<< Предыдущая

стр. 9
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
ций P? порождают коммутативный идеал N , причем AP (1, n) = N + AO(1, n).
Пусть C такая матрица порядка n+2 над R, что отображение ?C : X > CXC ?1
является автоморфизмом AP (1, n). Если C ? G, G ? P (1, n), то ?C называется
G-автоморфизмом. Если C = diag (?E, 1) (? ? R, ? > 0), то автоморфизм ?C
называется гомотетией.
Подалгебры K и K алгебры AP (1, n) называются P (1, n)-сопряженными, если
?C (K) = K для некоторого P (1, n)-автоморфизма ?C алгебры AP (1, n).
Отождествим N с U , сопоставив Pi n + 1-мерный столбец с единицей на
i-ом месте и с нулями на остальных местах (i = 0, 1, . . . , n). Элементы AO(1, n)
считаем матрицами порядка n + 1. При таком подходе [X, Y ] = X · Y для любых
X ? AO(1, n), Y ? N .
Пусть W — невырожденное подпространство пространства U . Если F — по-
далгебра AO(W ), то тождественное отображение F является представлением F
в AO(W ). Будем называть его тривиальным представлением F в AO(W ). Подал-
гебра F ? AO(W ) называется неприводимой, если тривиальное представление F
в AO(W ) является неприводимым. Подалгебра F ? AO(W ) называется вполне
приводимой, если ее тривиальное представление вполне приводимо.
Теорема 1. Максимальные подалгебры алгебры AO(1, n) исчерпываются отно-
сительно O(1, n)-сопряженности максимальными неприводимыми подалгебра-
ми и такими алгебрами: AO(n); AO(1, k) ? AO (n ? k), где AO (n ? k) =
Jab | a, b = k + 1, . . . , n , k = 2, . . . , n ? 1; G1 , . . . , Gn?1 + (AO(n ? 1) ? J0n ),
?
где Ga = J0a ? Jan (a = 1, 2, . . . , n ? 1).
Доказательство. Пусть F — подалгебра алгебры AO(1, n), U1 — подпространс-
тво пространства U , инвариантное относительно F . Если U1 — вырожденное
пространство, то оно содержит одномерное F -инвариантное изотропное подпро-
странство W , сопряженное P0 + Pn . В этом случае F является подалгеброй
алгебры L = {X ? AO(1, n) | (? Y ? W )(XY ? W )}. Нетрудно получить, что
?
L = G1 , . . . , Gn?1 + (AO(n?1)? J0n ). Если U1 — невырожденное пространство,
то оно является псевдоевклидовым или евклидовым пространством. На основании
теоремы Витта нормализатор U1 в AO(1, n) сопряжен с одной из алгебр: AO(n),
AO(1, k) ? AO (n ? k). Теорема доказана.
Пусть AE(n) = P1 , . . . , Pn + AO(n), AE (k) = Pk+1 , . . . , Pn + AO (n ? k),
? ?
? ? 1) — расширенная алгебра Галилея с базисом: M = P0 + Pn , P0 , P1 , . . .,
AG(n
Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 , Jab (a, b = 1, . . . , n ? 1). Согласно теореме 1 описание подал-
гебр алгебры AP (1, n) сводится к описанию относительно P (1, n)-сопряженности
?
подалгебр алгебр AE(n), AP (1, k) ? AE (n ? k), AG(n ? 1)+ J0n , а также алгебр
?
?
U + F , где F — неприводимая подалгебра алгебры AO(1, n).
Пусть ? — проектирование алгебры AP (1, n) на AO(1, n), F — подалгебра
? ? ?
AO(1, n), F — такая подалгебра алгебры AP (1, n), что ?(F ) = F . Если алгебра F
О непрерывных подгруппах обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) 37

