<< Предыдущая

стр. 95
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

= [Ai , A0 ]An?1 + · · · + An?1 [Ai , A0 ] = [Ai , An ],
0
0 0

то, подставляя (П.25), (П.26) в (П.13), получаем

exp{A0 x0 }(?xi ? ? Ai ?) = 0.
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 407

Нетрудно убедиться, что общее решение (П.24) может быть записано в виде
?(x) = U1 (x1 )U2 (x2 )U3 (x3 )?,
где Ui — матрицант i-го уравнения из (П.24), задается формулой (П.22). Для этого
необходимо воспользоваться тождеством
? ?
? ?
xj xj
? ?
Aj (xj ) · · · Aj (xj ) dxj · · · dxj ? = 0, n ? 1,
?Ai , i = j,
? ?
?j ?j
n
n
из которого следует, что
[Ai (xi ), Uj (xj )] = 0, i = j.
Особенно простой вид имеют формулы (П.20)–(П.22) в том случае, когда ма-
трицы Ai постоянные. Из (П.20), (П.21) следует, что они должны удовлетворять
следующей нелинейной алгебраической системе матричных уравнений:
(П.27)
[Ai , Aj ] = 0, [?0 ?k Ak + im?0 , Ai ] = 0,
при этом решение уравнения (П.13)
?(x) = exp{?(?0 ?k Ak + im?0 )x0 + Ai xi }?. (П.28)
Удается найти общее решение соотношений (П.27), однако полученный резуль-
тат очень громозкий. Приведем здесь только некоторые частные решения:
A1 = ?im?1 , A2 = ??1 ?2 ?3 , A3 = ??1 ;
(П.29)
A1 = ?1 + ?2 ?0 + ?3 ?1 ?2 + ?4 ?3 ?4 , A2 = ?2 ?1 A1 , A3 = 0,
?, ?1 , . . . , ?4 — произвольные комплексные константы.
Подставляя (П.29) в (П.28), получаем многопараметрические семейства точных
решений уравнения Дирака.
Отметим, что операторы Qi = ?xi ? Ai , образуя алгебру Ли, вообще говоря, не
являются операторами симметрии уравнения Дирака, так как
[L, Qi ] = [?0 , Ai ]?0 L + ?0 [?0 ?k , Ai ]Qk , i = 1, 3.
В заключение приведем полученными нами решения системы дифференциаль-
ных уравнений (П.20), (П.21) вида
Ai (xi ) = c1 + c2 ?i + c3 ?4 + c4 ?i ?4 , (П.30)
i = 1, 3,
i i i i

где ck = ck (xi ), по i нет суммирования:
i i

c1 = ?1 cos ?, c2 = im + ?1 sin ?, c3 = c4 = 0,
1. 1 1 1 1
1 2 3 4
(П.31)
c2 = ?3 cos ?, c2 = ?3 sin ?, c2 = c2 = 0,
c1 = ?5 , c2 = c3 = c4 = 0,
3 3 3 3
где
1
{? tg (?2 ? 2i?x1 ) + i?1 }, ? = m2 + ? 2 ,
? = 2 arctg 1
m
? = 2 arctg ?4 e?2?3 x2 , ?1 , . . . , ?5 = const;
408 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

?1
c1 = ?1k ?2k e2?1k xk ? 1 ?2k e2?1k xk + 1
2. ,
k
?1
(П.32)
c2 = ?2k (?1k )2 e2?1k xk ?2k e2?1k xk + 1 ,
k
c3 = 0, c4 = ic2 , k = 1, 3,
k k k

где ?1k , ?2k = const;
?1
c1 = ?i 1 + ?2 e4i?x1 1 ? ?2 e4i?x1 c2 = i?1 , c3 = ?1 ,
3. ,
1 1 1
?1
c4 = ? 1 + ?2 e4i?x1 1 ? ?2 e4i?x1 (П.33)
,
1
c1 = ?3 , c1 = ?5 , ck = ck = 0, k = 2, 4.
2 3 2 3

Подставляя формулы (П.30)–(П.33) в (П.22), получаем точные решения урав-
нения Дирака вида (П.19). Причем, в силу того, что операторы Qi = ?xi ? Ai (xi )
не являются операторами симметрии уравнения (П.18), эти решения не могут быть
получены в рамках подхода, используемого в [55, 56, 60].

