<< Предыдущая

стр. 92
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(119)
(P0 + P3 )? = 0

выделяет подмножество решений нелинейного уравнения Дирака (26), которое яв-
ляется гораздо более симметричным, чем все множество решений. Таким образом,
условие (119), выделяющее согласно рассуждениям предыдущего подпункта не-
релятивистскую часть множества решений уравнения (26), тем самым выделяет
множество, инвариантное относительно бесконечномерной алгебры Ли A? . Фор-
мально это может быть записано следующим образом:

AP (1, 3)/(P0 + P3 ) ? AG(1, 2) ? A? . (120)
=

Оказывается, что этот факт имеет место для очень широкого класса пуанкаре-
инвариантных уравнений, а именно — уравнений типа Баба

[?µ pµ + m]?(x) = 0, m = const, (121)

где ? = {?1 , ?2 , . . . , ?n }, x = (x0 , x1 , . . . , xl ), l ? 2; ?µ — (n ? n)-матрицы,
удовлетворяющие условиям

[?? , Sµ? ] = i(gµ? ?? ? g?? ?µ ),
Sµ? = i(?µ ?? ? ?? ?µ ), gµ? = diag (1, ?1, . . . , ?1, ?1), 0 ? µ, ?, ? ? l.

Хорошо известно, что уравнение (121) инвариантно относительно алгебры Пу-
анкаре с базисными операторами вида [6, 41]
?
Jµ? = x? P? ? x? Pµ + Sµ? .
Pµ = igµ? ,
?x?
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 395

Потребуем, чтобы ? кроме уравнения (121) удовлетворяло и дополнительному
условию вида (119)

(P0 + Pl )?(x) = 0.

Тогда для определения ?(?) = ?(x0 + xl , x1 , . . . , xl?1 ) получаем следующую
систему ДУЧП:
? ?
l?1
?i(?0 + ?l )??0 + i ?j ??j + m? ?(?) = 0. (122)
j=1


Предложение 1. Уравнение (122) инвариантно относительно бесконечномерной
алгебры Ли с базисными операторами вида
1?
Q2 = ?k (?0 )??k + ?k (?0 )([?0 , ?k ] ? [?k , ?l ]),
Q1 = ??0 ,
(123)
2
k = 1, . . . , l ? 1,

?
где ??µ = ??µ ; µ = 0, l ? 1; ?k = d?/d?0 ; ?k — произвольные дифференцируемые
?

функции от ?0 .
Доказательство. Для линейных уравнений справедливо следующее утверждение
[6]: оператор Q является оператором симметрии уравнения

L(x)? = 0,

если и только если существует матрица R(x), такая, что

[Q, L] = R(x)L.

Докажем, что в нашем случае

(124)
[Q, L] = 0.

Действительно,
i ?
(?0 + ?l )?k (?0 ){[?0 , ?k ] ? [?k , ?l ]}.
[Q2 , i(?0 + ?l )??0 + i?k ??k + m] =
2
Покажем, что (?0 +?l ){[?0 , ?k ]?[?k , ?l ]} = 0, откуда и будет следовать формула
(124). Выберем, например, k = 1;

(?0 + ?l ){[?0 , ?1 ] ? [?1 , ?l ]} = (?0 + ?l )(?0 ?1 ? ?1 ?0 ? ?1 ?l + ?l ?1 ) =
= (?0 ?0 ?1 ? ?0 ?1 ?0 ) + (?l ?l ?1 ? ?l ?1 ?l ) + (?l ?0 ?1 ? ?0 ?1 ?l ) +
+ (?0 ?l ?1 ? ?l ?1 ?0 ) = i?1 ? i?1 = 0.

