<< Предыдущая

стр. 94
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

x2
2(x0 +x3 )(x0 +x3 +?)

? (?0 + ?3 )(?2 (x0 + x3 ) ? ?1 )

G1 , G2 + P2 , exp (?0 + ?3 )?1 + x0 + x3
x1
23 2(x0 +x3 )


P0 + P3 + (?0 + ?3 )?2
x2
2(x0 +x3 +1)

2x2 + (x0 + x3 )2
G1 , G2 + P0 , ?0 + ?3
24
P0 + P3 , P1
x2 ? x2 ? x2
exp (?0 + ?3 )?1 ?
x1
25 J03 , G1 , P2 0 1 3
2(x0 +x3 )
exp 1 ?0 ?3 ln(x0 + x3 )
? 2
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 403

Продолжение табл. 2

№ п/п Q1 , Q2 , Q3 A(x) ?(x)

J03 , G1 , P0 + P3 exp (?0 + ?3 )?1 ?
x1
26 x2
2(x0 +x3 )
1
? exp 2 ?0 ?3 ln(x0 + x3 )
x1 ?? ln(x0 +x3 )
J03 + ?P1 + ?P2 exp (?0 + ?3 )?1 ? x2 ? ? ln(x0 + x3 )
27 2(x0 +x3 )
? exp 1 ?0 ?3 ln(x0 + x3 )
G1 , P 0 + P 3 2
J03 + ?P2 , G1 , ?0 + ?3 x2 ? ? ln(x0 + x3 )
28
P0 + P3 , P1
?0 +?3
exp (?1 x1 + ?2 x2 ) ? x0 + x3
29 G1 , G2 , J03 2(x0 +x3 )
xµ xµ
? exp ? 4(x0 +x3 ) ?1 ?2
?0 +?3
J03 + ?J12 , G1 , G2 exp (?1 x1 + ?2 x2 ) ? xµ xµ
30 2(x0 +x3 )
1
? exp (?0 ?3 + ??1 ?2 ) ln(x0 + x3 )
2

?, ?, ? = const, Gi = J0i ? Ji3 , i = 1, 2.


Приложение 2
Об одном обобщение метода разделения переменных
для систем дифференциальных уравнений
В этом приложении мы приведем один из возможных подходов к построению
решений в разделенных переменных систем линейных дифференциальных уравне-
ний в частных производных.
Метод разделения переменных является одним из классических методов инте-
грирования линейных дифференциальных уравнений. Его тесная связь с теорети-
ко-групповыми свойствами уравнений была понята совсем недавно [55, 56]. Она
состоит в том, что решение в разделенных переменных и параметры разделения
являются соответственно собственной функцией и собственными значениями не-
которого набора операторов {?i } симметрии рассматриваемого уравнения. Иначе
говоря, справедливы равенства
L? ? {aµ (x)?xµ + a(x)}?(x) = 0, µ = 0, n ? 1, (П.6)
i = 1, n ? 1, (П.7)
?i ? = ?i ?,
где aµ , a — переменные m ? m-матрицы; ? = (? 1 , . . . , ? m ), x = (x0 , x1 , . . . , xn?1 ),
?i = const, ?i — дифференциальные операторы, образующие (n ? 1)-мерную абе-
леву алгебру Ли симметрии уравнения (П.6), т.е. они удовлетворяют условиям
[?i , ?j ] = ?i ?j ? ?j ?i = 0, (П.8)
(П.9)
[L, ?i ]?|L?=0 = 0.
Поэтому решения уравнения (П.6), удовлетворяющие условиям (П.7), есте-
ственно называть решениями в разделенных переменных.
Система дифференциальных уравнений (П,6), (П.7) является переопределен-
ной, и условия (П.8), (П.9) обеспечивают ее совместность. Наше основное наблю-
дение состоит в том, что требования (П.8), (П.9) можно значительно ослабить и
404 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

тем самым обобщить классическое определение разделения переменных. Справе-
длива следующая теорема.
Теорема. Система уравнений
L? = 0,
(П.10)
Qi ? = {bµ (x)?xµ + bi (x)}?(x) = 0, i = 1, n ? 1,
i

где bµ , bi — переменные матрицы (m ? m), совместна, если
i
k
[Qi , L] = Bi Qk + Bi L,
(П.11)
k
[Qi , Qj ] = Rij Qk + Rij , i, j, k = 1, m.
В случае, когда
? ?
···
a0 (x) an?1 (x)
? b0 (x) ?
··· bn?1 (x)
?1 ?
1
? = m ? n,
rank ? (П.12)
? ?
· ··· ·
··· bn?1 (x)
b0 (x)
n?1 n?1

условия (П.11) являются необходимыми и достаточными.
k k
В (П.11) Bi , Bi , Bij , Rij — некоторые дифференциальные операторы первого
порядка с матричными коэффициентами.
Доказательство. Проведем доказательство в предположении, что условие (П.12)
выполнено. Если в (П.10) bµ (x) = ?i bi (x), где ?i — символ Кронекера, то система
µ µ
i
(П.10) может быть записана в виде
(П.13)
?xµ ? = Aµ (x)?,
причем A0 = ?a?1 (ak Ak + a).
0
Хорошо известно (см., например, [57]), что необходимые и достаточные условия
совместности системы дифференциальных уравнений (П.13) таковы:
[?xµ ? Aµ , ?x? ? A? ] = ?x? Aµ ? ?xµ A? + [Aµ , A? ] = 0. (П.14)
Следовательно, для системы (П.13) утверждение теоремы справедливо. Идея
доказательства состоит в том, что система (П.10) может быть получена из (П.13)
последовательным применением преобразований эквивалентности
Qi , i = k,
L > L, Qi > Qi = (П.15)
Wi Qi , i = k,

