<< Предыдущая

стр. 90
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
2
?
Используя остальные преобразования из группы Лоренца O(1, 3) ? P (1, 3),
получаем следующее семейство решений:
1
(? · b)((? · a) + (? · d))(a · x + d · x) ?
?3 (x) = exp
2
(95)
i?
? exp ? (??)1/2k (? · b)[2b · x + (a · x + d · x)2 ] ?.
?
2
Здесь и в дальнейшем aµ , bµ , cµ , dµ — произвольные действительные параметры,
удовлетворяющие соотношениям вида
?a · a = b · b = c · c = d · d = ?1,
(96)
a · b = a · c = a · d = b · c = b · d = c · d = 0.
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 387

Размножая семейство (95) с помощью однопараметрической группы масшта-
бных преобразований и группы сдвигов, окончательно получаем:

?
(? · b)(? · a + ? · d)(a · z + d · z) ?
?4 (x) = exp
2
i? (97)
? exp ? (??)1/2k (? · b)[2b · z + ?(a · z + d · z)2 ] ?,
?
2
zµ = xµ + ?µ , µ = 0, 3, ?µ , ? = const.

В решение (97) все переменные входят на равных правах, и вид его не изменяе-
тся при переходе к другой инерциальной системе отсчета (иначе говоря, семейство
решений (97) инвариантно относительно группы Пуанкаре P (1, 3)).
Размножая аналогичным образом решения (86), (88)–(93), получаем следую-
щие семейства точных решений нелинейного уравнения Дирака (26):

?
(? · b)(? · a + ? · d)(a · z + d · z) ?
?(x) = exp
2 (98)
? exp ?i?[? · c + ?(? · a + ? · d)](??) (c · z + ?(a · z + d · z)) ?;
1/2k
?


?(x) = exp i?(??)1/2k (? · a)(a · z) ?; (99)
?


?(x) = exp ?i?(??)1/2k (? · b)(b · z) ?; (100)
?

1 1 1
(? · a)(? · b) ln (a · z + b · z) exp (? · a + ? · b)(? · c) ?
?(x) = exp
2 ? 2? (101)
? i?(??) (? · a + ? · b ? ? · c) (? ln(a · z + b · z) ? c · z) ?;
1/2k
?

1 1
(? · a)(? · b) ln (a · z + b · z) ?
?(x) = exp
2 ?
(102)
i
? exp ?i(? · c) ?(??)1/2k + (? · a + ? · b) c · z ?;
?
2?

1
при k = ,
2
b·z
1
?(x) = [(b · z)2 + (c · z)2 ]?1/4 exp ? (? · b)(? · c) arctg ? (103)
c·z
2
b·z
i?(??)
?
? exp ? (?(? · b) + ? · c) ln((b · z)2 + (c · z)2 ) + 2? arctg ?;
c·z
2(1 + ?2 )

1
при k = ,
2
b·z
1
?(x) = [(b · z)2 + (c · z)2 ]?1/4 exp ? (? · b)(? · c) arctg ? (104)
c·z
2
2i?k
? exp ((b · z)2 + (c · z)2 )(2k?1)/4k (? · c) ?.
1 ? 2k
388 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

В формулах (98)–(104) zµ = xµ + ?µ , ?, ?, ?, ?µ — произвольные постоянные,
? — произвольный постоянный спинор.
Кроме прямой редукции систем ДУЧП (51)–(62) существуют и другие возмо-
жности построения точных решений. В частности, если в (53) положить ? =
?(?1 , ?2 ), мы получим двумерное уравнение Дирака

[?3 + ?(?0 ? ?2 )]??1 + 2?1 ??2 = i?(??)1/2k ?. (105)
?

Удается найти частные решения системы (105), которые, будучи подставлен-
ными в формулу (37), дают новые классы решений уравнения (26):
1
при k = ,
2
1
(? · c)(? · a + ? · d)(a · z + d · z) ?
?(x) = exp
2
? (? · b + ?(? · a + ? · d))(b · z + ?(a · z + d · z)) +
(106)
1
+ ? · c[2c · z + (a · z + d · z)2 ] ?
2
i?(??)
?
? ? ?1 exp ? 2 (?1 (? · b + ?(? · a + ? · d)) +
2
(?1 + ?2 )?
1
+ ?2 (? · c)) ?1 (b · z + ?(a · z + d · z)) + ?2 (2c · z + (a · z + d · z)2 ) ?;
2

при k < 0,
1
(? · c)(? · a + ? · d)(a · z + d · z) ?
?(x) = exp
2
(107)
? (? · b + ?(? · a + ? · d))(b · z + ?(a · z + d · z)) +
1
+ ? · c(2c · z + (a · z + d · z)2 ) f (?) + ig(?) ?.
2

В (106), (107) ?, ?1 , ?2 — произвольные действительные параметры; ? — прои-
звольный постоянный спинор; zµ = xµ + ?µ , µ = 0, 3;

1
? = (b · z + ?(a · z + d · z))2 + (2c · z + (a · z + (a · z + d · z)2 )2 ;
4
k
1/2 1/2
1 + |k| 1 + |k| (k 2 + |k|)1/2
?1/2
? ?k/2 .
g(?) = ± f (?) = ? ?
?
|k| |k| 2?(??)1/2k
?

