<< Предыдущая

стр. 10
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

полагаем равным нулю. Очевидно, любая подалгебра L алгебры AO(1, n) имеет
изотропный ранг 0 или 1.
3. Каноническое разложение подалгебры класса 0 алгебры AO(1, n). В
работе [7] определено каноническое разложение подалгебры класса 0 псевдоорто-
гональной алгебры AO(p, q). Так как оно играет важную роль в наших исследова-
ниях, то рассмотрим это понятие применительно к алгебре AO(1, n).
Пусть F — подалгебра класса 0 алгебры AO(1, n). Тогда псевдоевклидово
пространство V разлагается в прямую ортогональную сумму неприводимых F -
подпространств V0 , V1 , . . . , Vs , каждое из которых невырождено. По теореме Вит-
та можно предполагать, что V0 = P0 , P1 , . . . , Pk0 , V1 = Pk0 +1 , . . . , Pk0 +k1 , . . .,
Vs = P?+1 , . . . , P?+ks , где ? = k0 + k1 + · · · + ks?1 , ? + ks = n, k0 ? 0, ki ? 1,
i = 1, . . . , s. Здесь V0 — псевдоевклидово пространство типа (1; k0 ), если k0 = 0,
Vi — евклидово пространство размерности ki , i = 1, . . . , s. Обозначим через O(Vi )
группу изометрий пространства Vi , а через AO(Vi ) ее алгебру Ли. Если J ? F ,
?
то ad J можно рассматривать как линейное преобразование Ji пространства Vi .
?
Матрица ?i (J) преобразования Ji в базисе пространства Vi содержится в AO(Vi ).
Отображение ?i : F > AO(Vi ). является гомоморфизмом, а ?i (F ) — неприводи-
мой подалгеброй алгебры AO(Vi ). Так как отображение J > (?0 (J), . . . , ?s (J))
есть изоморфизм F в алгебру ?0 (F ) ? · · · ? ?s (F ), то будем говорить, что F ра-
злагается относительно базиса {P0 , P1 , . . . , Pn } в подпрямое произведение алгебр
?0 (F ), . . . , ?s (F ) записывать это так:

F = ?0 (F ) ? · · · ? ?s (F ). (3)

Пусть Fi = {J ? F | ?j (J) = 0 для всех j = i}, где F = ?0 (F ) ? · · · ? ?s (F ). Лег-
ко видеть, что Fi — подалгебра алгебры F наряду с разложением (3) мы имеем
разложение F = F0 + · · · + Fs алгебры F в подпрямую сумму алгебр F0 , . . . , Fs .
В дальнейшем алгебры F0 , . . . , Fs будем называть неприводимыми частями ал-
гебры F . Условимся алгебру Fi отождествлять с алгеброй ?i (F ). В этом смысле
будем говорить, что Fi — неприводимая подалгебра алгебры AO(Vi ). Из работы [8]
вытекает, что неприводимая часть F0 совпадает с AO(V0 ).
Подалгебры Fi и Fj отличные от F0 , назовем эквивалентными, если ki = kj и
существует такая матрица C ? O(Vi ), что C?i (J)C ?1 = ?j (J) для всех J ? F .
Нетрудно убедиться, что рассматриваемое отношение на множестве {F0 , F1 , . . .,
Fs } является отношением эквивалентности, а потому оно проводит разбиение
множества неприводимых частей алгебры F на классы U0 , U1 , . . . , Ut . Класс U0
существует только при k0 ? 2 и состоит в этом случае из одной подалгебры
F0 = AO(V0 ). Если Fm1 , Fm2 , . . . , Fmri ? Ui , то через Ai обозначим подалге-
Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) 35