1. Dirac P.A.M., Proc. Roy. Soc. A, 1928, 117, 610–625.
2. Gorson E.M., Introduction to tensors, spinors and relativistic wave equations, London, 1953.
3. Фущич В.И., Никитин А.Г., ЭЧАЯ, 1978, 9, Вып. 3, 501–553.
4. Фущич В.И., Никитин А.Г., ЭЧАЯ, 1981, 12, Вып. 5, 1157–1219.
5. Фущич В.И., Никитин А.Г., ЭЧАЯ, 1983, 14, Вып. 1, 5–57.
6. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наукова думка, 1983.
7. Ivanenko D., Phys. Z. Sowjet., 1938, 13, 141–150.
8. Heisenberg W., Nachr. Akad. Wiss. G?tingen, 1953, № 8, 111–122.
o
9. Heisenberg W., Rev. Mod. Phys., 1957, 29, 269–300.
10. Нелинейная квантовая теория поля: Сб. статей, M., Изд-во иностр. лит., 1959.
11. Finkelstein R., LeLevier R., Ruderman M., Phys. Rev., 1951, 83, 326–335.
12. G?rsey F., Nuovo Cimento, 1956, 3, 988–997.
u
13. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Zhdanov R.Z., Phys. Lett. B, 1985, 159, 189–191.
14. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений матема-
тической физики, в Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Ин-т
математики АН УССР, Киев, 1983, 4–23.
15. Фущич В.И., О пуанкаре-, галилеево-инвариантных нелинейных уравнениях и методах их реше-
ний, в Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики, Ин-т математики
АН УССР, Киев, 1985, 4–19.
16. Kortel F., Nuovo Cimento, 1956, 4, 729–735.
17. Merwe P.T., Phys. Lett. B, 1981, 106, 485–487.
18. Barut A.O., Xu В.W., Phys. Rev. D, 1981, 23, 3076–3077.
19. Barut A.O., Xu В.W., Physica D, 1982, 6, 137–139.
20. Akdeniz К.G., Lett. Nuovo Cimento, 1982, 33, 40–44.
21. Akdeniz К.G., Smailagic A., Lett. Math. Phys., 1984, 8, 175–179.
22. Курдгелаидзе Д.Ф., ЖЭТФ, 1957, 32, 1156–1162.
23. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в Теоретико-алгебраические иссле-
дования в математической физике, Ин-т математики АН УССР, Киев, 1981, 6–28.
24. Фущич В.И., Штелень В.М., Докл. АН СССР, 1983, 269, 88–92.
25. Fushchych W.I., Shtelen W.M., J. Phys. A, 1983, 16, 271–277.
Симметрия и точные решения нелинейного уравнения Дирака 409

