<< Предыдущая

стр. 96
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

алгебры AG будем называть G-сопряженными, если gL1 g ?1 = L2 .
Пусть F — некоторая подалгебра алгебры AGL(V ). Подалгебра F называется
неприводимой, а пространство V F -неприводимым, если V содержит лишь триви-
альные подпространства, инвариантные относительно F . Подалгебра F называется
вполне приводимой, если для каждого F -инвариантного подпространства V1 ? V
сущесвует такое F -инвариантное подпространсво V2 ? V , что V = V1 ? V2 . Если
F — вполне приводимая алгебра линейных преобразований векторного пространс-
тва V , то пространство V разлагается в прямую сумму V1 ?· · ·?Vs подпространств,
каждое из которых инвариантно и неприводимо относительно F . Так как подал-
гебры алгебры AGL(V ) мы изучаем с точностью до GL(V )-сопряженности, то в
дальнейшем будем предполагать, что V1 = T1 , . . . , Tk1 , V2 = Tk1 +1 , . . . , Tk1 +k2 ,
. . ., Vs = T?s +1 , . . . , Tn , ?s = k1 + · · · + ks?1 .
412 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

?
Если J ? F , то ad J можно рассматривать как линейное преобразование Ji
?
пространства Vi . Матрица ?i (J) преобразования Ji в базисе {T?i +1 , . . . , T?i +ki }
пространства Vi содержится в AGL(Vi ). Отображение ?i : F > AGL(Vi ) является
гомоморфизмом, а ?i (F ) — неприводимой подалгеброй алгебры AGL(Vi ). Так как
отображение J > (?1 (J), . . . , ?s (J)) есть изоморфизм F в алгебру ?1 (F ) ? · · · ?
?s (F ), то будем говорить, что F разлагается относительно базиса {T1 , . . . , Tn } в
подпрямое произведение алгебр ?1 (F ), . . . , ?s (F ), и записывать это так:
F = ?1 (F ) ? · · · ? ?s (F ). (1.1)
? ?

Пусть Fi = {J ? F | ?j (J) = 0 для всех j = i}, где F = ?1 (F ) ? · · · ? ?s (F ).
Легко видеть, что Fi — подалгебра алгебры F и что наряду с разложением (1.1)
мы имеем разложение F = F1 + · · · + Fs . В дальнейшем алгебры F1 , . . . , Fs будем
? ?
называть неприводимыми частями алгебры F . Условимся алгебру Fi отождеств-
лять с алгеброй ?i (F ). В этом смысле будем говорить, что Fi — неприводимая
подалгебра алгебры AGL(Vi ). Подалгебры Fi и Fj назовем эквивалентными, если
ki = kj и сущесвует такая матрица C ? AGL(Vi ), что C?i (J)C ?1 = ?j (J) для
всех J ? F . Нетрудно убедиться, что рассматриваемое отношение на множестве
{F1 , . . . , Fs } является отношением эквивалентности, а потому оно проводит ра-
збиение множества неприводимых частей алгебры F на классы A1 , . . . , At . Если
Fm1 , Fm1 , . . . , Fmri ? Ai , то через Ai обозначим подалгебру Ai = {J ? F | ?j (J) = 0
для всех j = m, m2 , . . . , mri }. Подалгебру Ai назовем примарной частью алгебры
F . Очевидно, F является подпрямой суммой своих примарных частей. Разложение
F = F1 + · · · + At будем называть каноническим разложеним алгебры F .
? ?
Теорема 1.1 Пусть F — вполне приводимая подалгебра алгебры AGL(V ), A1 ,
. . ., At примарные части P , W — подпространство пространства V , инвари-
антное относительно F . Тогда W = W1 ? · · · ? Wt ? W , где [Ai , Wi ] = Wi ,
[Ai , Wj ] = 0 при i = j, [F, W ] = 0 (i, j = 1, . . . , t). Если примарная алгебра
A является подпрямой суммой неприводимых подалгебр соответственно ал-
гебр AO(V1 ), AO(V2 ), . . ., AO(Vq ), то с точностью до GL(V )-сопряженности
ненулевые подпространсва U пространства V со свойством [A, U ] = U исчер-
пываются пространствами V1 , V1 ? V2 , . . ., V1 ? V2 ? · · · ? Vq .
Теорема 1.1 решает вопрос о классификации всех подпространств, инвари-
антных относительно вполне приводимой подалгебры F алгебры AGL(V ). Рас-
смотрим далее вопрос о неращепляемых расширениях подалгебры F . Допустим,
что алгебра Ли L является полупрямой суммой идеала V и подалгебры K, где
?
K ? AGL(V ). Пусть ? проектирование L на K, а F — такая подалгебра L, что
??
? (F ) = F . Если для некоторого внутреннего автоморфизма ? алгебры L справе-
? ?
дливо равенство ?(F ) = W + F , где W ? V , то алгебру F будем называть расще-
?
?
пляемой в алгебре L. Если любая подалгебра F ? L, удовлетворяющая условию
??
? (F ) = F , является расщепляемой, то будем говорить, что алгебра F обладает
только расщепляемыми расширениями в алгебре L.
Теорема 1.2 [3]. Пусть F вполне приводимая подалгебра алгебры AGL(V ), K —
произвольная подалгебра алгебры AGL(V ) и F ? K. Для того чтобы F облада-
? ?
ла только расщепляемыми расширениями в алгебре K = V + K, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий: 1) F полупроста;
2) F аннулирует только нулевое подпространство пространства V .
Подалгебры афинной алгебры AIGL(3, R) 413