?
P (1, n)-сопряжена алгебре W + F , где W есть F -инвариантное подпространство
? будем называть расщепляемой в алгебре AP (1, n). Если
пространства U , то F
? ?
любая подалгебра F ? AP (1, n), удовлетворяющая условию?(F ) = F , является
расщепляемой, то будем говорить, что подалгебра F обладает только расщепля-
емыми расширениями в алгебре AP (1, n). Аналогично определяется расщепляе-
мость подалгебр и для других алгебр неоднородных преобразований.
Предложение 1. Пусть L = G1 , . . . , Gn?1 + (AO(n ? 1) ? J0n ), где Ga =
?
J0a ? Jan (a = 1, 2, . . . , n ? 1). Подалгебра F ? AO(n ? 1) ? J0n обладает
только расщепляемыми расширениями в L тогда и только тогда, когда F —
полупростая алгебра или F не сопряжена подалгебре алгебры AO(n ? 2).
Нетрудно установить, что если n — нечетное число, то AO(1, n) обладает отно-
сительно O(1, n)-сопряженности только одной максимальной разрешимой подалге-
брой:
G1 , . . . , Gn?1 , J12 , J34 , . . . , J2k?1,2k , J0n (2k = n ? 1).
Если n — четное число, то AO(1, n) обладает двумя максимальными разреши-
мыми подалгебрами:
J12 , J34 , . . . , Jn?1,n ;
G1 , . . . , Gn?1 , J12 , J34 , . . . , Jn?3,n?2 , J0n .
Отсюда и из предложения 1 получаем описание максимальных абелевых подал-
гебр алгебры AO(1, n).
Предложение 2. Максимальные абелевы подалгебры алгебры AO(1, n) исчер-
пываются относительно O(1, n)-сопряженности такими алгебрами:
1) n = 2k + 1: J12 , J34 , . . . , Jn?2,n?1 , J0n ; G1 , G2 , . . . , Gn?1 ;
G1 , G2 , . . . , G2m , J2m+1,2m+2 , . . . , Jn?2,n?1 (m = 1, . . . , k ? 1);
2) n = 2k: J12 , J34 , . . . , Jn?1,n ; J12 , J34 , . . . , Jn?3,n?2 , J0n ;
J12 , J34 , . . . , Jn?3,n?2 , Gn?1 ; G1 , G2 , . . . , Gn?1 ;
G1 , . . . , G2m , Gn?1 , J2m+1,2m+2 , . . . , Jn?3,n?2 (m = 1, . . . , k ? 1).

