<< Предыдущая

стр. 93
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 399

линеаризации [43, 47], т.е. укажем в явном виде нелокальную замену перемен-
ных, приводящую (131) к системе линейных ДУЧП. Переходя в (131) к новым
переменным по формулам


|u1 |2 + |u3 |2 d? ,
? 0 = u0 (?, ?) exp i?1

? 1 = u1 (?, ?) exp ?i?1 |u0 |2 + |u2 |2 d? ,
(133)
|u1 |2 + |u3 |2 d? ,
? 2 = u2 (?, ?) exp i?1

? 3 = u3 (?, ?) exp ?i?1 |u0 |2 + |u2 |2 d? ,


получаем следующие уравнения для нахождения неизвестных функций u0 , u1 , u2 ,
u3 :

?? u0 = 0, ?? u1 = 0, ?? u2 = 0, ?? u3 = 0. (134)

Замена переменных (133) по виду напоминает замену Коула–Хопфа, приво-
дящую уравнение Бюргерса к линейному уравнению теплопроводности [48, 49].
Принципиальное отличие состоит в том, что замена (133) является обратимой при
любых u0 , . . . , u3 , а замена Коула–Хопфа, вообще говоря, нет.
Интегрирование уравнений (134) дает

u0 = U 0 (?), u1 = U 1 (?), u2 = U 2 (?), u3 = U 3 (?), (135)

где U 0 , . . . , U 3 — произвольные комплекснозначные дифференцируемые функции.
Подставляя (135) в (133) и переходя от конусных переменных ?, ? к исходным,
получаем общее решение уравнения (129):

x0 ?x1
|U 1 |2 + |U 3 |2 d? ,
0 0
? = U (x0 + x1 ) exp i?1
x0 +x1
? = U (x0 ? x1 ) exp ?i?1 |U 0 |2 + |U 2 |2 d? ,
1 1

(136)
x0 ?x1
|U 1 |2 + |U 3 |2 d? ,
? 2 = U 2 (x0 + x1 ) exp i?1
x0 +x1
? = U (x0 ? x1 ) exp ?i?1 |U 0 |2 + |U 2 |2 d? .
3 3



Отметим, что константа взаимодействия ?1 входит в (136) аналитическим обра-
зом. Устремляя ?1 к 0, получаем общее решение свободного двумерного уравнения
Дирака

(?0 p0 ? ?1 p1 )?(x0 , x1 ) = 0.
400 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

Для того чтобы построить общее решение системы ДУЧП (130), заменим ее
эквивалентной “линейной” системой вида
?f
?1 ?x1 = i?2 ? + (?0 + ?3 )F (x0 , x1 ),
?x1
(137)
?f ?
= ?F (x0 , x1 ), = (??)1/2k .
?x0
?x1
Первое из уравнений (137) — это линейная неоднородная система ОДУ (x0 вхо-
дит в качестве параметра), общее решение которой может быть получено с помо-
щью метода вариации произвольной постоянной

?(x) = exp{?i?2 ?1 f (x0 , x1 )} ?
(138)
x1
? ?(x0 ) ? ?1 (?0 + ?3 ) exp{?i?2 ?1 f (x0 , z)}F (x0 , z)dz .

Подставляя (138) в остальные уравнения из (137) и решая полученные соотно-
шения, находим общее решение исходной системы ДУЧП (130):

?(x0 , x1 ) = exp{?i?2 f (x0 , x1 )?1 } ?
x1
? ?(x0 ) + ?1 (?0 + ?3 ) exp{?i?2 ?1 f (x0 , z)}dz ?
(139)
?f
? ?(x0 ) ? i?2
? ?1 ?(x0 ) ,
?x0

где ? = ?(x0 ) — четырехкомпонентный спинор, произвольным образом завися-
щий от x0 ; f = f (x0 , x1 ) — действительная скалярная функция, определяемая из
соотношения
1/2k
x1 x1
?f
= A0 + A1 ch(2?2 f (x0 , z))dz + A2 sh(2?2 f (x0 , z))dz ,
?x1
(140)
A1 = ??1 (?0 + ?3 )? ? ??1 (?0 + ?3 )?,
?
A0 = ??,
? ? ??
A2 = i(?(?0 + ?3 )? ? ?(?0 + ?3 )?),
?
? ?? ? = d?/dx0 .
?

Если формально устремить в (130) k > +?, то это уравнений перейдет в
линейное уравнение

[(?0 + ?3 )p0 ? ?1 p1 + ?2 ]?(x) = 0. (141)

Оказывается, что такой предельный переход возможен и в формулах (139),
(140), в результате чего получаем общее решение ДУЧП (141):

i
?(x) = exp{?i?2 ?1 x1 } ?(x0 ) ? (?0 + ?3 ) exp{?2i?2 x1 ?1 }?(x0 ) ,
?
2?2

где ? = ?(x0 ) — четырехкомпонентный спинор, произвольным образом зависящий
от x0 .
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 401

Учитывая отмеченную выше связь между нелинейным уравнением Дирака (26)
и системой ДУЧП (130), по формуле
?1 (x) = ?(x0 > (x0 + x3 ), x1 > x1 ),
где ?(x0 , x1 ) из (139), получаем семейство точных решений уравнения (26), вклю-
чающее четыре произвольных комплекснозначных функции.