Аналогично доказываем утверждение и для k = 2, . . . , l ? 1. Теорема доказана.
Замечание 1. Утверждение теоремы остается в силе и для пуанкаре-инвариантных
нелинейных обобщений уравнения Баба (121)

?µ pµ ? + F (?? , ?) = 0, (125)
µ = 0, 1, . . . , l.
396 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

Этот факт дает возможность строить классы точных решений систем ДУЧП
(121), (125), включающие произвольные функции, используя формулы размноже-
ния решений типа (113).
Замечание 2. На решениях уравнения (122) реализуется следующее представле-
ние алгебры Галилея AG(1, l ? 1):
? ?
Pa = ?i a = 1, l ? 1, Jab = xa Pb ? xb Pa + Sab ,
P0 = i , ,
??0 ??a
1
Ga = ?0 Pa + (Sal ? S0a ), a, b = 1, l ? 1.
2
Алгебра (123) не является, вообще говоря, максимальной алгеброй симметрии
уравнения (122) (последняя может быть значительно шире). Примером служит
следующее ДУЧП:
?
[(?0 + ?4 )P0 ? ?a Pa + ?(??)1/3 ]?(?) = 0, (126)
a = 1, 2, 3.
Теорема 7. Базис максимальной алгебры инвариантности уравнения (126) об-
разуют следующие операторы:
? i
Jab = ?a Pb ? ?b Pa + [?a , ?b ],
P0 = i ,
??0 4
i?
G = ?a (?0 )Pa ? ?a (?0 )?a (?0 + ?4 ); (127)
2
3? 1?
? ?
A = ?0 (?0 )P0 ? ?0 (?0 )?a Pa + ?0 + ?0 ?a ?a (?0 + ?4 ), a, b = 1, 2, 3,
2 2
?
где ?0 , . . . , ?3 — произвольные дифференцируемые функции; ?µ = d?µ /d?0 ,
µ = 1, 3.
Доказательство проводится с помощью метода Ли, мы его не приводим.
Следствие. Уравнение (126) инвариантно относительно алгебры Ли обобщен-
ной группы Галилея G2 (1, 3) (обобщенной группой Галилея называется группа
Галилея, дополненная однопараметрическими группами масштабных и прое-
ктивных преобразований).
Базис этой алгебры может быть выбран в виде
? ? i
Pa = ?i Jab = ?a Pb ? ?b Pa + [?a , ?b ],
P0 = i , ,
??0 ??a 4
i 3i
Gc = ?0 Pc ? ?c (?0 + ?4 ), a, b, c = 1, 3, D = ?µ P µ + , µ = 0, 3,
2 2
A = 2?0 ?µ P ? ?0 P0 + 3i?0 + i?a ?a (?0 + ?4 ).
µ


В силу этого ДУЧП (126) можно трактовать как нерелятивистский аналог]
конформно-инвариантного уравнения Дирака–Гюрши (5). С другой стороны, если
положить в (126) ? = 0, то полученное уравнение совпадает с уравнением Леви–
Леблонда для нерелятивистской частицы с нулевой массой [42].
Важно отметить, что симметрийные свойства уравнения (126) не исчерпываю-
тся локальной симметрией (127). Непосредственной проверкой можно убедиться,
что ДУЧП (126) допускает следующую нелокальную группу преобразований:
(128)
? = ? + (?0 + ?4 )E(?; ?),
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 397

где E(?; ?) — произвольное решение линейной системы ДУЧП
?
[?a Pa ? ?(??)1/3 ]E = 0,
E = E † ?0 .
? ? ?
?(?0 + ?4 )E ? E(?0 + ?4 )? = 0,


Некоторые двумерные спинорные модели
Эффективность применения теоретико-алгебраических методов тем выше, чем
шире симметрия рассматриевомого уравнения. Особый интерес в этой связи пред-
ставляют двумерные ДУЧП, инвариантные относительно бесконечнопараметриче-
ской группы преобразований. Именно это свойство позволило построить общие
решения двумерных уравнений Д’Аламбера [30], Лиувилля [43], газовой динами-
ки [44], Монжа–Ампера [43], Тирринга с нулевой массой [45, 46], Борна–Инфель-
да [43], Максвелла–Дирака [47] и др.
Мы покажем, что список интегрируемых моделей может быть пополнен следу-
ющими нелинейными спинорными ДУЧП:
?
[?µ pµ + ?1 ?µ (?? µ ?)]?(x0 , x1 ) = 0, (129)
µ = 0, 1;

?
[(?0 + ?3 )p0 ? ?1 p1 + ?2 (??)1/2k ]?(x0 , x1 ) = 0, (130)