3. Вполне приводимые подалгебры
Теорема 2. Если n ? 2, то неприводимая подалгебра алгебры AO(1, n) является
полупростой и некомпактной.
Доказательство. Пусть F — неприводимая подалгебра алгебры AO(1, n). Тогда
F = Z(F ) ? Q, где Z(F ) — центр, а Q — фактор Леви. Если F — абсолютно
неприводимая алгебра, то в силу леммы Шура Z(F ) = 0. Если F не является
абсолютно неприводимой алгеброй, то при Z(F ) = 0 получаем, что dim Z(F ) = 1
и квадрат ненулевой матрицы из Z(F ) совпадает с (??2 )E, ? = 0, где ? ? R.
Последнее противоречит предложению 1. Значит, F — полупростая алгебра.
Если F — компактная алгебра, то существует такая симметрическая матрица
C ? GL(n + 1, R), что C ?1 F C ? AO(n + 1). Так как exp(C ?1 F C) = C ?1 · exp F · C,
то в O(n + 1) существует неприводимая группа, которая одновременно сохраняет
x2 +x2 +· · ·+x2 и ?2 x2 ??2 x2 ?· · ·??2 x2 (?0 , ?1 , . . . , ?n — ненулевые вещественные
n nn
0 1 00 11
числа). Полученное противоречие и доказывает вторую часть теоремы.
Предложение 3. Приводимая подалгебра F алгебры AO(1, n) является вполне
приводимой тогда и только тогда, когда она сопряжена подалгебре одной из
алгебр: AO(n), AO(n ? 1) ? J0n или алгебре L1 ? L2 , где L1 — неприводимая
подалгебра алгебры AO(1, k) (k > 1), а L2 — подалгебра алгебры AO (n ? k).
38 Л.Ф. Баранник, А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Предложение 3 является следствием предложения 1, теоремы 2 и того факта,
что Ga действует не вполне приводимо на пространстве P0 + Pn , Pa .
Предложение 4. Вполне приводимая подалгебра F алгебры AO(1, n) обладает
только расщепляемыми расширениями в алгебре AP (1, n) тогда и только то-
гда, когда F полупроста или не сопряжена подалгебре одной из алгебр: AO(n),
AO(1, n ? 1).
Пусть ? — тривиальное представление вполне приводимой подалгебры F ал-
гебры AO(1, n), не сопряженной подалгебре алгебры AO(n ? 1) ? J0n . Тогда
? = ?1 +· · ·+?m , где ?i — неприводимое представление F в AO(Wi ) (i = 1, . . . , m).
Положим Fi = {diag (O, . . . , ?i (X), . . . , O | X ? F }. Тогда Fi — неприводимая по-
далгебра алгебры AO(Wi ). Если Fi = 0, то алгебру Fi будем называть неприводи-
мой частью алгебры F . Если ?i и ?j суть эквивалентные представления, то будем
предполагать, что для любого X ? F имеет место равенство ?i (X) = ?j (X).
Объединив эквивалентные ненулевые подпредставления, мы получим ненулевые
дизъюнктные примарные подпредставления представления ?. Соответствующие им
подалгебры алгебры AO(1, n), построенные по тому же правилу что и неприводи-
мые части Fi , будем называть примарными частями алгебры F .
Теорема 3. Пусть K1 , K2 , . . . , Kq — примарные части ненулевой вполне приво-
димой подалгебры F алгебры AO(1, n), V — подпространство U , инвариантное
?
относительно F . Тогда V = V1 ?· · ·?Vq ? V , где Vi = [Ki , Vi ] = [Ki , V ], [Kj , Vi ] =
?
0 при j = i, V = {X ? V | [F, X] = 0}. Если примарная алгебра K являе-
тся подпрямой суммой неприводимых подалгебр S1 , S2 , . . . , Sr соответственно
алгебр AO(W1 ), AO(W2 ), . . . , AO(Wr ), то относительно O(1, n)-сопряженности
ненулевые подпространства W пространства U с условием [K, W ] = W исчер-
пываются пространствами: W1 , W1 ? W2 , . . . , W1 ? W2 ? · · · ? Wr .
?
Доказательство. Разложение V = V1 ? · · · ? Vq ? V вытекает из теоремы Гурса о
подалгебрах прямой суммы алгебр Ли. Пусть K — примарная часть алгебры F . В
силу предложения 3 можно предполагать, что K — примарная подалгебра алгебры
AO(n). На основании леммы Шура нетрудно доказать, что если Q — неприводимая
?
подалгебра алгебры AO(m), то группа автоморфизмов алгебры P1 , . . . , Pm + Q
разлагается в прямое произведение группы E(m)-автоморфизмов и группы гомо-
тетий. Отсюда вытекает второе утверждение теоремы.
? ?
На основании теоремы 3 описание подалгебр F ? AP (1, n), для которых ?(F )
— вполне приводимая алгебра, не сопряженная подалгебре алгебры AO(n ? 1) ?
J0n , сводится к описанию неприводимых подалгебр алгебр AO(1, k) и AO(k)
?
(k = 2, 3, . . . , n). Остальные случаи сводятся к случаю алгебры AG(n ? 1)+ J0n .
?

