<< Предыдущая

стр. 97
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

000 000
? ? ? ? ? ?
0 ?1 0
00 0 001
D = ?0 ?1 0 ? , P1 = ?0 0 0 ? , P2 = ?0 0 0 ? ,
0 0 ?1 000 000

Алгебра M2 , изоморфная алгебре AIGL(2, R) ? S (S — дилатация), содержит
любую подалгебру класса M2 . Как и выше, доказываем, что классификация по-
далгебр класса M2 с точностью до GL(3, R)-сопряженности сводится к задаче
?
классификации подалгебр алгебры AIGL(2, R) ? S с точностью до IGL(2, R)-
сопряженности. Нетрудно убедиться, что линейное отображение

f : A1 > A1 , A2 > A2 , A3 > A3 , D > D , P1 > P1 , P2 > P2 , S > S

является изоморфизмом алгебры M1 на алгебру M2 . Предположим, что задача
?
классификации подалгебр алгебры M1 с точностью до IGL(2, R)-сопряженности
решена. Тогда, используя изоморфизм f , автоматически получаем классификацию
?
подалгебр алгебры M2 с точностью до IGL(2, R)-сопряженности.
Найдем, например, все подалгебры класса M1 алгебры M1 с точностью до
IGL(2, R)-сопряженности. Так как алгебра A1 , A2 , A3 , D , изоморфная алгебре
AGL(2, R), имеет только четыре неприводимых подалгебры (см. § 1) то подалгебры
класса M1 алгебры M1 с нулевой проекцией на S исчерпываются с точностью
до IGL(2, R)-сопряженности такими подалгебрами:
A2 + A3 + ?D, P1 , P2 (? ? 0), A2 + A3 + D, P1 , P2 ,
? ?
AISL(2, R) = P1 , P2 + ASL(2, R), AIGL(2, R) = P1 , P2 + AGL(2, R).
Расширяя эти подалгебры с помощью генератора S, получаем такие подалгебры
класса M1 алгебры M1 :
A2 + A3 + ?D + ?S, P1 , P2 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0),
Подалгебры афинной алгебры AIGL(3, R) 417

A2 + A3 + ?D, S, P1 , P2 (? ? 0), A2 + A3 , D, S, P1 , P2 ,
A2 + A3 + ?S, D + ?S, P1 , P2 (? ? 0, ? ? R),
AISL(2, R) ? S , AISL(2, R) = P1 , P2 + ASL(2, R),
?
AIGL(2, R) ? S , AISL(2, R) ? D + ?S (? ? R).
Заменив в этих подалгебрах все генераторы на генераторы со штрихами, получаем
классификацию подалгебр класса M2 с точностью до GL(3, R)-сопряженности.
Перейдем к рассмотрению подалгебр класса M3 . Пусть F — одна из таких
подалгебр. По определению F -модуль V обладает композиционным рядом.
0 ? T 1 ? T 1 , T2 ? T 1 , T2 , T3 . (2.4)
Элемент ? ? GL(V ), оставляющий инвариантным ряд (2.4), будем называть авто-
морфизмом этого ряда. Множество всех автоморфизмов ряда (2.4) образует груп-
пу, которую обозначим через G1 . Группа G1 состоит, очевидно, из всех матриц
вида
? ?
?
?
? ?,
?
0 ?
где ?, ?, ? ? R.
Предположим, что для F -модуля V существует еще некоторый композицион-
ный ряд, отличный от ряда (2.4). С точностью до сопряженности относительно
группы G1 можно считать, что этот ряд имеет вид
0 ? Ti1 ? Ti1 , Ti2 ? Ti1 , Ti2 , Ti3 , (2.5)
где i1 , i2 , i3 — некоторая перестановка символов 1, 2, 3. Элемент ? ? GL(V ), ото-
бражающий ряд (2.4) на ряд (2.5), т.е. удовлетворяющий условиям ?( T1 ) = Ti1 ,
?( T1 , T2 ) = Ti1 , Ti2 , будем называть изоморфизмом ряда (2.4) на ряд (2.5).
Пусть ?1 , ?2 — два произвольных изоморфизма ряда (2.4) на ряд (2.5). Тогда
??1 ?2 является автоморфизмом композиционного ряда (2.4), и потому ??1 ?2 ?
1 1
G1 . Следовательно, ?2 ? ?1 G1 и, значит, множество всех изоморфизмов ряда (2.4)
на ряд (2.5) образует смежный класс группы GL(V ) по подгруппе G1 . В качестве
представителя этого смежного класса можно взять изоморфизм ?, удовлетворя-
ющий условиям: ?(T1 ) = Ti1 , ?(T2 ) = Ti2 , ?(T3 ) = Ti3 . Изоморфизм ? можем
T1 T2 T3
рассматривать как подстановку ? = , т.е. как элемент симметри-
Ti1 Ti2 Ti3
ческой группы S3 . Обратно, любую подстановку ? ? S3 мы можем рассматривать
как изоморфизм ряда (2.4) на некоторый ряд (2.5). В частности, можно считать,
что S3 ? GL(V ).
Теорема 2.1. Если подалгебры L1 , L2 ? M3 сопряжены относительно группы
GL(3, R)-автоморфизмов, то они сопряжены и относительно группы {G1 , S3 }.
Здесь {G1 , S3 } группа, порожденная подгруппами G1 и S3 .
Доказательство. Пусть f — GL(3, R)-автоморфизм, отображающий алгебру L1 ?
M3 на алгебру L2 ? M3 . Если
K0 : 0 ? T 1 ? T 1 , T 2 ? T 1 , T 2 , T 3
— единственный композицинный ряд L1 -модуля V , то этим же свойством обладает
и L2 -модуль V . Следовательно, f является автоморфизмом ряда K0 , а потому
418 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

