<< Предыдущая

стр. 105
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

g? ? g?? +
0 0
(35)
g? = 0
?
is also a solution of (33)–(34).
System (33)–(34) has for some s(? ) particular solutions of the form
?
N ?1
N
2k
S k (? )? 2k ,
f= Tk (? )? , g=
k=0 k=0

?
where T 0 (? ) = s(? ). For example, if s(? ) = ?2C1 (h(? ) ? 1)d? + C2 , N = 1 then
? ?
f = C1 ? ? 2 (h(? ) ? 1)d? + C2 , g = ?C1 ? .
2

Let s(? ) = 0.
?
Theorem 5. The maximal, in the sense of Lie, invariance algebra of system (33)–
(34) when s(? ) = 0 is the algebra
?
? ?
f ?f + g?g , f (?, ?)?f + g (?, ?)?g if h = const;
1. ?
? ? ?
2? ?? + ??? , ?? , f ?f + g?g , f (?, ?)?f + g (?, ?)?g if h = const and h = 0;
2. ?
f ? ?
2? ?? + ??? , ?? , ?g , f ?f + g?g , f (?, ?)?f + g (?, ?)?g if h = 0.
3. ?
?
??
Here (f , g ) is an arbitrary solution of (33)–(34) when s(? ) = 0.
?

1. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Slavuislcy S.L., Reduction and exact solution of Navier–Stokes
equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1991, 24, 971–984.
2. Фущич В.И., Штелень В.М., Попович Р.Е., О редукции уравнений Навье–Стокса к линейным
уравнениям теплопроводности, Докл. АН Украины, 1992, № 2, 23–30.
3. Фущич В.И. Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наукова думка, 1989, 336 с.
4. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
5. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и
редукция нелинейных уравнений, Киев, Наукова думка, 1991, 304 c.
6. Бытев В.О., Групповые свойства уравнений Навье–Стокса, в сб. “Численные методы механики
сплошной среды”, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1972, 3, № 5, 13–17.
7. Lloyd S.P., The infinitesimal group of the Navier–Stokes equations, Acta Mechanica, 1981, 38,
83–98.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 448–451.

О нелокальных анзацах
для одного нелинейного одномерного
уравнения теплопроводности
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ, Т.К. АМЕРОВ
?
Implicit nonlocal ans?tze of the F (x, v) = f (x, v)?(?) + h(x, v)?(?) + g (x, v), x1 = u
a ? ?
2
form reducing nonlinear heat equation u0 = ?1 (u? 3 u1 ) to the ordinary differential
equations are constructed. A method for generating the new solutions of the nonlinear
heat equation by means of nonlocal transformation is indicated.

В работе [1] дана полная групповая классификация одномерного нелинейного
уравнения теплопроводности
(1)
u0 = ?1 (c(u)u1 ),
где u = u(x), x = (x0 , x1 ) ? R2 , uµ = ?µ u = ?xµ , µ = 0, 1, c(u) — произвольная
?u

гладкая функция. Там же установлено, что уравнение (1) имеет самую широкую
алгебру инвариантности тогда, когда
4
c(u) = ?u? 3 , (2)
? = const.
Базисные элементы P0 , P1 , D1 , D2 , A этой пятимерной алгебры Ли имеют вид
(3)
P0 = ?0 , P1 = ?1 , D1 = 2x0 ?0 + x1 ?1 ,

(4)
D2 = x1 ?1 + (au + b)?u (a, b = const),

A = ?x2 ?1 + 3x1 u?u . (5)
1

Во всех остальных случаях алгебра инвариантности уравнения (1) является че-
тырехмерной P0 , P1 , D1 , D2 или трехмерной P0 , P1 , D1 .
Анзацы, порождаемые операторами (3)–(5), имеют вид [2]
(6)
u = f (x)?(?) + g(x),
где f , g — некоторые гладкие функции, определяемые из условия редукции [3].
Рассмотрим нелинейное уравнение теплопроводности
2
u0 = ?1 (u? 3 u1 ). (7)
Алгеброй инвариантности уравнения (7) является четырехмерная алгебра с бази-
сными элементами (3), (4).
В настоящей работе для уравнения (7) построены анзацы вида
? (8)
F (x, v) = f (x, v)?(?) + h(x, v)?(?) + g (x, v),
? ?
Доклады АН Украины, 1992, № 1, С. 26–30.
О нелокальных анзацах для уравнения теплопроводности 449