4. Подалгебры алгебры Галилея
Алгебра Галилея AG(n) определяется такими коммутационными соотношения-
ми:
[Jab , Jcd ] = ?ad Jbc + ?bc Jad ? ?ac Jbd ? ?bd Jac , [Pa , Jbc ] = ?ab Pc ? ?ac Pb ,
[Pa , Pb ] = 0, [Ga , Jbc ] = ?ab Gc ? ?ac Gb , [Ga , Gb ] = 0, [Pa , Gb ] = 0,
[P0 , Jab ] = [P0 , Pa ] = 0, [Ga , P0 ] = Pa (a, b, c, d = 1, 2, . . . , n).
?
Эта алгебра является факторалгеброй расширенной алгебры Галилея AG(n) по
?
центру M . Через AG(n) обозначим изохронную алгебру Галилея, т.е. алгебру,
получаемую из AG(n) в результате удаления P0 .
О непрерывных подгруппах обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) 39

Предложение 5. Подалгебра F ? AO(n) обладает только расщепляемыми ра-
?
сширениями в алгебре AG(n) тогда и только тогда, когда F полупроста или
не сопряжена подалгебре алгебры AO(n ? 1).
?
Алгебра AG(n) является подпрямой суммой двух алгебр Евклида P1 , . . . , Pn
? ?
+ AO(n), G1 , . . . , Gn + AO(n). Поэтому справедливость предложения 5 вытека-
ет из предложения 1.
Предложение 6. Пусть m = [n/2], ? = 0 при n = 2m, ? = 1 при n = 2m + 1.
Максимальные абелевые подалгебры алгебры AG(n) исчерпываются относи-
тельно G(n)-сопряженности такими алгебрами:
P0 , P1 , . . . , Pn ; G1 + ?P0 , P1 , P2 , . . . , Pn (? > 0);
G1 , . . . , Gn , P1 , . . . , Pn ; P0 , ?Pn , J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m ;
Gn , Pn , J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m (n = 2m + 1);
J12 , J34 , . . . , J2a?1,2a , P0 , P2a+1 , . . . , Pn (a = 1, . . . , m ? 1);
J12 , J34 , . . . , J2a?1,2a , P2a+1 , . . . , Pn , G2a+1 , . . . , Gn (a = 1, . . . , m ? 1);
J12 , J34 , . . . , J2a?1,2a , G2a+1 + ?P0 , P2a+1 , . . . , Pn (? > 0, a = 1, . . . , m ? 1).
Доказательство. Относительно G(n)-сопряженности алгебра AG(n) обладает то-
лько одной максимальной разрешимой подалгеброй:
K = P0 , P1 , . . . , Pn , G1 , . . . , Gn , J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m .
Пусть L — максимальная абелевая подалгебра AG(n). Тогда L ? K. Если прое-
кция L на P0 отлична от нуля, то P0 ? L и проекция L на G1 , . . . , Gn является
нулевой или проекция L на векторное пространство P0 , G1 , . . . , Gn совпадает с
G2s+1 + ?P0 . Нетрудно получить, что проекция L на J2d?1,2d , P2d?1 , P2d , G2d?1 ,
G2d совпадает с J2d?1,2d или с подалгеброй алгебры P2d?1 , P2d , G2d?1 , G2d .
Значит, L сопряжена одной из алгебр, выписанных в формулировке предложения.
Каждая подалгебра F алгебры AO(n) является вполне приводимой алгеброй
Ли линейных преобразований пространства P1 , . . . , Pn , G1 , . . . , Gn . Как и в тео-
?
реме 3, получаем, что описание подалгебр алгебры AG(n) сводится к нахожде-
нию неприводимых подалгебр алгебр AO(m) (m = 2, . . . , n) и к классифика-
ции пространств, получаемых склеиванием неприводимых относительно данной
алгебры F ? AO(m) подпространств соответственно пространств P1 , . . . , Pn ,
G1 , . . . , Gn .
Отметим, что в [11] описаны относительно G(3)-сопряженности все подалгебры
алгебр Галилея AG(3). Получена также классификация подалгебр расширенной
алгебра Галилея. Эти результаты уточняют классификацию, проведенную в [12].
? ?
Вместо S1 + F, . . . , Sm + F будем употреблять запись F : S1 , . . . , Sm . Пусть
Va = Pa , . . . , Pb , Wa = Ga , . . . , Gb , Na,b = Ga + ?Pb , Gb ? ?Pa .
b b ?

