стр. 1
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

W.I. Fushchych
Scientific Works



Volume 4
1990–1992




Editor
Vyacheslav Boyko




Kyiv 2002
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 1–20.

Редукция и точные решения уравнения
Гамильтона–Якоби
А.Ф. БАРАННИК, Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ
Проведена классификация с точностью до эквивалентности подалгебр алгебры
AC(1, 4), являющейся алгеброй Ли группы C(1, 4) конформных преобразований про-
странства Минковского R1,4 . С использованием подалгебр ранга 3 алгебры AC(1, 4)
построены анзацы, редуцирующие уравнение Гамильтона–Якоби к обыкновенным
дифференциальным уравнениям. По решениям редуцированных уравнений найдены
широкие классы точных решений уравнения Гамильтона–Якоби. Исследуется также
зависимость между уравнениями Гамильтона–Якоби и эйконала.

Введение
В настоящей работе изучается уравнение Гамильтона–Якоби
1
(?u)2 = 0, (1.1)
ut +
2m
где u = u(t, x), x = (x1 , x2 , x3 ), m — постоянная (масса частицы). Максимальной
алгеброй инвариантности уравнения (1.1) является конформная алгебра AC(1, 4),
являющаяся алгеброй Ли группы C(1, 4) конформных преобразований пространс-
тва Минковского R1,4 . Это позволяет использовать подалгебры алгебры AC(1, 4)
для редукции и нахождения точных решений уравнения (1.1). Работа состоит из
7 параграфов. В § 1 выделяются подалгебры алгебры AC(1, 4), которые позволяют
находить вещественные решения уравнения (1.1), а также исследуется зависимость
между уравнением Гамильтона–Якоби и релятивистским уравнением Гамильтона
2 2 2 2
?u ?u ?u ?u
? ? ? (1.2)
= 1.
?x0 ?x1 ?x2 ?x3
В § 2 проведена классификация подалгебр алгебры AC(1, 4) с точностью до
C(1, 4)-еквивалентности. Две подалгебры L1 , L2 ? AC(1, 4) называются C(1, 4)-эк-
вивалентными, если с точностью до C(1, 4)-сoпряженности они обладают одними
и теми же инвариантами. В § 3 для каждой подалгебры ранга 3 алгебры AC(1, 4)
находится полная система ее инвариантов. Это позволяет в §§ 4–7 построить ан-
зацы, редуцирующие уравнение (1.1) к обыкновенным дифференциальным уравне-
ниям. По решениям редуцированных уравнений получены широкие классы точных
решений уравнения (1.1).
§ 1. Алгебра инвариантности уравнения Гамильтона–Якоби
Максимальной алгеброй инвариантности уравнения Гамильтона–Якоби являет-
ся конформная алгебра AC(1, 4) [1], обладающая базисом
1
P0 = ? v (?0 + m?u ),
Jab = xb ?a ? xa ?b , Pa = ? a ,
2
Препринт 90.41, Киев, Институт математики АН УССР, 1990, 40 c.
2 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

1
P4 = ? v (?0 ? m?u ), D = ?(t?0 + xa ?a + u?u ),
2
1 1
J0a = ? v
J04 = t?0 ? u?u , xa ?0 + t + u ?a + mxa ?u ,
m
2
1 1
Ja4 = ? v ?xa ?0 + t ? ?a + mxa ?u ,
m
2
v x2 m 2 u2
1
K0 = ? 2 2 a
t+ ?0 + t + u x ?a + x+ ?u ,
2 m 2 m
v x2 u2
t2 ? ?0 + t ? ?
1 m2
xa ?a +
K4 = 2 mu 2x ?u ,
2 m
2
Ka = ?2xa D + tu ? x 2 Pa ,
m

где x 2 = x2 + x2 + x2 (a, b = 1, 2, 3).
1 2 3
?
Алгебра AC(1, 4) содержит алгебру Пуанкаре AP (1, 4) = P0 , P1 , P2 , P3 , P4 +
AO(1, 4), где AO(1, 4) = Jµ? | µ, ? = 0, 1, . . . , 4 , расширенную алгебру Пуанкаре
? ?
AP (1, 4) = AP (1, 4) + D , а также оптическую алгебру AOpt(3), обладающую
базисом
v 1 m
S1 + T 1 = ? 2 t2 + ?0 + txa ?a + x2 ?u ,
2 2
Z1 = ?J04 ? D = x1 ?1 + x2 ?2 + x3 ?3 + 2u?u ,
C1 = J04 ? D = 2t?0 + x1 ?1 + x2 ?2 + x3 ?3 ,
v
v
2
T1 = ? ?0 , M1 = ? 2m?u , Pa = ?a ,
2 v
Ga = J0a + Ja4 = ? 2(t?a + mxa ?u ), Jab .