Приложение 1
Анзацы, редуцирующие произвольное пуанкаре-инвариантное
уравнение к системе ОДУ
С помощью анзацев, инвариантных относительно одномерных подалгебр алге-
бры Пуанкаре AP (1, 3), удается уменьшить размерность пуанкаре-инвариантных
уравнений на единицу. Следовательно, чтобы редуцировать четырехмерную систе-
му ДУЧП к системе ОДУ, необходимо использовать анзацы, инвариантные относи-
тельно трехмерных подалгебр алгебры AP (1, 3) [33]. Задача классификации всех
неэквивалентних подалгебр алгебры Пуанкаре AP (1, 3) была решена в [50–53].
Общий вид анзаца, инвариантного относительно алгебры Q1 , Q2 , Q3 ? AP (1, 3),
таков:
(П.1)
?(x) = A(x)?(?),
где ? = ?(?) — новый неизвестный спинор; A(x) — 4 ? 4-матрица, удовлетворяю-
щая системе ДУЧП
(П.2)
Qi A(x) = 0, i = 1, 3,
? = ?(x) — новая инвариантная переменная, удовлетворяющая условиям вида
Qdif ? = 0, (П.3)
i = 1, 3,
i

где Qdif обозначает дифференциальную часть оператора Qi . Интегрируя системы
i
ДУЧП (П.2), (П.3), получаем следующий набор анзацев (результат приводится в
виде табл. 2).
Подобным же образом можно было бы построить пуанкаре-инвариантные ан-
зацы и для скалярного, векторного, тензорного полей. Однако существует зна-
? ?
чительно более простой способ получения таких анзацев. Величины ??, ??µ ?,
?
??µ ?? ? преобразуются относительно группы Пуанкаре как скаляр, вектор и тен-
зор соответственно. Поэтому, чтобы найти анзацы, инвариантные относительно
трехмерных подалгебр алгебры Пуанкаре, достаточно подставить анзацы для ?(x)
из табл. 2 в следующие формулы:
? ?
u(x) = ??, Aµ (x) = ??µ ?,
(П.4)
?
Fµ? = ??µ ?? ?, µ, ? = 0, 3.
В результате получим:
Aµ (x) = aµ? (x)?? (?), Fµ? (x) = aµ??? ??? (?), (П.5)
u(x) = ?(?),
где ? = ??, ?? = ?? ? ?, ??? = ?? ? ? ? ?.
? ? ?
В частности, анзацы для скалярного поля, построенные в [53], могут быть по-
лучены таким способом. В [54] с использованием подгрупповой структуры группы
P (1, 3) [50–53] построены классы точных решений нелинейного уравнения Дира-
?
ка (8) при F = m + ?(??)k , m, ?, k = const.
402 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

Таблица 2

№ п/п Q1 , Q2 , Q3 A(x) ?(x)

1 P0 , P1 , P3 I x2
2 P1 , P2 , P3 I x0
P0 + P3 , P1 , P2 x0 + x3
3 I
x2 ? x2
1
exp ? ? ln(x0 + x3 )
4 J03 , P1 , P2 203 0 3
1
J03 , P0 + P3 , P1 exp ? ? ln(x0 + x3 )
5 x2
203
J03 + ?P2 , P0 , P3 exp 2? ?0 ?3
x2
6 x1
J03 + ?P2 , P0 + P3 , P1 exp 2? ?0 ?3 ? ln(x0 + x3 ) ? x2
x2
7
x2 + x2
exp ? 1 ?1 ?2 arctg x1
8 J12 , P0 , P3 1 2
2 x2
J12 + ?P0 , P1 , P2 exp ? 2? ?1 ?2
x0
9 x3
J12 + ?P3 , P1 , P2 exp x3
10 ?? x0
2? 1 2
1
J12 + P0 + P3 , P1 , P2 exp (x3 ? x0 )?1 ?2 x0 + x3
11 4

G1 , P0 + P3 , P2 exp (?0 + ?3 )?1 x0 + x3
x1
12 2(x0 +x3 )
?x1 ?x2
G1 , P0 + P3 , P1 + ?P2 exp (?0 + ?3 )?1 x0 + x3
13 2?(x0 +x3 )
G1 + P2 , P0 + P3 , P1 exp 2 (?0 + ?3 )?1 x0 + x3
x2
14
exp ? x0 +x3 (?0 + ?3 )?1 2x1 + (x0 + x3 )2
G1 + P0 , P0 + P3 , P2
15 2
x0 +x3
G1 + P0 , P1 , P0 + P3 exp ? 2 (?0 + ?3 )?1
16 x2
exp ? x0 +x3 (?0 + ?3 )?1
G1 + P0 , P1 + ?P2 , 2(x2 ? ?x1 ) ?
17 2
? ?(x0 + x3 )2
P0 + P3
x2 + x2
1
J03 + ?J12 , P0 , P3 exp ? 2? (?0 ?3 + ??1 ?2 ) arctg x1
18 1 2
x2
x2 ? x2
1
J03 + ?J12 , P1 , P2 exp (?0 ?3 + ??1 ?2 ) ln(x0 + x3 )
19 0 3
2
?0 +?3
G1 , G2 , P0 + P3 exp (?1 x1 + ?2 x2 ) x0 + x3
20 2(x0 +x3 )

1
G1 + P2 , exp (?0 + ?3 ) x2 ?1 ? x0 + x3
21 2
x2 (x0 +x3 )?x1
G2 + ?P1 + ?P2 , ? (x0 + x3 + ?)?1 +
(x0 +x3 )(x0 +x3 +?)??
x2 (x0 +x3 )?x1
P0 + P3 + ?
(x0 +x3 )(x0 +x3 +?)?? 2


G1 , G2 + P1 + exp (?0 + ?3 )?1 + x0 + x3
x1
22 2(x0 +x3 )

+ ?P2 , P0 + P3 + ?

<< Предыдущая

стр. 93
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>