f ? G1 . Предположим, далее, что f (K0 ) = K0 . Тогда существует композиционный
ряд K1 L1 -модуля V , отличный от ряда K0 . Не нарушая общности, можно считать,
что f (K1 ) = K0 , f (K0 ) = K2 , где K2 -композиционный ряд L2 -модуля V . Нетрудно
убедиться, что существует автоморфизм ?1 ? G1 , отображающий композиционный
ряд K1 на композиционный ряд
K1 : 0 ? Ti1 ? Ti1 , Ti2 ? Ti1 , Ti2 , Ti3 ,
где i1 , i2 , i3 некоторая перестановка символов 1, 2, 3. Аналогично, существует
автоморфизм ?2 ? G1 , отображающий композиционный ряд K2 на
K2 : 0 ? Tj1 ? Tj1 , Tj2 ? Tj1 , Tj2 , Tj3 .
Обозначим через L1 и L2 подалгебры L1 = ?1 (L1 ) и L2 = ?2 (L2 ). Автоморфизм
?1
f = ?2 f ?1 отображает L1 на L2 и f (K0 ) = K2 , f (K1 ) = K0 . Отсюда вытекает,
?1 ?1
что f = ??, где ? ? S3 , ? ? G1 . Но тогда ?2 f ?1 = ??, откуда f = ?2 ???1 , а
значит, f ? {G1 , S3 }. Теорема доказана.
Пусть L1 , L2 ? M3 — две произвольные подалгебры, которые не сопряжены
относительно группы G1 автоморфизмов композиционного ряда K0 , но сопряжены
относительно группы {G1 , S3 }. Из доказательства теоремы 2.1 вытекает, что L1 -
модуль V и L2 -модуль V имеют по крайней мере два общих композиционных ряда
K0 и K1 , причем можно предполагать, что автоморфизм ? ? S3 , отображающий
L1 на L2 , отображает K0 на K1 . Но тогда f отображает вполне приводимую часть
алгебры L1 относительно композиционного ряда K0 на вполне приводимую часть
алгебры L2 относительно композиционного ряда K1 . Поэтому класс подалгебр
M3 можем разбить на четыре подкласса в зависимости от от структуры вполне
приводимой части подалгебры.
Если вполне приводимая часть алгебры L ? M3 нулевая, то L1 отнесем к классу
M3,0 . Если вполне приводимая часть алгебры L ? M3 совпадает с алгеброй S ,
то L отнесем к классу M3,1 . Класс M3,2 образуют те подалгебры L ? M3 , вполне
приводимая часть которых сопряжена с одной из следующих алгебр: D + ?S ,
A1 +D+?S , A1 ?D+?S (? ? R), A1 ?D, S , A1 +D, S , D, S . Все остальные
подалгебры множества M3 , не содержащиеся ни в одном из классов M3,0 , M3,1 ,
и M3,2 , отнесем к классу M3,3 . Из предыдущих рассуждений вытекает, что если
подалгебры L1 и L2 принадлежат различным классам M3,i и M3,j (i = j; i, j ?
{0, 1, 2, 3}), то они не сопряжены между собой относительно группы GL(3, R)-
автоморфизмов.
В результате получаем полную классификацию подалгебр алгебры AGL(3, R),
?
не являющихся вполне приводимыми. Если речь идет о подалгебрах U1 + F ,
?
. . . , Us + F , то будем употреблять обозначение F : U1 , . . . , Us .
1) Подалгебры класса M1 алгебры AGL(3, R):
A2 + A3 , D, S, P1 , P2 , A2 + A3 + ?D + ?S, P1 , P2 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0),
A2 + A3 + ?D, S, P1 , P2 (? ? 0), A2 + A3 + ?S, D + ?S, P1 , P2 (? ? 0),
AISL(2, R) ? S , AISL(2, R) = P1 , P2 + ASL(2, R),
?
AISL(2, R) ? S , AISL(2, R) ? D + ?S (? ? R).
2) Подалгебры класса M2 алгебры AGL(3, R):
A2 + A3 + ?D + ?S, P1 , P2 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0),
A2 + A3 + ?D , S, P1 , P2 (? ? 0), A2 + A3 + ?S, D + ?S, P1 , P2 (? ? 0),
Подалгебры афинной алгебры AIGL(3, R) 419