где Wi = Wi (x) — невырождонные переменные матрицы (m ? m). Если покажем,
что для преобразованной системы
L? = 0,
(П.16)
i = 1, n ? 1,
Qi ? = 0,
выполнены условия (П.11), то тем самым теорема будет доказана. Это осуществ-
ляется прямым вычислением. Рассмотрим, например, коммутатор [Qk , L]:
[Qk , L] = [Wi Qi , L] = [Wi , L]Qi + Wi [Qi , L] =
(П.17)
i
= [Wi , L] + Wj Bj + Wi Bi L.
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 405

Выразив из (П.15) Qi через Qi и подставив найденные выражения в (П.17),
получим
i
[Qk , L] = Bk Qk + Bk L,
где
?1 ?1
Bk = Wj Bj + [Wi , L] ? [Wk , L]Wk Wi ? Wj Bj Wk Wi ,
i i k
i = k,
?1 ?1
k k
Bk = [Wk , L]Wk + Wj Bj Wk , Bk = Wj Bj

(по k нет суммирования).
Проверка остальных соотношений из (П.11) проводится аналогично.
Замечание. Если в (П.11) Rij ? 0, Bi ? 0, Bi — (m ? m)-матрицы, Rij —
k k

константы, то требование (П.11) означает, что операторы Qi образуют (n ? 1)-
мерную алгебру Ли инвариантности уравнения (П.6). Если же Rij ? 0, Bi ? 0,
k

то Qi — нелиевские операторы симметрии уравнения (П.6) (см. [6]). Наконец,
k
если не все Rij , Bi равны нулю, то мы имеем дело с так называемой нарушенной
симметрией [31, 58].
Следствие. Пусть операторы Qi образуют супералгебру Ли инвариантности
уравнений (П.6), тогда система (П.10) совместна.
Таким образом, для того чтобы строить решения в разделенных переменных
систем дифференциальных уравнений в частных производных, необходимо уметь
классифицировать алгебраические объекты типа (П.11), частным случаем которых
являются алгебры и супералгебры Ли. К настоящему времени эта задача нами
частично решена лишь для алгебр Ли и некоторых простейших супералгебр.
Из доказательства теоремы следует, что при выполнении условия (П.12) систе-
му (П.10) можно заменить эквивалентной ей системой дифференциальных уравне-
ний (П.13). Если известно частное решение уравнений (П.14), то, подставляя его
в систему (П.13) и находя ее общее решение, получаем решение в разделенных
переменных исходной системы дифференциальных уравнений (П.6). Оказывается,
что в ряде случаев систему (П.14) решать проще, чем систему (П.6).
Эффективность нашего подхода продемонстрируем на линейном уравнении Ди-
рака
(i?µ ?xµ ? m)?(x) = 0, (П.18)
где ?µ — матрицы Дирака размерности (4 ? 4); ?(x) — четырехкоппонентный
дираковский спинор.
Стандартное определение разделения переменных в уравнении Дирака в декар-
товых координатах таково [56, 59, 60]:
(П.19)
?(x) = V0 (x0 )V1 (x1 )V2 (x2 )V3 (x3 )?,
где Vµ — переменные (4 ? 4)-матрицы. Решения вида (П.19) получаются из (П.13),
если положить Ai = Ai (xi ), i = 1, 3.
При этом условии (П.14) примут вид
(П.20)
?xi A0 = [Ai (xi ), A0 ],

(П.21)
[Ai (xi ), Aj (xj )] = 0, i, j = 1, 3,
406 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

где A0 = ??0 ?k Ak ? im?0 .
Предложение 1. Система дифференциальных уравнений (П.20), (П.21) совме-
стна.
Чтобы доказать это утверждение, необходимо убедиться в справедливости то-
ждества

?xi ?xj A0 = ?xi [Aj , A0 ] = ?xj [Ai , A0 ] = ?xj ?xi A0 .

Но
?xi [Aj , A0 ] = [Aj , ?xi A0 ] = [Aj , [Ai , A0 ]] =
= [Ai , [Aj , A0 ]] = [Ai , ?xj A0 ] = ?xj [Ai , A0 ],
что и требовалось доказать.
Предложение 2. Общее решение системы уравнений (П.13) имеет вид

?(x) = exp{A0 x0 }U1 (x1 )U2 (x2 )U3 (x3 )?, (П.22)

где
? xi xi
Ai (xi ) · · · Ai (xi ) dxi · · · dxi ,
Ui (xi ) = I +
?i ?i
n=1 n
n

Ai (xi ) — произвольные (4 ? 4)-матрицы, удовлетворяющие условиям (П.20),
(П.21); ? — произвольный постоянный спинор.
Доказательство. Покажем, что формула

?(x) = exp{A0 x0 }?(x) (П.23)

дает решение системы (П.13), если

(П.24)
?xi ? = Ai (xi )?, i = 1, 3.

Действительно, в силу того, что ?x0 A0 = 0, имеем

?x0 ? = A0 ?,

кроме того,

xn n xn n xn
0 0 0
?xi An (П.25)
?xi ? = ?xi A = A ?xi ? + ?.
n! 0 n! 0 0
n!
n n n

Так как
?A0 n?1 ?A0 n?2 ?A0
A0 + · · · + An?1
?xi An = A0 + A0 =
0 0
?xi ?xi ?xi (П.26)

<< Предыдущая

стр. 94
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>