Теоремы 1.1 и 1.2 сводят задачу классификации относительно IGL(n, R)-сопря-
??
женности подалгебр F ? L, удовлетворяющих условию ? (F ) = F , где F — вполне
приводимая подалгебра алгебры AGL(n, R), к задаче классификации относительно
GL(V )-сопряженности неприводимых частей подалгебр алгебры AGL(V ).
Остановимся на вполне приводимых подалгебр алгебры AGL(3, R). С этой це-
лью выпишем все неприводимые подалгебры алгебр AGL(3, R) и AGL(2, R). Ал-
гебра ASL(3, R) обладает с точностью до SL(3, R)-сопряженности тремя неприво-
димыми подалгебрами:
?? ?? ?? ??
? ab? ? 0ab ?
0
??a 0 c ? ; 2) AO(2, 1) = ?a 0 c ? ;
1) AO(3) =
? ? ? ?
?b ?c 0 bc0
3) ASL(3, R).
Все эти подалгебры полупросты. Неприводимыми в AGL(3, R) будут только такие
подалгебры:
1) AO(3); 2) AO(3) ? S ; 3) AO(2, 1);
4) AO(2, 1) ? S ; 5) ASL(3, R); 6) AGL(3, R),
где S = diag [1, 1, 1].
Алгебра AGL(2, R) состоит из матриц вида
a1 a2
a1 b2 ? a2 b1 = 0.
,
b1 b2
Базис этой алгебры выберем в следующем виде:
?1 0 0 0 ?0 1 10
? ? ?
A1 = , A2 = , A3 , D= .
?1
01 0 0 0 01
? ???
Очевидно, AGL(2, R) = ASL(2, R) ? D , где ASL(2, R) = A1 , A2 , A3 . В алге-
бре ASL(2, R) с точностью до SL(2, R)-сопряженности имеются только две не-
? ? ???
приводимые поалгебры: 1) AO(2) = A2 + A3 ; 2) ASL(2, R) = A1 , A2 , A3 . В
алгебре AGL(2, R) с точностью до GL(2, R)-сопряженности существуют только
? ? ? ? ??
следующие неприводимые подалгебры: 1) A2 + A3 + ?D (? ? 0); 2) A2 + A3 , D ;
3) ASL(2, R); 4) AGL(2, R). Таким образом, алгебра AGL(3, R) содержит с точно-
стью до GL(3, R)-сопряженности только следующие максимальные вполне приво-
димые подалгебры:
1) AO(3) ? S ; 2) AO(2, 1) ? S ; 3) ASL(3, R);
4) AGL(2, R) ? S ; 5) A1 ? D ? S ,
? ?
где A1 = diag [A1 ; 0], D = diag [D; 0].
Обозначим класс вполне приводимых подалгебр алгебры AGL(3, R) через M0 .
Из предыдущих результатов получаем полную классификацию подалгебр класса
M0 с точностью до GL(3, R)-сопряженности, изложеную ниже.
Подалгебры класса M0 алгебры AGL(3, R):
AO(3) ? S , AO(2, 1) ? S , AO(3), AO(2, 1), ASL(3, R), AGL(3, R),
A2 + A3 + ?D + ?S (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0), A2 + A3 + ?D, S (? ? 0),
414 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