P1 , P2 + ( A1 , A2 , A3 ? S ), A2 + A3 , D , S, P1 , P2 ,
?
AISL(2, R) = P1 , P2 + A1 , A2 , A3 , P1 , P2 + ( A1 , A2 , A3 ? D + ?S ),
? ?
P1 , P2 + ( A1 , A2 , A3 ? D ? S ).
?
3) Подалгебры класса M3,0 алгебры AGL(3, R):
A3 , A3 + P2 , P1 , P2 , A3 , P1 , A3 + P2 , P1 , A3 , P1 , P2 .
4) Подалгебры класса M3,1 алгебры AGL(3, R):
S : A3 , A3 + P2 , P1 , P2 , A3 , P1 , A3 + P2 , P1 , A3 , P1 , P2 ;
S + A3 : 0, P1 , P1 , P2 , A3 + P2 , P1 ;
S + A3 + P2 : 0, P1 ; S + P1 : P2 , A3 + P2 ; S + P2 , A3 , P1 .
5) Подалгебры класса M3,2 алгебры AGL(3, R):
D + ?S, sS : P1 , A3 , P1 , P2 , A3 , P1 , A3 , P1 , P2 ;
D + ?S + A3 , sS : 0, P1 , P1 , P2 ;
D + ?A3 , S + A3 : 0, P1 , P1 , P2 ;
A1 + D + ?S, sS : P2 , P1 , P2 , A3 , P1 , P2 ;
A1 + D + ?S + P1 , sS, P2 , A1 + D + ?P1 , S + P1 , P2 ,
A1 ? D + ?S, sS : A3 , P1 , A3 , P1 , P2 ;
A1 ? D + ?S, P2 , sS, A3 , P1 , A1 ? D + ?P2 , S + P2 , A3 , P1 (s = 0, 1).
6) Подалгебры класса M3,3 алгебры AGL(3, R):
A1 + ?D, S, P1 , P2 (? ? 0, ? = 1),
A1 + ?D + ?S, P1 , P2 (? > 0, ? = 1 ? ? = 0, ? ? 0),
A1 + ?D + ?S, A3 , P1 (?1 < ? < 3, ? = 1 ? ? = 3, ? ? ?2),
A1 + ?D, S, A3 , P1 (?1 < ? ? 3, ? = 1),
A1 + ?D + ?S, sS (? = ±1; s = 0, 1): A3 , A3 , P1 , P2 ;
A1 ? 3D + ?S, sS (s = 0, 1): A3 + P2 , A3 + P2 , P1 ;
A1 + ?S, D + ?S, P1 , P2 (? ? 0);
A1 + ?S, D + ?S, A3 , P1 (? + 3? + 2 ? 0);
A1 + ?S, D + ?S : A3 , A3 , P1 , P2 ;
A1 , D, S : A3 , P1 , P2 , A3 , P1 , A3 , P1 , P2 .
§ 3. Подалгебры алгебры AIGL(3, R)
?
Пусть L — произвольная подалгебра алгебры AIGL(3, R) = V + AGL(3, R),
? — проектирование L на AGL(3, R). Если ?(L) = F , то L будем называть ра-
сширением подалгебры F в алгебре AIGL(3, R). В §§ 1, 2 были изучены подал-
гебры алгебры AGL(3, R) с точностью до GL(3, R)-сопряженности. В настоящем
параграфе для каждой подалгебры F ? AGL(3, R) мы опишем с точностью до
IGL(3, R)-сопряженности все ее расширения в алгебре AIGL(3, R). Все подал-
гебры алгебры AIGL(3, R) разобъем на четыре класса. Будем говорить, что по-
?
далгебра L ? AIGL(3, R) принадлежит классу Mi , если L является расширением
подалгебры F класса Mi алгебры AGL(3, R) (i = 0, 1, 2, 3). В соответствии с ра-
?
збиением класса Mi на подклассы M3,0 , M3,1 , M3,2 , и M3,3 класс M3 подалгебр
? ? ? ?
алгебры AIGL(3, R) разбивается на подклассы M3,0 , M3,1 , M3,2 , M3,3 .
Задача описания всех расширений вполне приводимой подалгебры алгебры
AGL(3, R) решена в § 1. Поэтому остановимся на описании расширений подал-
гебр, относящихся к одному из классов M1 , M2 и M3 . Рассмотрим наиболее
характерные случаи, встречающиеся при решении вышеуказанной задачи. Пусть,
например, F = A2 + A3 + ?D + ?S, P1 , P2 . Подалгебра F относится к классу
420 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

