<< Предыдущая

стр. 99
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

D + ?S, sS (s = 0, 1): 0, (1), (3), (1,2), (1,3), (1,2,3);
Подалгебры афинной алгебры AIGL(3, R) 427

D ? S + T2 : 0, (1), (3), (1,3); D + T3 : 0, (1), (1,2);
A1 + ?D + ?S (0 < ? < 1 ? ? = 0, ? > 0): 0, (1), (1,2), (2), (3), (1,3), (2,3),
(1,2,3);
A1 : 0, (1), (3), (1,2), (1,3), (1,2,3);
A1 + ?D + (1 ? ?)S + T1 (0 ? ? ? 1): 0, (2), (3), (2,3);
A1 + ?D ? (1 + ?)S + T2 (0 ? ? < 1): 0, (1), (3), (1,3);
A1 + ?D + T3 (0 < ? < 1): 0, (1), (2), (1,2);
S : 0, (1), (1,2), (1,2,3); A1 + T3 : 0, (1), (1,2);
A1 + ?D, S (0 ? ? < 1): 0, (1), (2), (3), (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3);
A1 + ?S, D + ?S (? ? 3? + 2): 0, (1), (2), (3), (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3);
A1 + 2S, D : 0, (1), (2), (1,2), (2,3), (1,2,3);
A1 + S, D ? S : 0, (1), (2), (1,2), (2,3), (1,2,3);
A1 + S + T1 , D ? S + ?T1 : 0, (2), (2,3);
A1 + S, D ? S + T1 : 0, (2), (2,3);
A2 + A3 + ?D + T3 : 0, (1,2); A2 + A3 + T3 , D + ?T3 (? ? 0): 0, (1,2);
A2 + A3 , D + T3 : 0, (1,2); ASL(2, R) ? D + T3 : 0, (1,2).

1. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наук. думка, 1983, 200 с.
2. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
3. Баранник А.Ф., Фущич В.И., О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитар-
ных групп, Препринт № 86.87, Киев, Институт математики АН УССР, 1986, 48 с.
4. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
I. General method and the Poincar? group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1597–1614.
e
5. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
II. The similitude group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1615–1624.
6. Patera J., Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental
groups of physics. III. The de Sitter groups, J. Math. Phys., 1977, 18, № 12, 2259–2288.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 428–449.

Подалгебры псевдоортогональной
алгебры AO(3, 3)
А.Ф. БАРАННИК, Ю.Д. МОСКАЛЕНКО, В.И. ФУЩИЧ
В работе проведена классификация всех подалгебр посевдоортогональной алгебры
AO(3, 3) с точностью до O(3, 3)-сопряженности.

Введение
Ряд уравнений теоретической и математической физики инвариантны относи-
тельно группы C(2, 2) конформных преобразований псевдоевклидова пространства
R2,2 [1]. Поэтому подалгебры алгебры Ли AC(2, 2) группы C(2, 2) можно исполь-
зовать для поиска инвариантных и частично инвариантных решений таких урав-
нений. Известно (см. например [2]), что задача классификации подалгебр алгебры
AC(2, 2) относительно C(2, 2)-сопряженности эквивалентна задаче классификации
подалгебр алгебры AO(3, 3) относительно O(3, 3)-сопряженности. Решению после-
дней задачи и посвящена настоящая работа. Работа тесно примыкает к исследова-
ниям, выполненными в [3]. Следуя [3], все подалгебры алгебры AO(3, 3) мы ра-
збиваем на три класса, характеризуя каждый из них изотропным рангом. В §§ 1, 2
изложена классификация подалгебр изотропных рангов 0 и 1 алгебры AO(3, 3). В
§ 3 задача классификации подалгебр изотропного ранга 3 алгебры AO(3, 3) сведе-
на к задаче классификации подалгебр алгебры AIGL(3, R), являющейся алгеброй
Ли группы IGL(3, R) неоднородных преобразований трехмерного вещественного
пространства. Так как классификация подалгебр алгебры AIGL(3, 3) изложена
в [4], то отсюда получаем классификацию подалгебр изотропного ранга 3 алгебры
AO(3, 3). При решении указанных выше задач используется ряд общих принципов
классификации подалгебр произвольной алгебры Ли, изложенных в [5, 6, 7].
§ 1. Подалгебры изотропного ранга 0 алгебры AO(3, 3)
Пусть R — поле вещественных чисел, V = R3,3 — псевдоевклидово про-
странство сигнатуры (3, 3), {Q1 , . . . , Q6 } — ортонормированный базис пространс-
тва V . Псевдоортогональной группой O(3, 3) называется группа, сохраняющая
форму x1 y1 +x2 y2 +x3 y3 ?x4 y4 ?x5 y5 ?x6 y6 . Если в базисе {Q1 , . . . , Q6 } пространс-
тва V матрица f равна S, то f ? O(3, 3) тогда и только тогда, когда S T J3,3 S =
J3,3 , где
E3 0
J3,3 = ,
?E3
0