26. Фущич В.И., Жданов Р.З., Точные решения систем нелинейных дифференциальных уравнений
для спинорного и векторного полей, в Теоретико-групповые исследования уравнений математи-
ческой физики, Ин-т математики АН УССР, Киев, 1985, 20–30.
27. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., J. Phys. A, 1987, 20, 4173–4190.
28. Фущич В.И., Укр. мат. журн., 1987, 39, 116–123.
29. Fushchych W.I., Serov N.I., J. Phys. A, 1983, 16, 3645–3656.
30. Фущич В.И., Чернига Р.М., О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений
шредингеровского типа, Препринт 86.85, Ин-т математики АН УССР, Киев, 1986.
31. Fushchych W.I., Tsifra I.M., J. Phys. A, 1987, 20, L45–L48.
32. Lie S., Teorie der Transformationgruppen, Bd. 1–3, Leipzig, 1888, 1890, 1893.
33. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978.
34. Ибрагимов Н.X., Группы преобразований в математической физике, М., Наука, 1983.
35. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Введение в теорию квантованных полей, М., Наука, 1984.
36. Finkelstein R., Fronsdal С., Kaust P., Phys. Rev., 1956, 103, 365–369.
37. Курант Р., Уравнения с частными производными: Пер. с англ., М., Мир, 1964.
38. Morgan A.G.A., Quart. J. Math. Oxford, 1952, 3, 250–259.
39. Биркгоф Г., Гидродинамика: Пер. с англ., М., Изд-во иностр. лит., 1953.
40. Корняк В.В., Применение ЭВМ для исследования симметрий некоторых уравнений математи-
ческой физики, в Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики, Ин-т
математики АН УССР, Киев, 1985, 114–119.
41. Bhabha Н.J., Rev. Mod. Phys., 1945, 17, 200–215.
42. Levi-Leblonde J.-M., J. Math. Phys., 1963, 4, 776–792.
43. Фущич В.И., Тычинин В.А., О линеаризации некоторых нелинейных уравнений с помощью
нелокальных преобразований, Препринт 82.33, Ин-т математики АН УССР, Киев, 1982.
44. Фущич В.И., Серова М.М., Докл. АН СССР, 1983, 268, 1102–1104.
45. Thirring W., Ann. Phys., 1958, 3, 91–112.
46. Scarf F.L., Phys. Rev., 1960, 117, 693–695.
47. Фущич В.И., Тычинин В.А., Жданов Р.З., Нелокальная линеаризация и точные решения неко-
торых уравнений Монжа–Ампера, Дирака, Препринт 85.34, Ин-т математики АН УССР, Киев,
1985.
48. Cole L.D., Quart. Appl. Math., 1951, 9, 225–236.
49. Hopf E., Comm. Pure and Appl. Math., 1950, 3, 201–230.
50. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., J. Math. Phys., 1975, 16, 1597–1624.
51. Bacry H., Combe Ph., Sorba P., Repts. Math. Phys., 1974, 5, 145–186.
52. Bacry H., Combe Ph., Sorba P., Repts. Math. Phys., 1974, 5, 361–392.
53. Grunland A.M., Harnad J., Winternitz P., J. Math. Phys., 1984, 25, 791–807.
54. Фущич В.И., Штелень В.М., ТМФ, 1987, 72, 35–44.
55. Миллер У., Симметрия и разделение переменных, Пер. с англ., M., Мир, 1981.
56. Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И.М. и др., Точные решения релятивистских волновых урав-
нений, Новосибирск, Наука, 1982.
57. Эйзенхарт Л.П., Непрерывные группы преобразований, Пер. с англ., М., Изд-во иностр. лит.,
1947.
58. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Dordrecht, D. Reidel Publ.
Company, 1987.
59. Cook A.H., Proc. Roy. Soc. Lond. A, 1982, 383, 247–278.
60. Kalnins E.G., Miller W., Williams G.C., J. Math. Phys., 1986, 27, 1893–1900.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 410–427.

Подалгебры афинной алгебры AIGL(3, R)
А.Ф. БАРАННИК, Ю.Д. МОСКАЛЕНКО, В.И. ФУЩИЧ
В работе проведена классификация с точностью до IGL(3, R)-сопряженности всех
подалгебр алгебры Ли AIGL(3, R) группы IGL(3, R) неоднородных линейных пре-
образований вещественного трехмерного пространства. Выделены вполне приводи-
мые подалгебры алгебры AGL(n, R) являющейся алгеброй Ли полной линейной
группы степени n над R, и изучены их свойства.