?
d?
?v
где v1 = ?x1 = u, ? = d? , ? = ?(x, v), x = (x0 , x1 ). В формуле (8) F , f , h, g —
? ?
некоторые гладкие функции, определяемые из условия редукции уравнения в ча-
стных производных (7) к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).
Анзац (8) принципиально отличен от (6) и связан с нелокальной (нелиевской)
симметрией уравнения (7).
Для построения анзаца (8) в явном виде мы воспользуемся идеей [4–6]: с по-
мощью нелокального, несингулярного преобразования приводим (7) к уравнению,
симметрия которого шире, чем симметрия исходного уравнения. Воспользовав-
шись обратимостью используемых нелокальных преобразований, находим анзац
для уравнения (7).
Для конкретной реализации этой идеи преобразуем уравнение (7) с помощью
цепочки нелокальных преобразований [5, 7]
?v
(9)
u = v1 = ,
?x1
(10)
x0 = t, x1 = w, v = x,
?w
(11)
wx = = z.
?x
Уравнение (7) при преобразованиях (9)–(11) переходит в уравнение
4
zt = ?x (z ? 3 zx ), (12)
где z = z(t, x), zt = ?z , zx = ?x z = ?x . Уравнение (12) имеет более широкую
?z
?t
симметрию, чем уравнение (7). Именно оператор
Az = ?x2 ?x + 3xz?z (13)
является новым (дополнительным) оператором симметрии преобразованного урав-
нения (12). Этот факт дает возможность построить лиевский анзац для уравнения
(12), а затем преобразовать его с помощью (11), (10), (9). Построенный таким
образом анзац будет нелокальным (нелиевским) для уравнения (7).
Анзацы для уравнения (12) имеют вид
1
z = x?3 ?(?), (14)
? = at + ,
x
1
3
z = t 4 x?3 ?(?), (15)
? = a ln t + (a = const).
x
Построение таких анзацев возможно благодаря наличию в симметрии уравне-
ния (12) оператора (13). После преобразований (11), (10) анзацы (14), (15) при-
нимают вид (8)
1 1
x1 + F (x0 ) = ? ?(?) + ?(?), (16)
? ? = c3 x0 + , v1 = u,
v v
1
?3
= ? ?(?) + ?(?),
4
(x1 + F (x0 ))x0 ?
v (17)
1
? = c3 ln x0 + , v1 = u, c3 = const.
v
450 В.И. Фущич, Н.И. Серов, Т.К. Амеров

Анзацы (16), (17) редуцируют уравнение (7) к следующим ОДУ:
1
3(?)? 3 + c3 ? ? c2 = 0,
? ?
(18)
?
F = c2 ,

3
1
3(?)? 3 + c3 ? + ? ? c2 = 0,
? ?
4 (19)
1
?
x 4 F = c2 .

Уравнения (18) несложно проинтегрировать. В результате получим
4
1 1
?4c3 x0 +
4
(20)
(c1 x1 + c2 x0 ) = c3 x0 + , v1 = u,
v v
где c1 , c2 , c3 — произвольные постоянные.
Заметим, что формула (20) задает семейство точных решений уравнения (7)
в неявном виде. Такие решения не могут быть получена классическим методом
С. Ли.
Применим преобразования (9)–(11) к уравнению (1). При этом уравнение при-
нимает вид
c(z) = z ?2 c(z ?1 ). (21)
zt = ?x (?(z)zx ),
c ?
Преобразования (9)–(11) переводят уравнения из класса (1) в тот же класс. Для
того чтобы данные преобразования были преобразованиями-инвариантности урав-
нения (1), следует на функцию c наложить условие
z ?2 c(z ?1 ) = c(z). (22)
Решением уравнения (22) является функция c(z) = z ?1 q(z), где q(z) — прои-
звольное решение функционального уравнения
q(z) = q(z ?1 ). (23)
Преобразования инвариантности (9)–(11) уравнения
u1
(24)
u0 = ?1 q(u)
u
используем для построения формулы размножения его решений.
Пусть u = R(x0 , x1 ) — решение уравнения (24). Тогда z = R(t, x) — решение
уравнения
zx
(25)
zt = ?x q(z) .
z
Произведя замену (11), получаем wx = R(x, t) — решение уравнения
wxx
(26)
wt = q(wx ) .
wx
Применяя преобразование годографа (10), имеем решение
1
(27)
= R(x0 , v)
v1
О нелокальных анзацах для уравнения теплопроводности 451

уравнения
v11
(28)
v0 = q(v1 ) .
v1
Соотношение (27) представляет собою ОДУ относительно неизвестной функции v,
в котором x0 играет роль параметра. Решая это уравнение, находим
v
(29)
x1 = R(x0 , ? )d?.
0

Если из (29) найти функцию v и продифференцировать ее по x1 , получим решение
уравнения (24).
В качестве примера рассмотрим уравнение (24) при q(u) ? 1
u1
(30)
u 0 = ?1 .
u
Функция
x0
(31)
u=
cos x1 + 1
является одним из частных решений уравнения (30). Из формулы (29) находим
x1 = x0 tg v , откуда v = 2 arctg x1 . Продифференцировав последнее выражение по
2 x0
x1 , получаем решение уравнения (30)
2x0
(32)
u= .
x2 + x2

<< Предыдущая

стр. 105
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>