? ?2 )??1 + ?4 (?2 ? ?0 )? = 2i??(??)1/2k ?; ((54), 71)
?

1
(1 ? 2k)?3 ? + 2(?3 + a?2 )??2 = i?(??)1/2k ?; ((55), 72)
?
2
1 ?1/2 ?1/2
??2 = i?(??)1/2k ?; ((58), 73)
(?0 + ?1 + ?3 ?2 )? + 2?3 ?2 ?
2
1 1/2
[(1 ? 2k)(?0 + ?1 ) + ?3 ?2 ]? +
2 ((59), 74)
1/2
+ 2?2 (?0 + ?1 ? ?3 ?2 )??2 = i?(??)1/2k ?;
?

1
(?0 + ?1 )? + [(?0 + ?1 )?1 + ?0 ? ?1 ]??1 = i?(??)1/2k ?; ((60), 75)
?
2
1
(?0 + ?1 )? + (?0 + ?1 ? ?2 )??2 + ?3 ??3 = i?(??)1/2k ?; ((60), 76)
?
2
1
(?0 + ?1 )? + ?3 ??3 = i?(??)1/2k ?; ((60), 77)
?
2
1 ?1/2 1/2
?3 ? + 2?3 ?1 ??1 = i?(??)1/2k ?; ((61), 78)
?1 ?
2

?k?0 ? + (?a ? ?0 ?a )??a = i?(??)1/2k ?; ((62), 79)
?
384 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

(?0 + ?3 )??1 = i?(??)1/2k ?; ((63), 80)
?
?a ??a = i?(??)1/2k ?; ((64), 81)
?
?0 ??1 = i?(??)1/2k ?, ((65), 82)
?
(по a нет суммирования).
Если удается проинтегрировать одно из уравнений (66)–(82), то подстановка
полученного результата в соответствующий анзац (35)–(49) дает точное решение
нелинейного уравнения Дирака (26). Замечательным является то обстоятельство,
что решения некоторых нелинейных систем ОДУ (66)–(82) удается построить в
явном виде. Это связано с широкой группой инвариантности, допускаемой исхо-
дным ДУЧП (26).
Точные решения нелинейного уравнения Дирака. В силу того что системы
(66)–(82) являются нелинейными, стандартные методы интегрирования ОДУ к
ним неприменимы. Поэтому в каждом конкретном случае приходится использовать
специфические приемы, мы приведем один из наиболее характерных.
“Линеаризуем” систему (69) следующим образом:
d?
[?3 + ?(?0 ? ?2 )] = i?(f (?1 ))1/2k ?,
d?1 (83)
?? = f (?1 ).
?
Первое уравнение без труда интегрируется, его общее решение имеет вид
?1
?(?1 ) = exp ?i? (f (z))1/2k dz[?3 + ?(?0 ? ?2 )] ?,

где ? — произвольный постоянный спинор.
Используя второе условие из (83), получаем
f (?1 ) = ?? = ??,
? ?
следовательно, общее решение (69) имеет следующий вид:

? = exp ?i?(??)1/2k [?3 + ?(?0 ? ?2 )]?1 ?. (84)
?

Совершенно аналогично получаем общее решение системы ОДУ (70):
i?
? = exp ? (??)1/2k ?1 ?2 ?. (85)
?
2
Подстановка (84), (85) в формулу (37) дает точные решения нелинейного урав-
нения Дирака (26):
1
?1 (?0 ? ?2 )(x0 ? x2 ) ?
?(x) = exp
2 (86)
? exp ?i?[?3 + ?(?0 ? ?2 )](??) (x3 + ?(x0 ? x2 )) ?;
1/2k
?

1
?1 (?0 ? ?2 )(x0 ? x2 ) ?
?(x) = exp
2
(87)
i?
? exp ? (??)1/2k ?1 (2x1 + ?(x0 ? x2 )2 ) ?.
?
2
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 385

Обратимся теперь к системе (68). Умножив ее слева на матрицу (?0 ? ?2 ) и
воспользовавшись тождеством (?0 ? ?2 )2 = 0, получим условие совместности этой
системы

(?0 ? ?2 )? = 0.