бру (?m1 + · · · + ?mri )(F ). Подалгебру Ai назовем примарной частью алгебры F .
Очевидно, F является подпрямой суммой своих примарных частей. Разложение
F = A0 + · · · + At будем называть каноническим разложением алгебры F . Если F
совпадает со своей примарной частью, то F называется примарной алгеброй.
Теорема 1 [7]. Пусть F — подалгебра класса 0 алгебры AO(1, n), A1 , . . . , At —
примарные части F , W ? V — F -инвариантное подпространство. Тогда W =
W1 ? · · · ? Wt ? W , где [Ai , Wi ] = Wi , [Ai , Wj ] = 0 при i = j, [F, W ] = 0
(i, j = 1, . . . , t). Если примарная алгебра A является подпрямой суммой не-
приводимых подалгебр соответственно алгебр AO(V1 ), AO(V2 ), . . . , AO(Vq ), то
с точностью до O(1, n)-сопряженности ненулевые подпространства U про-
странства V со свойством [A, U ] = U исчерпываются пространствами V1 , V1 ?
V2 , . . . , V1 ? V2 ? · · · ? Vq .
4. Каноническое разложение подалгебры класса 1 алгебры AO(1, n). В
настоящем пункте речь идет о подалгебрах класса 1 алгебры AO(1, n), проекция
которых на J0n равна 0. В п. 3 было определено каноническое разложение подал-
гебры F класса 0 алгебры AO(1, n). Это разложение позволило описать с точно-
стью до O(1, n)-сопряженности все подпространства, инвариантные относитель-
но F и тем самым свести проблему классификации подалгебр класса 0 алгебры
AO(1, n) в некотором смысле к проблеме классификации неприводимых подал-
гебр ортогональной алгебры AO(k) для всех k ? n. Естественно возникает задача
определения подобного разложения для подалгебры ? класса 1 алгебры AO(1, n).
Согласно работе [7] всегда можно предполагать, что подалгебра ? оставляет инва-
риантным подпространство V(1) = P0 + Pn , P1 , . . . , Pn?1 . Указанное разложение
подалгебры ? связано с разложением пространства V(1) в ортогональную сумму
подпространств. Это разложение пространства V(1) определяется следующей тео-
ремой.
Теорема 2. Пусть ? — подалгебра класса 1 алгебры AO(1, n). Пространство
V(1) с точностью до O(1, n)-сопряженности является прямой ортогональной
суммой ?-инвариантных подпространств U и W , удовлетворяющих двум усло-
виям:
1) пространство U изотропно и является ортогональной суммой U = U1 +
· · ·+Us ?-инвариантных подпространств U1 = P0 +Pn ?V1 , . . . , Us = P0 +Pn ?
Vs , где V1 = P1 , . . . , Pk1 , . . . , Vs = P?+1 , . . . , P?+ks , s ? 1, ? = k1 + · · · + ks?1 ;
каждое из подпространств Ui содержит только следующие ?-инвариантные
подпространства: 0, P0 + Pn , Ui ;
2) пространство W невырождено и является прямой ортогональной суммой
подпространств W1 = Pl0 +1 , . . . , Pl0 +l1 , . . . , Wt = P?+1 , . . . , P?+lt , t ? 0, l0 =
?+ks , ? = l0 +· · ·+lt?1 , ?+lt = n?1. Каждое из подпространств Wi неприводимо
и инвариантно относительно ?.
Доказательство. Пусть W — максимальное невырожденное подпространство V(1)
инвариантное относительно ?. Тогда V(1) = W ? U , где U = W ? — ортого-
нальное дополнение к W . Пусть O(n ? 1) — ортогональная группа, действующая
на пространстве P1 , . . . , Pn?1 . Очевидно, O(n ? 1) ? O(1, n) и подпространство
V(1) инвариантно относительно группы O(n ? 1). Используя теорему Витта, при-
ведем базис подпространства W к виду Pl0 +1 + ?(P0 + Pn ), . . . , Pn?1 + ?(P0 +
Pn ). Подействовав на этот базис автоморфизмом exp(?Gl0 +1 + · · · + ?Gn?1 ), по-
36 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник

лучим базис {Pl0 +1 , . . . , Pn?1 }. Таким образом, можно предполагать, что W =
Pl0 +1 , . . . , Pn?1 . Но тогда U = P0 + Pn , P1 , . . . , Pl0 . В частности, может быть
U = P0 + P n .
Допустим, что U = P0 + Pn . Пусть U1 — минимальное, отличное от P0 + Pn ,
ненулевое ?-инвариантное подпространство пространства U . Учитывая, что орто-
гональная группа O(l0 ) действующая на пространстве P1 , . . . , Pl0 , оставляет V(1)
инвариантным, получаем, что U1 O(l0 )-сопряжено, а значит, и O(1, n)-сопряжено
с подпространством U1 = P0 + Pn , P1 , . . . , Pk1 . Очевидно, автоморфизм ?, ото-
бражающий U1 на U1 , не изменяет подпространства W . Подпространство U разла-
? ?
гается в ортогональную сумму U = U1 + U1 , где U1 = P0 + Pn , Pk1 +1 , . . . , Pl0 .
?
Применяя к подпространству U1 рассуждения, приведенные выше для подпро-
странства U1 , получаем через конечное число шагов искомое разложение про-
странства U . Эти же рассуждения доказывают существование разложения для
подпространства W , указанного в теореме. Теорема доказана.
Пусть T1 = G1 , . . . , Gk , . . . , Ts = G?+1 , . . . , G?+ks , где G? = J0a ? Jan , a =
?
1, . . . , ? + ks , и пусть AE (Ui ) = Ti + AO(Vi ), i = 1, . . . , s. Алгебра AE (Ui )
является, очевидно, алгеброй Евклида. Максимальная подалгебра K, для которой
существует разложение пространства V(1) , удовлетворяющее условиям теоремы 2,
разлагается в прямую сумму подалгебр AE (Ui ) и AO(Wj ), т.е.

K = AE(U1 ) ? · · · ? AE(Us ) ? AO(W1 ) ? · · · ? AO(Wt ).

Пусть L — любая другая подалгебра, обладающая указанным разложением
?
пространства V(1) . Тогда L ? K и L является подпрямой суммой подалгебр ?i ?
AE(Ui ) и Fj ? AO(Wj ). Очевидно, Fj — неприводимая подалгебра алгебры
?
AO(Wj ), a Ui содержит только следующие ?i -инвариантные подпространства: 0,
?
P0 + Pn , Ui . Алгебры ?i и Fj будем называть элементарными частями алгебры L
и записывать это так:
? ?
L = ?1 + · · · + ?s + F1 + · · · + Ft . (4)
? ? ? ? ?

?
Определим структуру каждой из подалгебр ?i . Так как в Ui существует только
?
одно нетривиальное подпространство P0 + Pn , инвариантное относительно ?i , то
?
проекция ?i алгебры ?i на AO(Vi ) действует неприводимо на Vi . Следовательно,
подалгебра ?i действует вполне приводимо на подпространстве Ti и потому обла-
? ?
дает только расщепляемым расширениями в алгебре ?i [7]. Поэтому ?i = Ti ? ?i .
Используем разложение (4) и введем понятие примарной части алгебры L. С
? ?
этой целью рассмотрим два множества подалгебр M1 = {?1 , . . . , ?s } и M2 =
{F1 , . . . , Ft }. В п. 3 было определено отношение эквивалентности на множестве
M2 , которое проводит разбиение M2 на классы U1 , . . . , Ut . Подалгебры Fk1 , Fk2 ,
. . . , Fknj , входящие в класс Uj , определяют примарную часть Aj (dj ; nj ), являю-
щуюся подпрямой суммой подалгебр Fk1 , Fk2 , . . . , Fknj . Здесь dj — размерность
подпространств Wk1 , Wk2 , . . . , Wknj .
Перейдем к определению примарных частей алгебры L, которые строятся на
? ?
основе элементарных частей ?i . Обозначим через ?i проектирование L на ?i ,
а через ?ij алгебру (?i + ?j )(L) (i = j; i, j = 1, . . . , s). Пусть N — произвольное
L-инвариантное подпространство V(1) , ?i — проектирование N на Ui , и Nij =
Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) 37