A2 + A3 + ?S, D + ?S (? ? 0), A2 + A3 , D, S , ASL(2, R), ASL(2, R) ? S ,
ASL(2, R) ? D + ?S , AGL(2, R) ? S , S , D + ?S ,
A1 + ?D + ?S (0 < ? < 1 ? ? = 0, ? ? 0),
A1 + ?S, D + ?S (? + 3? + 2 ? 0, ? ? 0), A1 + ?D, S (0 ? ? < 1),
D, S , A1 , D, S .
§ 2. Подалгебры алгебры AGL(3, R),
не являющиеся вполне приводимыми
Пусть F — произвольная подалгебра алгебры AGL(n, R), не являющаяся впол-
не приводимой, и пусть V1 — минимальное, отличное от нуля, F -инвариантное
подпространство в V . Подпространство V1 неприводимо относительно F . Пусть,
далее, V2 — минимальное F -инвариантное подпространство в V , содержащее V1 ,
но не совпадающее с V1 . Так как V1 — F -инвариантно, то определено действие
алгебры F на факторпространстве V2 /V1 , которое будет F -неприводимым. Сле-
довательно, мы можем построить композиционный ряд для V , т.е последователь-
ность 0 ? V1 ? · · · ? Vk ? V , состоящую из F -инвариантных подпространств в V
и такую, что F действует неприводимо в каждом из факторпространств Vj /Vj?1 .
Ввиду того, что подалгебры алгебры AGL(V ) мы изучаем с точностью до GL(V )-
сопряженности, подпространства Vj можно выбрать таким образом, чтобы для ка-
ждого j = 1, 2, . . . , k векторы T1 , . . . , Tlj образовывали базис Vj (l1 < l2 < · · · < lk ).
При таком выборе базисов подпространств Vj алгебра F реализуется в базисе
{T1 , . . . , Tn } матрицами
? ?
?
?1
? ?
?2
? ?
? ?,
..
? ?
.
0 ?k

где ?j пробегает неприводимую подалгебру алгебры AGL(Vj /Vj?1 . Ее диагональ-
ную часть F0 , состоящую из матриц
? ?
?1 0
? ?
?2
? ?
? ?,
..
? ?
.
0 ?k

будем называть вполне приводимой частью алгебры F в базисе {T1 , . . . , Tn } (или
относительно композиционного ряда 0 ? V1 ? · · · ? Vk ? V . Вполне приво-
димая часть F0 определяется алгеброй F однозначно с точностью до GL(n, R)-
сопряженности.
Применительно к алгебре AGL(3, R) рассмотрим такие последовательности
подпространств:

0 ? T 1 , T2 ? T 1 , T2 , T3 , (2.1)

0 ? T 1 ? T 1 , T2 , T3 , (2.2)

0 ? T 1 ? T 1 , T2 ? T 1 , T2 , T3 . (2.3)
Подалгебры афинной алгебры AIGL(3, R) 415