Несложно показать, что если ? удовлетворяет этому условию, то ?? = 0. Сле-
?
? = ?? = 0, т.е. множитель (??)1/2k , определяющий нелинейный
?
довательно, ?? ?
характер ДУЧП (26), равен нулю. Такие решения мы не рассматриваем.
Кроме указанных случаев удается проинтегрировать системы ОДУ (71), (72)
(при (k ? 1/2)a = 0), (76)–(78), (80)–(82). При этом системы (71), (80) приводят к
?
решениям с ?? = 0.
Подстановка полученных результатов в формулы (35)–(49) дает следующие
классы точных решений нелинейного уравнения Дирака:

1 1 x2
, ?(x) = (x2 + x2 )?1/4 exp ? ?2 ?3 arctg ?
k= 2 3
2 2 x3
(88)
??
? x2
? exp ?i? (?3 + a?2 ) ln(x2 + x2 ) + 2a arctg ?;
2 3
2(1 + a2 ) x3

1 1 x2
, ?(x) = (x2 + x2 )?1/4 exp ? ?2 ?3 arctg ?
k= 2 3
2 4 x3
(89)
2i?k
? exp (x2 + x2 )(2k?1)/4k ?3 (??)1/2k ?;
?
1 ? 2k 2 3


1
?0 ?1 ln(x0 + x1 ) ?
k = 0, ?(x) = exp
2
(90)
1
? exp (?0 + ?1 )?2 ? i?(??)1/2k (?0 + ?1 ? ?2 ) (ln(x0 + x1 ) ? x2 ) ?;
?
2

1
?0 ?1 ln(x0 + x1 ) ?
?(x) = exp
2
(91)
i
? exp ?i?3 ?(??)1/2k + (?0 + ?1 ) x3 ?;
?
2

?(x) = exp ?i?(??)1/2k ?1 x1 ?; (92)
?


?(x) = exp i?(??)1/2k ?0 x0 ?. (93)
?

Построенные решения обладают тем недостатком, что переменные xµ входят
в них несимметрично, в то время как в нелинейном уравнении Дирака (26) все
переменные равноправны. На физическом языке это означает, что система (26)
решается в фиксированной системе отсчета. Чтобы получить решения (точнее,
семейства решений), не зависящие от системы отсчета, необходимо “размножить”
?
(86)–(93) с помощью преобразований из расширенной группы Пуанкаре P (1, 3) (о
размножении решений см., например, [13, 25]).
386 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

Мы осуществим процедуру размножения решения (87), в остальных случаях
рассуждения аналогичны. Формула размножения решений с помощью преобразо-
ваний, генерируемых оператором J01 , имеет вид
?
?2 (x) = exp ? ?0 ?1 ?1 (x ), ? = const,
2
x0 = x0 ch ? + x1 sh ?, x1 = x1 ch ? + x0 sh ?, x2 = x2 , x3 = x3 .
Применяя эту формулу к (87), получаем:
? 1
?2 (x) = exp ? ?0 ?1 exp ?1 (?0 ? ?2 )(x0 ch ? + x1 sh ? ? x2 ) ?
2 2
(94)
i?
? exp ? (??) ?1 (2x1 ch ? + 2x0 sh ? + (x0 ch ? + x1 sh ? ? x2 ) ) ?.
1/2k 2
?
2
Перепишем (94) в эквивалентном виде:
? 1
?2 (x) = exp ? ?0 ?1 exp ?1 (?0 ? ?2 )(x0 ch ? + x1 sh ? ? x2 ) ?
2 2
? ? i?
? exp ?0 ?1 exp ? ?0 ?1 exp ? (??)1/2k ?1 [2x1 ch ? + 2x0 sh ? +
?
2 2 2
? ?
+ (x0 ch ? + x1 sh ? ? x2 )2 ] exp ?0 ?1 exp ? ?0 ?1 ?.
2 2
Принимая во внимание тождества
?
? ?0 ch ? + ?1 sh ?, ? = 0,
? ?
exp ? ?0 ?1 ?? exp ?2 ch ? + ?0 sh ?, ? = 1,
?0 ?1 =
?
2 2
?? , ? = 2, 3,
окончательно получаем:
1
(?1 ch ? + ?0 sh ?)(?0 ch ? + ?1 sh ? ? ?2 ) ?
?2 (x) = exp
2
i?
? (x0 ch ? + x1 sh ? ? x2 ) exp ? (??)1/2k (?1 ch ? + ?0 sh ?) ?
?
2
? [2x1 ch ? + 2x0 sh ? + (x0 ch ? + x1 sh ? ? x2 )2 ] ?,
?
?
? = exp ? ?0 ?1 ?.

<< Предыдущая

стр. 89
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>