M1 . Изучение расщепляемых расширений подалгебры F сводится к нахождению
подпространств пространства V , инвариантных отностительно F . Из определе-
ния класса M1 вытекает, что V содержит только следующие F -инвариантные
подпространства: 0, T1 , T2 , V . Следовательно, получаем такие расщепляемые ра-
сширения подалгебры Опишем нерасщепляемые расширения подалгебры F : F ,
? ?
T 1 , T2 + F , V + F .
Опишем нерасщепляемые расширения подалгебры F . Вполне приводимая
часть F0 подалгебры F равна A2 + A3 + ?D + ?S . Если ? = 0, то подалге-
бра F0 аннулирует только нулевое подпространство пространства V . Но тогда в
силу теоремы 1.2 подалгебра F0 обладает только расщепляемыми расширения-
ми в алгебре AIGL(3, R). Следовательно, можно предполагать, что подалгебра
L ? AIGL(3, R), удовлетворяющая условию ?(L) = F , разлагается в полупря-
мую сумму L = N + F0 , где N ? P1 , P2 , T1 , T2 . Отсюда вытекает, что L ра-
?
сщепляемое расширение подалгебры F , что противоречит предположению. Полу-
ченное противоречие доказывает, что ? = 0. Подалгебра L содержит генератор
A2 + A3 + ?D + ?T3 . Если L ? V = 0, то отсюда вытекает, что L сопряжена с
подалгеброй а если A2 + A3 + ?D, P1 + T2 , P2 ? T1 , а если L ? V = T1 , T2 , то L
сопряжена с подалгеброй A2 + A3 + ?D + ?T3 , P1 + P2 , T1 ? T2 (? = 0). Исполь-
зуя автоморфизм ?c , определяемый матрицей C = diag [a, a, a], можно считать, что
? = 1.
Пусть F = A2 + A3 + ?D, S, P1 , P2 (? ? 0). Алгебра L, являющаяся расшире-
нием подалгебры F , содержит S, а потому L-расщепляемое расшрение подалгебры
F . Все остальные случаи рассматриваются аналогично. В результате получаем
полную классификацию подалгебр алгебры AIGL(3, R) с точностью до IGL(3, R)-
сопряженности изложенную ниже. Подпространство Ti1 , . . . , Tik будем обозна-
чать (i1 , . . . , ik ).
?
1) Подалгебры класса M3,0 алгебры AIGL(3, R):
A3 : 0, (1), (3), (1,2), (1,3), (1,2,3);
A3 + T2 : 0, (1), (3), (1,3);
A3 + T3 : 0, (1), (1,2);
A3 + P2 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
A3 + P2 + T3 : 0, (1), (1,2);
P1 , P2 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
P1 + ?1 T2 , P2 + ?2 T3 , T1 (?1 , ?2 = 0, 1, ?1 + ?2 > 0),
P1 , P2 + T3 , T1 , T2 , P1 + T2 , P2 + ?T1 (? = 0, 1),
P1 , P2 + T2 , A3 , P1 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
A3 + T3 , P1 + T3 , T1 , T2 , A3 + T3 , P1 , T1 , T2 ,
A3 , P1 + T3 , T1 , T2 , A3 + T2 , P1 + T2 + ?T3 , T1 (? = 0),
A3 + T2 , P1 ± T3 : 0, (1);
A1 + ?T3 , P1 + T2 , T1 (0 < |?| ? 1),
A3 + T3 , P1 + T2 , A3 + T3 , P1 , T1 ,
A3 + T2 , P1 : 0, (1);
A3 + P2 , P1 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
A3 + P2 , P1 + T3 , T1 , T2 ,
A3 + P2 + T3 , P1 + ?T2 , T1 , A3 + P2 , P1 + T2 , T1 ,
A3 + P2 , P1 + T1 , A3 + P2 + T3 , P1 , T1 , T2 ,
A3 , P1 , P2 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
Подалгебры афинной алгебры AIGL(3, R) 421