В заключение этого раздела остановимся на случае, когда в (26) k = 3/2. Из
теоремы 3 следует, что уравнение (26) при таком выборе нелинейности инвариан-
тно относительно конформной группы C(1, 3). Этот факт может быть использован
для получения новых решений. Формула размножения решений с помощью группы
специальных конформных преобразований (11) имеет вид [13, 25]:

?2 (x) = ? ?2 (x)[1 ? (? · x)(? · ?)]?1 (x );
xµ = (xµ ? ?µ x · x)? ?1 (x);
?(x) = 1 ? 2? · x + (? · ?)(x · x), ?µ = const, µ = 0, 3.
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 389

Используя в качества ?1 (x) решения (98)–(102), (104) при k = 3/2 получаем
семейства точных решений нелинейного уравнения Дирака–Гюрши (6), инвари-
антного относительно конформной группы C(1, 3) (мы опускаем соответствующие
формулы).

Симметрия редуцированных уравнений
Поскольку используемый алгоритм построения точных решений требует знания
симметрии уравнения, то следующим этапом после редукции нелинейного уравне-
ния Дирака (26) к системам ДУЧП (51)–(65) должно быть исследование симме-
трийных свойств последних. Но уравнения (51)–(65) имеют весьма сложный вид,
поэтому непосредственное применение алгоритма Ли для нахождения максималь-
ной симметрии затруднительно (перспективным является использование для этих
целей ЭВМ [40]). Следовательно, возникает задача поиска более эффективных
методов исследования теоретико-алгебраических свойств систем редуцированных
ДУЧП.
Алгебры инвариантности уравнений (51)–(65). В основе нашего подхода
к исследованию симметрийных свойств уравнений (51)–(65) лежит следующее
утверждение.
Пусть G — группа Ли преобразований, H — однопараметрическая подгруп-
па G, являющаяся нормальным делителем. Кроме того, задано ДУЧП с группой
инвариантности G.
Теорема 5. Уравнение, полученное из исходного ДУЧП редукцией по H-инвари-
антным решениям, инвариантно относительно группы G/H (наклонная черта
обозначает факторизацию).
Доказательство этого утверждения можно найти в [33].
Мы будем использовать эквивалентную формулировку этой теоремы в терми-
нах алгебр Ли (это значительно упрощает все расчеты).
Если задано ДУЧП с алгеброй симметрии AG и одномерная подалгебра Q ?
AG, являющаяся идеалом в AG, то уравнение, полученное из исходного редукцией
по инвариантным решениям, инвариантно относительно алгебры Ли AG/Q.
В нашем случае в качестве одномерных подалгебр алгебры AG = AP (1, 3)
выступают операторы (30). Но непосредственное применение теоремы невозможно,
?
так как эти подалгебры, вообще говоря, не являются идеалами в AP (1, 3).
Поэтому возникает промежуточная задача нахождения максимальных подал-
?
гебр A1 , . . . , A12 алгебры Ли AP (1, 3), для которых подалгебры (30) будут идеала-
ми.
Из теории алгебр Ли известно (см., например, [33]), что одномерная алгебра
{Q} является идеалом в алгебре Ли ?1 , . . . , ?s , если и только если

?i = const,
[Q, ?i ] = ?i Q, i = 1, s,

где [Q1 , Q2 ] — коммутатор.
µ? µ
00
Следовательно, оператор ?i Jµ? + ?i D + ?i Pµ принадлежит алгебре Ai , если
и только если
µ? µ
00
(108)
[?i Jµ? + ?i D + ?i Pµ , Qi ] = ?i Qi , i = 1, 12.
µ? µ
00
Здесь ?i , ?i , ?i — константы; Qi — операторы (30), по i нет суммирования.
390 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

Вычисляя коммутаторы в левой части равенства (108) и приравнивая к нулю
коэффициенты при линейно независимых операторах Jµ? , D, Pµ , получаем систему
µ? µ
00
алгебраических уравнений на коэффициенты ?i , ?i , ?i . Решая эти уравнения,
находим явный вид базисных операторов алгебр A1 , . . . , A12 .
Следующим шагом является вычисление фактор-алгебр {Ai /Qi , i = 1, 12},
которые, согласно теореме 5, генерируют группы инвариантности редуцированных
ДУЧП (51)–(65).
Реализуем эту схему для алгебры J01 + J12 ? aD . Подставляя оператор Q1 =
µ? µ
J01 + J12 ? aD в (108), получаем следующие условия на параметры ?1 , ?1 , ?1 :
00

01 12 03 32 13 02 0 1 2 3
при a = 0, ?1 = ?1 , ?1 = ?1 , ?1 = ?1 = 0, ?1 = ?1 = ?1 = ?1 = 0;
при a = 0, ?1 = ?1 , ?1 = ?1 , ?1 = ??1 , ?1 = 0, ?1 = 0.
01 12 03 32 0 2 13 1


Следовательно, базис алгебры Ли A1 составляют операторы:

a = 0, J01 + J12 , J03 + J23 , D;
J02 , P0 ? P2 ,
a = 0, J03 + J32 , P3 , D.
?
Фактор-алгебра A1 = A1 /Q1 порождается такими операторами:

a = 0, J10 + J12 , J03 + J32 ;
(109)
J02 , P0 ? P2 ,
a = 0, J03 + J32 , P3 , D.

Чтобы получить окончательный вид алгебр симметрии ДУЧП (51), (52), необ-
ходимо переписать операторы (108) в новых переменных ?1 , ?2 , ?3 , ? (т.e. сделать
в (108) замену переменных (35), (36)), в результате имеем:
1
?
A1.1 = a??3 + ?1 (?0 ? ?2 );
при a = 0,

<< Предыдущая

стр. 90
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>