<< Предыдущая

стр. 91
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2
1
2(?1 ?2 ? ?2 )??1 + ?2 ??2 + ?3 (?2 ? ?0 ) ;
2
2 (110)
1
?
при a = 0, A1.2 = ?1 ??2 + 2?1 ?2 ??3 + ?1 (?0 ? ?2 );
2
1
?1 ??1 + ?0 ?2 ; ?1 ??3 ; ??2 ; ?1 ??1 + ?2 ??2 + 2?3 ??3 + k ,
2
?
где ??a = ??a , a = 1, 3.
Используя аналогичные рассуждения, получаем алгебры симметрии ДУЧП (53)–
(65):

?
A2 = ?2?1 ??1 + 2(1 ? ? 2 ? ?2 )??2 ? 3(?3 + ??1 )??3 +
1
+ [?0 ?2 + ??3 (?2 ? ?0 )]; ??1 ; ??3 ;
2
1
?
A3 = 2?2 ??2 + ?3 ??3 + k ? ?0 ?2 ;
2
1
2?3 ??2 + (?1 ? ? 2 )??3 + (?2 ? ?0 )(?1 ?1 ? ??3 );
2
2?
1
?1 ??2 + ??1 ??3 + ?1 (?0 ? ?2 ) ;
2
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 391

Q1 ; Q2 , a = 0,
?
A4 =
Q1 ; Q2 ; Q3 ; Q4 , a = 0;
1
?1
при a = 0, Q1 = ??1 , Q2 = (?1 ? 1)??1 + (?1 + ?1 )?3 ??3 + ?0 ?1 ;
2
2
1
?1/2 1/2
?3 exp ? ?2 (?1 ??1 + ?3 ??3 ),
при a = 0, Q1 = ??2 , Q2 = ?1
2
1
1/2 1/2
Q3 = ?1 ?3 exp ? ?2 (??1 ??1 + ?3 ??3 ),
2
1
?1
Q4 = (?1 ? 1)??1 + (?1 + ?1 )?3 ??3 + ?0 ?1 ;
2
2
1
?
A5.1 = ??3 ; ?2?1 ??1 + ?0 ?1 ;
2(a + 1)
1 k ?1
?1
?
A5.2 = ?1 ??1 ? ?0 ?1 ; ??1 ; ??1 + ?2 ?1 ??2 ? ?1 ;
4 2
Q1 ; Q2 , b = 0,
?
A5.3 =
Q1 ; Q2 ; Q3 ; Q4 , b = 0;
1
при b = 0, Q1 = ??3 , Q2 = 2?1 ??1 + 2?2 ??2 + k + ?0 ?1 ;
2
1
при b = 0, Q1 = ??3 , Q2 = 2?1 ??1 + 2?2 ??2 + k + ?0 ?1 ,
2
1
?1/2
cos ?3 2?2 ??2 ? tg ?3 ??3 + ?2 ?3 tg ?3 ,
Q3 = ?2
2
1
?1/2
sin ?3 2?2 ??2 + ctg ?3 ??3 ? ?2 ?3 ctg ?3 ;
Q4 = ?2
2
?
A6 = ?1 ??1 ; ??3 ;
?
A7 = ??2 ; ??3 ;

Q1 ; Q2 ; Q3 , ?1 = ±?2 ,
?
A8 =
Q1 ; Q2 , ?1 = ±?2 ;
при ?1 = ±?2 , Q1 = ??2 , Q2 = ?2?1 ??1 ?
1
?1
? (?2 ± ?1 )?2 ?3 ??2 ? 2?3 ??3 ? k + ?0 ?1 , Q3 = ?1 ??2 + ?2 ??3 ;
2
при ?1 = ±?2 , Q1 = ?1 ??2 + ?2 ??3 , Q2 = ?2 ??1 + ?1 ??3 ;
1
?
A9 = ?a ?b ??b ? ??a ? k?a + ?0 ?1 ;
2
1 1
?abc ??b ??c + ?c ??b + ?b ?c , a, b, c = 1, 3;
2 2
1 1 1
?
A10 = ?1 ??2 + ?2 (?0 + ?3 ); ?1 ??3 + ?1 (?0 + ?3 ); ?1 ??1 ? ?0 ?3 ;
2 2 2
1
?2 ??3 ? ?3 ??3 + ?2 ?3 ; ?a ??a + k; ??1 ; ??2 ; ??3 ;
2
392 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