E3 — единичная матрица порядка 3, S T — матрица, транспонированная к матрице
S. Таким образом, группу O(3, 3) можно определить как группу всех квадратных
матриц ? порядка 6 над полем вешественных чисел R, удовлетворяющих матри-
чному уравнению ?T J3,3 ? = J3,3 . Отсюда вытекает, что алгебра Ли AO(3, 3)
группы O(3, 3) состоит из всех вещественных матриц X, удовлетворяющих соо-
тношению X · J3,3 + J3,3 · X T = 0. Пусть Eik — матрица порядка 6, имеющая
Препринт 89.67, Киев, Институт математики АН УССР, 1989, 40 c.
Подалгебры псевдоортогональной алгебры AO(3, 3) 429

единицу на пересечении i-ой строки и k-го столбца, и нули на всех остальных ме-
стах (i, k = 1, . . . , 6). Базис алгебры AO(3, 3) образуют матрицы: Jab = Eab ? Eba
(a < b; a, b = 1, 2, 3), Jai = ?Eai ? Eia (a = 1, 2, 3; i = 4, 5, 6), Jcd = ?Ecd + Edc
(c < d; c, d = 4, 5, 6).
Каждый внутренний автоморфизм ? > C?C ?1 группы O(3, 3) индуцирует
автоморфизм ?c : X > CXC ?1 алгебры Ли AO(3, 3). Этот автоморфизм мы будем
называть O(3, 3)-автоморфизмом алгебры AO(3, 3), соответствующим матрице C.
Подалгебры L1 и L2 алгебры AO(3, 3) будем называть O(3, 3)-сопряженными, если
CL1 C ?1 = L2 .
Подалгебра L ? AO(3, 3) называется подалгеброй класса 0, если V не содер-
жит вполне изотропного подпространства, инвариантного относительно L. Будем
говорить, что подалгебра L ? AO(3, 3) относится к классу r > 0 или имеет изо-
тропный ранг r, если ранг максимального вполне изотропного подпространства,
инвариантного относительно L, равен r. Для подалгебры класса 0 изотропный
ранг полагаем равным нулю. Очевидно, любая подалгебра L алгебры AO(3, 3)
имеет изотропный ранг 0, 1 или 3.
В настоящем параграфе мы изучим с точностью до O(3, 3)-сопряженности по-
далгебры класса 0 алгебры AO(3, 3). Пусть L — одна из таких подалгебр. То-
гда пространство V разлагается в прямую ортогональную сумму неприводимых
L-подпространств V1 , . . . . . . , Vs каждое из которых невырождено. Если (pi , qi ) —
сигнатура пространства Vi , в силу теоремы Витта можно предполагать, что Vi
обладает базисом

(1.1)
Qji , . . . , Qjpi , Qjpi +1 , . . . , Qjpi +qi .