В предлагаемой работе полалгебры конформной алгебры AC(1, 4) используются
для редукции и поиска точных решений уравнения (1.1). Уравнение (1.1) неинва-
риантно относительно преобразования ?: t > ?t, xa > xa , u > u, а потому неин-
вариантно относительно группы C(1, 4). Это означает, что подалгебры конформной
алгебры AC(1, 4) следует изучать с точностью до G1 -эквивалентности, где G1 —
собственный нормальный делитель группы C(1, 4), причем G1 ?{?} = C(1, 4). При
этом две подалгебры L1 , L2 ? AC(1, 4) называются G1 -эквивалентными, если с
точностью до G1 -сопряженности они обладают одними и теми же инварианта-
ми. Эта задача эквивалентна задаче классификации подалгебр алгебры AC(1, 4) с
точностью до C(1, 4)-эквивалентности, которую мы и будем в дальнейшем рассма-
тривать. Исходя из этого, проводим вначале классификацию подалгебр, алгебры
AC(1, 4) с точностью до C(1, 4)-эквивалентности, выписываем редуцированные
уравнения, соответствующие этим подалгебрам, и находим, где это возможно, то-
чные решения уравнения (1.1). Преобразование ? легко учесть в окончательном
результате, подействовав, если это необходимо, на редуцированные уравнения или
найденные решения уравнения (1.1).
Так как мы ищем только вещественные решения уравнения (1.1), то достаточно
ограничиться рассмотрением лишь тех подалгебр L ? AC(1, 4), которые с точно-
стью до C(1, 4)-эквивалентности не содержат P0 и P0 + P4 . Действительно, пусть,
например, P0 ? L. Поскольку P0 = v2 (?0 + m?u ), то полная система инвариантов
1
Редукция и точные решения уравнения Гамильтона–Якоби 3

алгебры P0 состоит из функций mx0 ? u, x1 , x2 , x3 . Любое решение уравнения
(1.1), инвариантное относительно L, инвариантно и относительно P0 и потому
имеет вид u = mx0 ? f (x1 , x2 , x3 ). Но тогда 2m2 + (?u)2 = 0, и мы приходим к
противоречию. Аналогично рассматривается случай P0 + P4 ? L.
Уравнение (1.1) тесно связано с релятивистским уравнением Гамильтона. Чтобы
установить эту связь между двумя уравнениями, рассмотрим пространства Xt ? U
и X ? V , где и X = {(x0 , x1 , x2 , x3 )} и Xt = {(t, x1 , x2 , x3 )} — пространства,
представляющие независимые переменные, а U = {u} и V = {v} пространства
зависимых переменных. Отображение ? : (t, x, u) > (x0 , x, v), определенное с по-
мощью формул
1 u 1 u
x0 = v t + v = v t?
, xa = xa , ,
m m
2 2
является отображением пространства Xt ? U на пространство X ? V . В предпо-
?v
ложении, что ?x0 + 1 = 0, подстановка ? переводит уравнение (1.2) в уравнение
(1.1). Аналогично, отображение ?1 : (x0 , x, v) > (t, x, u), определенное с помощью
формул
1 m
t = v (x0 + v), u = v (x0 ? v),
xa = xa ,
2 2
является отображением пространства X ? V на пространство Xt ? U , и если
m + ut = 0, то подстановка ?1 переводит уравнение (1.1) в (1.2). Так как ??1 —
тождественное преобразование пространства X ? V , а ?1 ? — тождественное пре-
образование пространства Xt ? U , то ?1 = ??1 .
Исследуем зависимость между уравнениями (1.1) и (1.2) более подробно. С
этой целью рассмотрим пространства Xt ? U ? U (1) и X ? V ? V (1) , координаты
которых представляют независимые переменные, зависимые переменные и прои-
зводные первого порядка от зависимых переменных. Выделим в Xt ? U ? U (1)
открытое подпространство M1 , состоящее из тех векторов (t, x, u, u0 , u1 , u2 , u3 )
у которых u0 + m = 0, а в X ? V ? V (1) — открытое подпространство M2 , состо-
ящее из тех векторов (x0 , x, v, v0 , v1 , v2 , v3 ), у которых v0 + 1 = 0. Покажем, что
?
отображение ? : Xt ?U > X ?V можно продолжить до отображения ? : M1 > M2 .
Возьмем произвольную функцию u = f (t, x), и пусть

?f = {(t, x, f (t, x)) | (t, x) ? ?} ? Xt ? U

— ее график, где ? — область определения функции f . Отображение ? переводит
?f в

? · ?f = {x0 , x, v) = ?(t, x, v) | (t, x, u) ? ?f }.