1
?
A11 = ?abc ??b ??c + ?c ??b + ?b ?c ; ?a ??a + k; ??1 ; ??2 ; ??3 ;
2
1 1
?
A12 = ?1 ??2 + ?2 ??1 ? ?0 ?1 ; ?1 ??2 + ?3 ??1 ? ?0 ?3 ;
2 2
1
??2 ??3 + ?3 ??2 + ?1 ?2 ; ?a ??a + k; ??1 ; ??2 ; ??3 .
2
?
Здесь Ai — алгебра симметрии 1-го уравнения из (51)–(65), Q1 , . . . , Qs — линей-
ная оболочка операторов Q1 , . . . , Qs .
? ?
В том, что A1.1 —A12 действительно являются алгебрами симметрии редуци-
рованных уравнений (51)–(65), можно убедиться непосредственной проверкой,
используя метод Ли [33, 34].
Отметим, что описанный метод исследования симметрии редуцированных
уравнений может быть реализован на ЭВМ. Кроме того, он может служить исто-
чником для получения новых представлений классических групп Ли. В частности,
легко видеть, что
?
A9 = AO(1, 3),
где AO(1, 3) — алгебра Ли группы Лоренца O(1, 3).
Таким образом, на решениях ДУЧП (62) реализуется представление группы
Лоренца O(1, 3), принципиально отличное от представления группы Лоренца, ко-
торое реализуется на решениях исходного уравнения (26). Используя этот факт,
можно получить следующее нелинейное представление алгебры AO(1, 3):
? ? ?
Jab = xa Pb ? xb Pa + iub ? iua b ,
Pµ = igµ? , a
?x? ?u ?u
? ?
J0a = x0 Pa ? xa P0 + iua ub
? i a , a, b = 1, 3.
?ub ?u
Сделаем одно важное замечание. Теорема 5 не гарантирует того, что построен-
ная группа будет максимальной группой симметрии редуцированного уравнения.
В ряде случаев максимальная группа инвариантности значительно шире, чем это
следует из теоремы 5.
Теорема 6. Максимальная группа инвариантности ДУЧП (63) является беско-
нечнопараметрической, ее генераторы имеют вид:
1? ?
при k = 1, Q1 = ?1 (?1 )??2 + ?2 (?1 )??2 + [?1 (?1 )?1 + ?2 (?1 )?2 ](?0 + ?3 ),
2
1
Q2 = ??2 ??3 + ?3 ??2 + ?1 ?2 ,
2
(111)
? ?
Q3 = ?0 (?1 )??1 + ?0 (?1 )(?2 ??2 + ?3 ??3 ) + ?0 (?1 ) +
1?
+ ?0 (?1 )(?1 ?2 + ?2 ?3 )(?0 + ?3 ),
2
Q4 = ?3 (?1 )?4 (?0 + ?3 );
1
при k = 1, Q1 = ??1 , Q2 = ??2 ??3 + ?3 ??2 + ?1 ?2 ,
2
1? (112)
?
Q3 = ?1 (?1 )??2 + ?2 (?1 )??3 + [?1 (?)?1 + ?2 (?1 )?2 ](?0 + ?3 ),
2
Q4 = ?a ??a + k, Q5 = ?3 (?1 )?4 (?0 + ?3 ),
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 393