Здесь j1 < · · · < jpi ? 3, 3 < jpi +1 < · · · < jpi +qi ? 6. Если J ? L, то ad J
?
можно рассматривать как линейное преобразование Ji пространства Vi . Матрица
?
?i (J) преобразования Ji в базисе (1.1) пространства Vi содержится в AO(pi , qi ).
Отображение ?i : L > AO(pi , qi ) является гомоморфизмом, а ?i (L) неприводи-
мой подалгеброй алгебры AO(pi , qi ). Так как отображение J > (?1 (J), . . . , ?s (J)
есть изоморфизм L в алгебру ?1 (L) ? · · · ? ?s (L)), то будем говорить, что L
разлагается относительно базиса {Q1 , . . . , Q6 } в подпрямое произведение алгебр
?1 (L), . . . , ?s (L) и записыватъ это так:

L = ?1 (L) ? · · · ? ?s (L).
? ?

Пусть Li = {J ? L | ?j (J) = 0 для всех j = i}, где L = ?1 (L) ? · · · ? ?s (L).
Легко видеть, что Li — подалгебра алгебры L и что мы имеем разложение L =
L1 + · · · + Ls . Условимся алгебру Li отождествлять с алгеброй ?i (L). В этом
смысле мы будем говорить, что Li — неприводимая подалгебра алгебры AO(pi , qi ).
Таким образом, подалгебра L класса 0 алгебры AO(3, 3) либо неприводимая, либо
разлагается в подпрямую сумму неприводимых подалгебр.
Теорема 1.1. Алгебра AO(3, 3) содержит с точностью до O(3, 3)-сопряженнос-
ти только одну собственную неприводимую подалгебру, которая сопряжена с
алгеброй J12 ? J45 , J13 ? J46 , J23 ? J56 , J15 ? J24 , J26 ? J35 , J16 ? J34 .
Доказательство. Подалгебра L алгебры AO(3, 3) называется нормальной, если
полупростая часть подалгебры L содержится в AO(3) ? AO(3). Из результатов
430 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

работы [8] вытекает, что AO(3, 3) не содержит нормальных неприводимых подал-
гебр. Опишем неприводимые подалгебры алгебры AO(3, 3), не являющиеся нор-
мальными. Пусть L — одна из таких подалгебр и L = L1 + L2 — ее разложение
Картана, где L1 — максимальная компактная подалгебра алгебры L. В силу пред-
положения относительно L можно считать, что L1 = J12 ?J45 , J13 ?J46 , J23 ?J56 ,
т.е. L представляется матрицами
X 0
,
0 X

где X ? AO(3). Пусть

0 Y 0 Z
K= , T=
YT ZT
0 0
— два произвольных элемента, содержащихся в L2 . Так как
Y Z T ? ZY T 0
[K, T ] = ,
Y Z ? ZT Y
T
0
то

Y Z T ? ZY T = Y T Z ? Z T Y. (1.2)

В случае, если Y = Y T , а Z = Z1 + Z2 , где Z1 = ?Z1 , Z2 = Z2 , равенство (1.2)
T T

принимает вид

(1.3)
Y Z1 + Z1 Y = 0.
p
Подпространство N , состоящее из векторов , инвариантно относителъно по-
?p
далгебры L1 . Если допустить, что для любого K ? L2 матрица Y симметрическая,
то подпространство N инвариантно относительно L, что противоречит условию.
Следовательно, можно предполагать, что Z не является симметрической матрицей.
Тогда матрица Z разлагается в сумму кососимметрической матрицы Z1 и симме-
треческой матрицы Z2 . С точностью до O(3, 3)-сопряженности можно допускать,
что Z1 = J12 .
Пусть
0 U
,
UT 0

— матрица из L2 . Полагая в (1.3) Y = U , а Z равно поочередно J12 + Z2 , J23 ?
[J13 , Z2 ], J13 ? [J23 , Z2 ], получаем систему