Будем говорить, что подалгебра F принадлежит классу M1 (соответственно
M2 и M3 ), если ряд (2.1) (соответственно (2.2) и (2.3)) является композиционным
рядом F -модуля V . Любая подалгебра F , относящаяся к классу M1 , состоит из
матриц
?
?
,
0 a
где ? пробегает неприводимую подалгебру алгебры AGL(2, R), a ? R. Подалгебра
F , относящаяся к классу M2 , состоит из матриц
a?
,
0?
где ? пробегает неприводимую подалгебру алгебры AGL(2, R), a ? R. Подалгебра
F , относящаяся к классу M3 , реализуется маматрицами
? ?
?
a
? ? , a, b, c ? R.
b
0 c
Покажем, что подалгебры L1 и L2 , относящиеся к различным классам, не со-
пряжены между собой относительно группы GL(3, R). Пусть, например, L1 ? M1 ,
L2 ? M2 . Так как L1 не является вполне приводимой, то V содержит только одно
нетривиальное L1 -инвариантное подпространство, совпадающее с T1 , T2 . Анало-
гично, V содержит только одно нетривиальное L2 -инвариантное подпространство,
совпадающее с T1 . Отсюда вытекает, что не существует GL(3, R)-автоморфизма,
который отображал бы L1 на L2 . Аналогично рассматривается остальные случаи.
Докажем, что задача классификации подалгебр класса M1 относительно
GL(3, R)-сопряженности эквивалентна задаче классификации подалгебр класса
M2 oтносительно GL(3, R)-сопряженности. С этой целью рассмотрим максималь-
ную подалгебру M1 , относящуюся к классу M1 . Она совпадает с алгеброй всех
матриц
? ?
a1 a2 c1
? b1 b2 c2 ? ,
0 0 c3
где ai , bi , ci ? R и, очевидно, содержит любую подалгебру класса M1 . Базис алге-
бры M1 образуют матрицы S,
? ? ? ? ? ?
?1 0 0 0 00 010
A1 = ? 0 1 0 ? , A2 = ??1 0 0 ? , A3 = ?0 0 0 ? ,
0 00 0 00 000
? ? ? ? ? ?
100 001 000
D = ?0 1 0 ? , P1 = ?0 0 0 ? , P2 = ?0 0 1 ? .
000 000 000
Так как A1 , A2 , A3 , D ? AGL(2, R), P1 , P2 + A1 , A2 , A3 , D ? AIGL(2, R),
?
= =
то алгебра M1 изоморфна алгебре AIGL(2, R) ? S , где S — дилатация. Вполне
приводимая часть алгебры M1 совпадает с A1 , A2 , A3 , D ? S ? AGL(2, R) ? S .
=
416 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

Пусть L1 , L2 ? M1 и существует GL(3, R)-автоморфизм ?, отображающий L1
на L2 . Так как, очевидно, ?( T1 , T2 ) = T1 , T2 , то, следовательно ? = ?c для
некоторой матрицы
? ?
c11 c12 c13
C = ?c21 c22 c23 ? ? IGL(2, R).
?
0 0 c33

Таким образом, задача классификации с точностью до GL(3, R)-сопряженности по-
далгебр класса M1 сводится к задаче классификации подалгебр алгебры
?
AIGL(2, R) ? S с точностью до IGL(2, R)-сопряженности.
Аналогично, максимальная подалгебра M2 , относящаяся к классу M2 совпадает
с алгеброй всех матриц
? ?
a1 a2 a3
? 0 b1 b2 ? ,
0 c1 c2

где ai , bi , ci ? R. Базис подалгебры M2 образуют матрицы S = S.
? ? ? ? ? ?
000 000 000
A1 = ?0 ?1 0 ? , A2 = ?0 0 0 ? , A3 = ?0 0 1 ? ,
0 ?1 0

<< Предыдущая

стр. 96
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>