где ?0 (?1 ), . . . , ?3 (?1 ) — произвольные гладкие функции, точка обозначает
дифференцирование по ?1 .
Доказательство, проводимое с помощью инфинитезимального метода Ли,
очень громоздко, мы его опускаем.
Следствие. Пусть ?1 = ?1 (?) — рещение ДУЧП (63), тогда спинор ?2 = ?2 (?),
построенный по формуле
1?
?2 (?) = ??1 exp ?3 (?1 )?4 (?0 + ?3 ) ? ?i (?1 )?i (?0 + ?3 ) ?
0
2
1?
? ?0 (?1 )??1 (?1 )[?1 (?2 + ?1 (?1 )) + ?2 (?3 + ?2 (?1 ))](?0 + ?3 ) ? (113)
0
2
?2 + ?1 (?1 ) ?3 + ?2 (?1 )
? ?1 ?0 (?1 )d?1 , , ,
?0 (?1 ) ?0 (?1 )
также будет решением при k = 1 (если k = 1, следует положить ?0 (?1 ) = 1).
В справедливости этого утверждения можно убедиться прямой проверкой.
Используя формулу (113), можно получать семейства решений нелинейного
уравнения Дирака, зависящие от трех (при k = 1 — от четырех) произвольных
функций.
Выберем, например, в качестве ?1 (?) следующее частное решение уравне-
ния (63):

?1 (?) = exp ?i??1 ?2 (??)1/2k ?. (114)
?

Подставляя (114) в формулу (113) и размножая найденное решение преобра-
зованиями из группы P (1, 3), получаем следующие семейства точных решений
нелинейного уравнения Дирака (26):
1?
при k = 1, ?(x) = ??1 exp ?3 ?4 (? · a + ? · d) ? (?1 ? · b + ?2 ? · c) ?
?
0
2
1 ? ?1
? (? · a + ? · d) ? ?0 ?0 [(? · b)(b · y + ?1 ) + (? · c)(c · y + ?2 )] ? (115)
2
? (? · a + ? · d) exp ?i?(??)1/2 (? · b)(b · y + ?1 )??1 ?;
? 0

1? ?
при k = 1, ?(x) = exp ?3 ?4 (? · a + ? · d) ? (?1 ? · b + ?2 ? · c) ?
2 (116)
? (? · a + ? · d) exp ?i?(??)1/2k (? · b)(b · y + ?1 ) ?,
?

где ?0 , . . . , ?3 — произвольные гладкие функции от a · y + d · y; ? — произвольный
постоянный спинор; yµ = xµ + ?µ , ?µ = const, µ = 0, 3.
Другими примерами уравнений, симметрия которых шире симметрии, описыва-
емой теоремой 5, являются ДУЧП (64), (65) при k = 1. Можно показать, что при
таком выборе нелинейности эти уравнения инвариантны относительно конформ-
ных групп C(3) и C(1, 2) соответственно. Это дает возможность строить новые
семейства решений нелинейного уравнения Дирака (26) при k = 1, используя фор-
мулы размножения решений с помощью конечных преобразований группы специ-
альных конформных преобразований. Минуя промежуточные выкладки, приводим
полученные многопараметрические семейства точных решений уравнения (26):
394 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

при k = 1

?(x) = U (x) exp ?i?(??)1/2 (? · b)V1 ?; (117)
?

1/4
?(x) = U (x) exp ?2i?(??)1/2 V12 + V22 (? · c) ?. (118)
?

В (117), (118) использованы следующие обозначения:

U (x) = ? ?3/2 (x)[I + [(? · b)(b · x) + (? · c)(c · x) +
+ (? · d)(d · x)](?1 (? · b) + ?2 (? · c) + ?3 (? · d))];
V1 = [b · x + ?1 ((b · x)2 + (c · x)2 + (d · x)2 )]? ?1 (x);
V2 = [c · x + ?2 ((b · x)2 + (c · x)2 + (d · x)2 )]? ?1 (x);
?(x) = 1 ? 2(?1 b · x + ?2 c · x + ?3 d · x) + ? 2 ((b · x)2 + (c · x)2 + (d · x)2 );
? 2 = ?1 + ?2 + ?3 ,
2 2 2
?i = const.

Галилеевские-инвариантные уравнения, допускающие бесконечномерную
алгебру симметрии. Из теоремы 6 следует, что на подмножестве решений уравне-
ния Дирака (26) реализуется представление бесконечномерной алгебры Ли, вклю-
чающей в качестве подалгебры алгебру Ли группы Галилея G(1, 2). Другими сло-
вами, условие

<< Предыдущая

стр. 91
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>