? ?
Теорема 4. Пусть F — проекция F ? AG(4) на AO(4). Подалгебры F алгебры
AG(4) с условием dim F ? 3 исчерпываются относительно G(4)-сопряженнос-
ти подалгебрами алгебры AG(3) и такими алгебрами:
AO(4): O, P0 , V04 , V14 , W1 , V14 + W1 , V04 + W1 ;
4 4 4
??
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J12 ? J34 : O, P0 , V04 , V14 , W1 , N1,2 + N3,4 ,
4 ?

V14 + W1 , V04 + W1 (? = 0);
4 4

J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J12 ? J34 + ?P0 : O, V14 , V14 + W1 (? = 0);
4
??
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 : O, P0 , V04 , V14 , W1 , N1,2 + N3,4 , V14 + W1 ,
4 ? 4

V04 + W1 (? = 0);
4

AO(3) ? G1 , G2 , G3 , G4 + ?P4 (? = 0);
+
40 Л.Ф. Баранник, А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

AO(3): Sj , V03 + Sj (j = 1, 2, 6), V13 + Sj (j = 4, 7), W1 + Sj (j = 1, 2, 6),
3

V13 + W1 + Sj , где Sj совпадает с одним из пространств: P4 , G4 , P0 + ?G4 ,
3

P0 , P4 , P0 + ?G4 , P4 , P4 , G4 , P0 , P4 , G4 (? > 0; j = 1, . . . , 7).

1. Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., Nucl. Phys. B, 1968, 7, 79.
2. Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., Nucl. Phys. B, 1969, 14, 573.
3. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cim., 1974, 10, 163.
4. Фущич В.И., В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4.
5. Никитин А.Г., Фущич В.И., Юрик И.И., ТМФ, 1976, 26, 206.
6. Patera J., Winternitz P., Zassenheus H., J. Math. Phys., 1975, 8, 1597.
7. Федорчук В.М., Укр. мат. журн., 1979, 31, 717.
8. Федорчук В.М., Укр. мат. журн., 1981, 33, 696.
9. Beckers J., Patera J., Perroud K., Winternitz P., J. Math. Phys., 1977, 18, 72.
10. Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Москаленко Ю.Д., В кн.: Teopeтико-алгебраические методы в
задачах математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983, 119.
11. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Препринт № 85.19, Киев, Ин-т математики АН
УССР, 1985, 25 с.
12. Sorba P., J. Math. Phys., 1976, 17, 941.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 41–46.

Операторы Казимира для обобщенных
групп Пуанкаре и группы Галилея
Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ

1. Введение
Изучение полиномиальных операторов Казимира группы Ли сводится к описа-
нию инвариантов присоединенной группы [1]. Хорошо известны такие инварианты
для однородных классических групп Ли [2]. Операторы Казимира и их спектры
группы Пуанкаре P (1, 4) найдены в работах [3, 4]. Эта же задача решена для груп-
пы ISL(6, C) [5] и для группы IU (n) с различными подгруппами трансляций [6].
Обобщенные операторы Казимира (рациональные, трансцендентные) для подгрупп
группы P (1, 3) найдены в [7], а для подгрупп оптической группы Opt(1, 3) в [8].
Изучению обобщенных операторов Казимира неоднородных групп произвольной
размерности посвящена серия работ [9, 10]. В [11] дано описание инвариантов
присоединенной группы для многих неоднородных классических групп.

<< Предыдущая

стр. 9
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>