A3 + T2 , P1 , P2 + T1 , A3 + T2 , P1 , P2 ,
A3 , P1 , P2 + T1 , A3 , P1 , P2 + T3 , T1 , T2 ,
A3 + T3 , P1 , P2 + T3 , T1 , T2 , A3 + T3 , P1 , P2 , T1 , T2 ,
A3 + ?1 T2 + ?2 T3 , P1 ? ?2 T2 , P2 + ?3 T3 , T1 (?1 , ?2 , ?3 = 0, 1; ?1 + ?2 + ?3 > 0) (1),
(1,2), (1,2,3).
?
2) Подалгебры класса M3,1 алгебры AIGL(3, R):
S, A3 : 0, (1), (3), (1,2), (1,3), (1,2,3);
S, A3 + P2 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
S, P1 , P2 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
S, A3 , P1 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
S, A3 + P2 , P1 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
S, A3 , P1 , P2 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
S + A3 : 0, (1), (3), (1,2), (1,3), (1,2,3);
S + A3 , P1 : 0, (1), (1,2), (1,3), (1,2,3);
S + A3 , P1 , P2 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
S + A3 , A3 + P2 , P1 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
S + A3 + P2 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
S + A3 + P2 , P1 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
S + P1 , P2 : 0, (1), (2), (1,2), (1,2,3);
S + P1 , A3 + P2 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
S + P2 , A3 , P1 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
?
3) Подалгебры класса M3,2 алгебры AIGL(3, R):
D + ?S, sS, P1 (s = 0, 1): 0, (1), (2), (1,2), (1,3), (1,2,3);
D ? S + T1 , P1 : 0, (2);
D ? S + T2 , P1 : 0, (1), (1,3);

<< Предыдущая

стр. 97
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>