Множество ? · ?f в общем случае не является графиком какой-либо однозначной
?
функции v = f (x0 , x). Однако, поскольку m + ut = 0, то результат преобразо-
вания ? · ?f = ?f является графиком некоторой однозначной гладкой функции
?
?
v = f (x0 , x). Докажем это. Действительно, имеем

m 1
v (x0 ? v) ? u v (x0 + v), x1 , x2 , x3 (1.3)
= 0.
2 2
4 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Найдем производную по v:
m 1 1
? v ? ut · v = ? v (m + ut ).
2 2 2
По условию m + ut = 0. Поэтому уравнение (1.3) определяет в некоторой окре-
?
стности точки (x0 , x1 , x2 , x3 , v) v как однозначную функцию f от x0 , x1 , x2 , x3 .
? ?
Функция f называется образом f при отображении ? и обозначается f = ? · f
[3]. Отметим такжe, что если ut = 0, то уравнение Гамильтона–Якоби не имеет
действительных решений. Поэтому следует предполагать, что ut = 0 и m + ut = 0.
При таком предположении из допущения v0 ? 1 = 0 вытекает, что v0 = 1. В то
же время из уравнения (1.3) получаем 1 + v0 = 0, т.е. v0 = ?1. Таким обра-
?
зом, v0 + 1 = 0. Продолжение ? : M1 > M2 отображения ? определяется так,
что оно преобразует производные функции u = f (t, x) в соответствующие прои-
зводные преобразованных функций v = f (x0 , x). Продолженное действие отобра-
жения ? определено корректно. Действительно, пусть (t0 , x 0 , u0 , u0 , u0 , u0 , u0 ) —
1 2 2 3
заданная точка в M1 . Выберем произвольную гладкую функцию u = f (t, x),
определенную в окрестности точки (t0 , x 0 ), график которой лежит в M1 и ко-
торая имеет данные производные u0 , u0 , u0 , u0 в точке (t0 , x 0 ). Преобразованная
0 1 2 3
функция ? · f определена в окрестности соответствующей точки (x0 , x 0 , v 0 ) = 0
?
0 0 0
?(t , x , u ). Мы определим теперь действие продолженного преобразования ? на
0 0 0 0 0 0 0
точку (t , x , u , u0 , u1 , u2 , u3 ) вычисляя производные преобразованной функции
? · f в точке (x0 , x 0 ). Пользуясь цепным правилом, получаем, что это определение
0
зависит лишь от производных функции f в точке (t0 , x 0 ), т.е. от самой точки
(t0 , x 0 , u0 , u0 , u0 , u0 , u0 ), и, следовательно, не зависит от выбора функции f , пред-
0 1 2 3
ставляющей точку (t0 , x 0 , u0 , u0 , u0 , u0 , u0 ).
0 1 2 3
Максимальной алгеброй инвариантности уравнения (1.2) является конформная
?
алгебра AC(1, 4) [4], реализующаяся следующими операторами:
? ? ?
P? = ?? , J?? = g ?? x? ?? ? g ?? x? ?? , D = ?x? ?? ,
? ?
K? = ?2(g ?? x? )D ? (g ?? x? x? )?? ,

где x4 = u, g00 = ?g11 = ?g22 = ?g33 = ?g44 = 1, g?? = 0 при ? = ?
(?, ?, ? = 0, 1, . . . , 4). Пусть ?1 и ?2 — многообразия, которые определяются
уравнениями (1.1) и (1.2) соответственно, M1 — множество, состоящее из всех
точек многообразия ?1 , для которых ut + m = 0, а M2 — множество, состоящее
из всех точек многообразия ?2 , для которых u0 + 1 = 0. Очевидно, M1 = M1 ? ?1 ,
?
M2 = M2 ??2 , в силу выше изложенного ? отображает M1 на M2 . Инвариантность
уравнения (1.1) относительно группы G1 = exp AC(1, 4) означает, что многообра-
?
зие ?1 инвариантно относительно действия продолженной группы G1 . Аналоги-
?
чно, многообразие ?2 инвариантно относительно продолженной группы G2 , где
??
? ?
G2 = exp AC(1, 4). Отсюда вытекает, что если g1 ? G1 , то ?g1 ?1 ? G2 и обратно,
???
?
если g2 ? G2 , то ?1 g2 ? ? G1 . Таким образом, отображение ? индуцирует изомор-
?
физм ?? : X > ?X?1 алгебры AC(1, 4) на алгебру AC(1, 4), который действует
следующим образом:
? ? ? ? ?
P0 > ?P0 , P4 > ?P4 , Jab > Jab , Ja4 > ?Ja4 , J04 > J04 ,
? ? ? ?
J0a > ?J0a , K0 > ?K0 , K4 > ?K4 , Ka > Ka .
Редукция и точные решения уравнения Гамильтона–Якоби 5

стр. 1
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>