(?i + ?j )(N ). Допустим, что ?i (N ) = Ui , ?j (N ) = Uj . Тогда имеет место следующее
предложение.
Предложение 1. Если подпространство Nij неразложимо в сумму подпрос-
?
транств Ui и Uj , то ?ij = (Ti ? Tj ) ? (?i + ?j ), где ?i + ?j — примарная
? ?
подалгебра алгебры AO(Vi ? Vj ).
Введем на множестве M1 отношение эквивалентности следующим образом.
?? ?
Две подалгебры ?i , ?j ? M1 будем называть эквивалентными, если ?ij = (Ti ?
Tj ) ? (?i + ?j ), где ?i + ?j — примарная подалгебра алгебры AO(Vi ? Vj ). Дан-
? ?
ное отношение проводит разбиение множества M1 на классы R1 , . . . , Ri . Если
?h1 , . . . , ?hmi ? Ri , то через Bi (ri ; mi ) обозначим подалгебру Bi (ri ; mi ) = (?h1 +
· · · + ?hmi )(L). Здесь ri — размерность пространств Vh1 , . . . , Vhmi . Согласно этому
определению примарная часть Bi (ri ; mi ) имеет следующий вид:
Bi (ri ; mi ) = (Th1 ? · · · ? Thmi ) ? (?h1 + · · · + ?hmi ),
? ?

где ?h1 + · · · + ?hmi является примарной подалгеброй алгебры AO(Vh1 ? · · · ?
? ?
Vhmi ). Таким образом, произвольная подалгебра L класса 1 алгебры AO(1, n),
обладающая нулевой проекцией на J0n , разлагается в подпрямую сумму примар-
ных подалгебр
L = B1 (r1 ; m1 ) + · · · + Bt (rt ; mt ) + A1 (d1 ; n1 ) + · · · + As (ds ; ns ). (5)
? ? ? ? ?

Если t = 0, то в разложении (5) примарные части Bi (ri ; mi ) отсутствуют и мы
получаем следующее разложение подалгебры L:
L = A1 (d1 ; n1 ) + · · · + As (ds ; ns ). (6)
? ?

Разложения (5) и (6) будем называть каноническими разложениями алгебры L.
Используя каноническое разложение алгебры L, нетрудно дать классификацию
всех L-инвариантных подпространств пространства V с точностью до O(1, n)-
сопряженности.
5. Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n). Опишем все
максимальные подалгебры L ранга n ? 1 алгебры AP (1, n), удовлетворяющие усло-
вию L ? V = P1 , . . . , Pn . При описании таких подалгебр можно предполагать, что
L ? V = 0. Обозначим через ? проектирование AP (1, n) на AO(1, n). Нетрудно
убедиться в справедливости следующего предложения.
Предложение 2. Пусть F — подалгебра класса 1 алгебры AO(1, n), совпа-
дающая со своей примарной частью B1 (r1 ; m1 ), и r1 > 1. Любая подалгебра
L ? AP (1, n), удовлетворяющая условиям ?(L) = F и L ? V = 0, содер-
жит подалгебру, которая P (1, n)-сопряжена подалгебре L1 с базисом G1 +
?1 P1 , . . . , Gr1 + ?1 Pr1 , . . . , G(m1 ?1)r1 +1 + ?m1 P(m1 ?1)r1 +1 , . . . , Gm1 r1 + ?m1 Pm1 r1 .
В дальнейшем будем использовать такие обозначения:
AE(n ? l ? 1) = Pl+1 , . . . , Pn?1 , Jl+1,l+2 , . . . , Jn?2,n?1 , 0 ? l ? n ? 2;
AO(l) = J12 , . . . , Jl?1,l , 2 ? l ? n;
AO(l1 ; l2 ) = Jl1 +1,l1 +2 , . . . , Jl1 +l2 ?1,l1 +l2 , 0 ? l1 < l2 , l1 + l2 ? n;
38 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник

AE (l) = G1 , . . . , Gl , J12 , . . . , Jl?1,l ;
?
AE (l) = AE (l) ? J0n ;
?1 (?1 ) = G1 + ?1 P1 , . . . , Gr1 + ?1 Pr1 ? AO(r1 );
?2 (?2 ) = Gr1 +1 + ?2 Pr1 +1 , . . . , Gr1 +r2 + ?2 Pr1 +r2 ? AO(r1 ; r2 );
····························································
?t (?t ) = G?+1 + ?t P?+1 , . . . , G?+rt + ?t P?+rt ? AO(?; rt ),

где ? = r1 + r2 + · · · + rt?1 .
Теорема 3. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n ? 1 алгебры AP (1, n)
и L ? V ? P1 , . . . , Pn . Тогда L P (1, n)-сопряжена с одной из следующих алгебр:

= AE(n ? 1);
1) L1
= AO(l) ? AE(n ? l ? 1), 1 < l < n;
2) L2
= AE (l) ? AE(n ? l ? 1), 1 ? l ? n ? 1;
3) L3
= J0n ? AO(l) ? AE(n ? l ? 1), 2 ? l ? n ? 1;
4) L4
?
L5 = AE (l) ? AE(n ? l ? 1), 2 ? l ? n ? 1;
5)
?
L6 = AE (l1 ) ? AO(l1 ; l2 ) ? AE(n ? l ? 1), l = l1 + l2 ;
6)
L7 = G1 + P0 ? Pn ? AE(n ? 2);
7)
L8 = ?1 ? ?2 ? · · · ? ?t ? AE(n ? ? ? rt ? 1);
8)
L9 = J0n + ?P1 ? AE(n ? 2);
9)
L10 = (AE (l) ? J0n + ?Pl+1 ) ? AE(n ? l ? 2);
10)
L11 = J12 + ?P0 ? AE(n ? 2).
11)

Доказательство. Пусть L — произвольная подалгебра класса 1 алгебры AP (1, n)
и ?(L) = F обладает каноническим разложением (5). Как уже отмечалось, можно
предполагать, что L ? V = 0. Рассмотрим подробно случай, когда проекция L
на J0n равна нулю (остальные случаи рассматриваются аналогично). Допустим
вначале, что все ri больше единицы. Согласно результатам, изложенным в п. 4,
B1 (r1 ; m1 ) = (T1 ? · · · ? Tm1 ) ? (?1 + · · · + ?m1 ). Из предложения 2 вытекает,
? ?
что LL содержит подалгебру L1 = G1 + ?1 P1 , . . . , Gr1 + ?1 Pr1 . Полная система
инвариантов подалгебры L1 состоит из функций x0 ? xn ,

x0 ? xn
?(x) = ?x2 + x2 + · · · + x21 + x2 ,
x0 ? xn ? ?1 1
0 r n


xr1 +1 , . . . , xn?1 . Поэтому любой инвариант f алгебры L является функцией вида
f (x0 ? xn , ?(x), xr1 +1 , . . . , xn?1 ). Так как каждая из этих функций f является
инвариантом подалгебры AO(V1 ) = J12 , . . . , Jr1 ?1,r1 , то ввиду максимальности L
имеем AO(V1 ) ? L и потому m1 = 1. Следовательно, ?1 = AO(V1 ) и подалгебра
K1 = L1 ? AO(V1 ) выделяется прямым слагаемым в алгебре L, т.е. L = K1 ? L .
Рассмотрим далее примарную часть B2 (r2 ; m2 ) алгебры F . Аналогичными рас-
суждениями доказываем, что m2 = 1 и L содержит подалгебру K2 = L2 ? AO(V2 ),
L2 = Gr1 +1 + ?2 Pr1 +1 , . . . , Gr1 +r2 + ?2 Pr1 +r2 , которая выделяется в L прямым
Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) 39

слагаемым. Значит, L = K1 + K2 ? L . Полная система инвариантов подалгебры
K1 ? K2 состоит из функций x0 ? xn и
x0 ? xn x0 ? xn

<< Предыдущая

стр. 10
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>