где ? = ?(x0 , x1 ) — четырехкомпонентный спинор; ?0 , ?1 , ?3 — 4 ? 4-матрицы
Дирака; ?1 , ?2 , k — константы.
Уравнение (129) — это двумерный аналог уравнения Дирака–Гайзенберга (4),
а ДУЧП (130) — двумерный аналог уравнения (126). Кроме того, (130) может
быть получено из нелинейного уравнения Дирака (26), если положить ? = ?(x0 +
x3 , x1 ).
Симметрия уравнений (129), (130). Нам будет удобно выбрать в (129) ?-
матрицы в следующем виде:
? ?
0 i?2 0 ?3
?0 = , ?1 = ,
?i?2 ??3
? ?
0 0

где ?2 , ?3 — матрицы Паули; ? — нулевая матрица размерности (2?2). Расписывая
0
(129) покомпонентно и переходя к конусным переменным

? = x0 ? x1 , ? = x0 + x1 ,

получаем

i?? ? 0 = ?? |? 1 |2 + |? 3 |2 ? 0 ,
i?? ? 1 = ? |? 0 |2 + |? 2 |2 ? 1 ,
(131)
i?? ? 2 = ?? |? 1 |2 + |? 3 |2 ? 2 ,
i?? ? 3 = ? |? 0 |2 + |? 2 |2 ? 3 ,

Предложение 2. Максимальной локальной группой инвариантности системы
(131) является бесконечнопараметрическая группа

G = O? (4) ? O? (4) ? G? , (132)
398 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

где G? — бесконечнопараметрическая группа Ли преобразований вида
? ?
?2 ?2
?= f1 (z)dz, ?= f0 (z)dz,

? 0 = ? 0 f0 (?), ? 1 = ? 1 f1 (?), ? 2 = ? 2 f0 (?), ? 3 = ? 3 f1 (?),
f0 , f1 — произвольные дифференцируемые функции, O? (4) — группа преобра-
зований, сохраняющих квадратичную форму |? 1 |2 + |? 3 |2 , параметры которой
являются произвольными функциями от ?; O? (4) — группа линейных преобра-
зований, сохраняющих квадратичную форму |? 0 |2 + |? 2 |2 , параметры которой
являются произвольными функциями от ?.
Предложение 3. Максимальная локальная группа инвариантности уравнения
(130) генерируется следующими операторами:
при k = 1 ,
2

? ?
P0 = , P1 = , D = xµ Pµ + k,
?x0 ?x1
1?
G = ?1 (x0 )P1 + ?(x0 )?1 (?0 + ?3 ),
2
Q = (?0 + ?3 )[?2 (x0 )?2 + ?3 (x0 )?4 ];

при k = 1 ,
2

1?
G = ?1 (x0 )P1 + ?(x0 )?1 (?0 + ?3 ),
2
1? x1 ?
?
A = ?0 (x0 )P0 + ?(x0 )x1 P1 + ?(x0 ) + ?0 (x0 )?1 (?0 + ?3 ),
2 2
Q = (?0 + ?3 )[?2 (x0 )?2 + ?3 (x0 )?4 ];
где ?µ (x0 ) — произвольные дифференцируемые функции, точка обозначает
дифференцирование по x0 .
Замечание. Симметрийные свойства системы ДУЧП (131) значительно шире, чем
инвариантность относительно локальной группы (132). В частности, (131) допуска-
ет группу нелокальных (интегральных) преобразований вида

|b|2 ? 1 |? 1 |2 + |d|2 ? 1 |? 3 |2 d? ,
? 0 = a? 0 exp i?1

? 1 = b? 1 exp ?i?1 |a|2 ? 1 |? 0 |2 + |c|2 ? 1 |? 2 |2 d? ,

|b|2 ? 1 |? 1 |2 + |d|2 ? 1 |? 3 |2 d? ,
? 2 = c? 2 exp i?1

? 3 = d? 1 exp ?i?1 |a|2 ? 1 |? 0 |2 + |c|2 ? 1 |? 2 |2 d? ,

где a, b, c, d — произвольные комплексные параметры. Отметим, что эта группа
изоморфна группе C 4 по умножению.
Линеаризация и общее решение уравнений (129), (130). Для того чтобы
построить общее решение ДУЧП (131), мы воспользуемся методом нелокальной

<< Предыдущая

стр. 92
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>