Jab · U + U · Jab = 0 (1.4)
(a, b = 1, 2, 3),

имеющую единственное нулевое решение.
Пусть
? ?
?1 ?2 ?3
Z2 ??2 ?1 ?2 ? ,
?3 ?2 ?1
Подалгебры псевдоортогональной алгебры AO(3, 3) 431

Из коммутационных соотношений
? ?
?1 ? ?1 ?2
2?2
??1 ? ?1 ?,
?2?2 ??3
[L12 , Z] =
??3
?2 0
? ?
?1 ? ?1 ?2?2
2?2
??1 ? ?1 ??3 ?
0
[L13 , [J23 , Z]] =
?2?2 ??3 2?2

и условия (1.4) имеем ?2 = ?3 = ?2 = 0, ?1 = ?1 = ?1 . Из соотношения
[J23 , [J23 , J12 + ?1 E]] = ?J12 получаем ?1 = 0. Таким образом, алгебра AO(3, 3)
содержит единственную с точностью до O(3, 3)-сопряженности собственную не-
приводимую подалгебру

L = J12 ? J45 , J13 ? J46 , J23 ? J56 , J15 ? J24 , J26 ? J35 , J16 ? J34 .

Теорема доказана.
Найдем все максималъные подалгебры класса 0 алгебры AO(3, 3), используя
для этого тип разложения пространства V в прямую ортогональную сумму непри-
водимых подпространств. Пусть, например, L — максимальная подалгебра клас-
са 0 алгебры AO(3, 3) и V = V1 ? V2 — прямая ортогональная сумма двух L-
неприводимых подпространств V1 = Q1 , Q2 , Q4 и V2 = Q3 , Q5 , Q6 . Мы будем
говорить, что разложение подпространства V относится к типу (+ + ?)(+ ? ?).
Очевидно, подалгебра L совпадает с алгеброй J12 , J14 , J24 ? J35 , J36 , J56 . Все
максимальные подалгебры класса 0 алгебры AO(3, 3) выписаны в таблице 1.
Таблица 1
Максимальные подалгебры класса 0 алгебры AO(3, 3)

Тип разложения
№ п/п Максимальные подалгебры класса 0
пространства V
(+ + + ? ??) AO(3, 3)
1
(+ + + ? ?)(?) AO(3, 2) = Jab | a, b = 1, . . . , 5
2
(+)(+ + ? ? ?) AO(2, 3) = Jab | a, b = 2, . . . , 6
3
(++)(+ ? ??) J12 ? Jab | a, b = 3, . . . , 6
4
(+ + +?)(??) Jab | a, b = 1, . . . , 4 ? J56
5
(+ + +)(? ? ?) J12 , J13 , J23 ? J45 , J46 , J56
6
(+ + ?)(+ ? ?) J12 , J14 , J24 ? J35 , J36 , J56
7
(+)(+)(+ ? ??) AO(1, 3) = Jab | a, b = 3, . . . , 6
8
(+ + +?)(?)(?) AO(3, 1) = Jab | a, b = 1, . . . , 4
9
(+)(++)(? ? ?) J23 ? J45 , J46 , J56
10
(+)(+ + ?)(??) J23 , J24 , J34 ? J56
11
(++)(+ ? ?)(?) J12 ? J34 , J35 , J45
12
(+ + +)(??)(?) J12 , J13 , J23 ? J45
13
(+)(+)(+)(? ? ?) AO(3) = J45 , J46 , J56
14
(?)(?)(?)(+ + +) AO(3) = J12 , J13 , J23
15

Теперь уже нетрудно получить описание всех подалгебр класса 0 алгебры
AO(3, 3) с точностью до O(3, 3)-сопряженности. Пусть, например, разложение
пространства V относится к типу (+ + +)(? ? ?). Подалгебра L, для которой
432 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

указанное разложение пространства V существует, является либо прямой сум-

<< Предыдущая

стр. 99
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>