Введение
Группа IGL(4, R) неоднородных линейных преобразований вещественного че-
тырехмерного пространства и конформная группа C(2, 2) псевдоевклидова прос-
транства R2,2 являются группами инвариантности важных уравнений теоретиче-
ской и математической физики [1, 2]. Каждая из этих групп содержит в каче-
стве подгруппы группу IGL(3, R) неоднородных линейных преобразований веще-
ственного трехмерного пpocтранства. Поэтому классификация подгрупп группы
IGL(3, R) является одним из этапов классификации подгрупп группы IGL(4, R)
и C(2, 2). Так как нас интересуют только связные подгруппы группы IGL(3, R),
то задача их классификации относительно IGL(3, R)-сопряженности сводится к
задаче классификации подалгебр алгебры Ли AIGL(3, R) группы IGL(3, R) отно-
сительно IGL(3, R)-сопряженности.
Данная работа является продолжением исследований, выполненных в [3].
В ней используется ряд общих принципов классификации подалгебр произвольной
алгебры Ли, изложенных в работах [4, 5, 6]. В § 1 выделены вполне приводимые
подалгебры алгебры AGL(n, R) являющейся алгеброй Ли полной линейной группы
степени n над R, и изучены их свойства. В § 2 подалгебры алгебры AGL(3, R), не
являющиеся вполне приводимыми, разбиты на три класса и решена задача клас-
сификации подалгебр каждого из этих классов. В § 3 для каждой подалгебры
F ? AGL(3, R) находятся все ее расширения в алгебре AIGL(3, R).
§ 1. Алгебра Ли AGL(n, R).
Вполне приводимые подалгебры алгебры AGL(n, R)
Пусть V = Rn — n-мерное арифметическое векторное пространство над полем
вещественных чисел R, состоящее из n-мерных столбцов, {T1 , . . . , Tn } — базис V ,
элементы которого являются единичными столбцами, End V — алгебра эндомор-
физмов пространства V . Алгебру Ли, ассоциированную с алгеброй End V , будем
обозначать символом AGL(V ). Для всякого f ? End V положим
n
?kj ? R,
f (Tj ) = ?kj Tk ,
k=1
т.е.
? ?
· · · d1n
d11
(f (T1 ), . . . , f (Tn )) = (T1 , . . . , Tn ) ? · · · ··· ··· ?,
· · · dnn
dn1
Препринт 89.65, Киев, Институт математики АН УССР, 1989, 32 c.
Подалгебры афинной алгебры AIGL(3, R) 411

Тогда отображение
? ?
· · · d1n
d11
?··· · · · · · · ? ? Mn (R)
f >A=
End V
· · · dnn
dn1

является изоморфизмом алгебр End V и Mn (R). Здесь Mn (R) — алгебра ква-
дратных матриц порядка n над полем R. Таким образом, выбирая базис в V , мы
можем отождествлять алгебры End V и Mn (R). Аналогично мы отождествляем
алгебры Ли AGL(V ) и AGL(n, R), ассоциированные соответственно с End V и
Mn (R).
Положим GL(V ) = {S ? AGL(V ) | det S = 0}. Множество GL(V ) является
мультипликативной группой, которая называется полной линейной группой сте-
пени n над полем R и часто обозначается GL(n, R). Группа GL(n, R) содержит
подгруппу SL(n, R), состоящую из всех матриц с определителем, равным 1. Она
называется специальной линейной группой. Ее алгебра Ли ASL(n, R) определя-
ется как множество всех матриц X ? AGL(n, R) с нулевым следом. Очевидно,
имеет место разложение AGL(n, R) = ASL(n, R) ? En , где En — единичная
матрица.
Группой IGL(n, R) называется мультипликативная группа матриц

? Y
,
0 1

где ? ? GL(n, R), Y ? Rn .
Полагая [X, Z] = X ·Z, [Z, Z ] = 0 для произвольных X ? AGL(n, R), Z, Z ? V ,
?
мы превратим. векторное пространство V + AGL(n, R) в алгебру Ли, которая яв-
ляется алгеброй Ли группы IGL(n, R). Алгебра Ли AIGL(n, R) допускает изо-
морфное представление матрицами

?1 Y1
,
0 0

где ?1 ? AGL(n, R), Y1 ? Rn .
Каждый внутренний автоморфизм g > hgh?1 группы Ли G индуцирует ав-
томорфизм X > gXg ?1 алгебры Ли AG. Этот автоморфизм мы будем называть
G-автоморфизмом алгебры AG и обозначать символом ?g . Подалгебры L1 и L2

<< Предыдущая

стр. 95
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>