<< Предыдущая

стр. 106
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

0 1

Отметим, что решения (31) и (32) существенно отличаются между собой по
своим свойствам (ограниченности, периодичности, поведением в ноле и на бе-
сконечности и т.д.). Если же размножать решения уравнения (24) при помощи
групповых преобразований, то большинство из указанных свойств этих решений
сохраняются.

1. Овсянников Л.В., Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности, Докл. АН СС-
СР, 1959, 125, № 3, 492–495.
2. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в сб. Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
3. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989.
4. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической фи-
зики, Докл. АН СССР, 1979, 246, № 4, 846–850.
5. Фущич В.И., Тычинин В.А., О линеаризации некоторых нелинейных уравнений с помощью
нелокальных преобразований, Препринт № 33, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982, 48 c.
6. Фущич В.I., Тичинiн В.А., Точнi розв’язки та принцип суперпозицiї для нелiнiйних хвильових
рiвнянь, Доп. АН УРСР, 1990, № 5, С. 32–36.
7. King I.R., Some non-local transformations between nonlinear diffusion equations, J. Phys. A: Math.
Gen., 1990, 23, 5441–5464.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 452–456.

Conditional invariance and exact solutions
of gas dynamics equations
W.I. FUSHCHYCH, N.I. SEROV, T.K. AMEROV
Изучена условная инвариантность системы уравнений газовой динамики, а также
получены некоторые ее точные решения.

Let us consider the system of gas dynamics equations
?u 1
+ (u ?)u = ? ?p,
?x0 ?
?? (1)
+ div (?u) = 0,
?x0
p = F (?),
where u = u(x) = {u1 (x), u2 (x), . . . , un (x)} is speed of gas diffusion, ? = ?(x) is
density of a gas, p = p(x) is pressure of a gas, x = (x0 , x) = (x0 , x1 , . . . , xn ) ? R1+n .
L.V. Ovsyannikov in [1] investigated Lie symmetry of gas dynamics equations. We
have to take notice of Lie symmetry of one-dimensional case. In this case, system (1)
takes the form
S1 ? u0 + uu1 + f (?)?1 = 0, S2 ? ?0 + u?1 + ?u1 = 0, (2)
?
??
?u
where uµ = ?xµ , ?µ = ?xµ , µ = 0, 1, F = ?f .
In [2] it is proved that if
2N + 1
f = ????2 , ?= , N = 0, 1, 2, . . . , ? = const
2N ? 1
then equations (2) are invariant under infinite-dimensional Lie algebra, which cannot
be obtained from the results of [1].
In this paper we study conditional invariance (see [2]) of the system of gas dynami-
cs equations.
Theorem. The system of equations (2), with corresponding f (?), is Q-conditionally
invariant under operators Qi , i = 1, . . . , 8, which are listed in Table.
Proof. We give the proof of the theorem by considering one of the operators from
Table, the other cases are analogous.
In accordance with definition (see [2]), system (2) is Q-conditionally invariant
under the operator
Q = ?0 + A(x0 , x1 , u, ?)?1 + B(x0 , x1 , u, ?)?u + C(x0 , x1 , u, ?)?? ;
if
?
Q[S1 ] = ?1 S1 + ?2 S2 + ?3 (Qu) + ?4 (Q?),
?
Q[S2 ] = ?5 S1 + ?6 S2 + ?7 (Qu) + ?8 (Q?),

Доклады АН Украины, 1992, № 5, С. 35–40.
?
F (?)
Q
f= Ansatz Reduced ODE system
?
? ?
?? = e ,
?
? u = ?1 (?) ? v?1 e?? + ?2 ?3 x0 ,
?1 (?) = 0,
?
Q1 = ?0 + u?1 + v
?1 p?3 + ?2 p?1 3
?2 ?2 2 ?2 (?) = 0
?
+?3 [(?1 ??2 + ?2 )?u + ?1 ?? ] ? ? = ?2 (?) + ?3 x0 ?1 (?) ? ?3 x1 +
? x0 ,
2
? v
? = p ? ?1 ?3 x0
?
? ? = ??1 (?2 + ?1 (?)x0 )?1 ,
?
Q2 = ?0 + u?1 + ?3 ?u ? ?
?1 (?) = ??3 ?2 ,
?2 (?) 1
2
??2 (?1 + ?2 ?)?1 + 1 ?3 x0 + x1 x?1 ,
0
u= x 2 ?
0 ?1 (?)?2 (?) = ??2
?
? ?1 ?+?2 ? ?? ?
?1 x 0
? = u ? ?3 x0
? ?
?? = e , v
?
?
?1 (?) = 0,
?
u = ?1 (?) ? ?e?? ,
Q3 = ?0 +v 1 +
v u?
?p?3 2 1 ?2 (?) = 0
?
?
+?1 ?( ?p?2 ?u + ?? ) ? ? = ? (?) ? ?1 x1 + ?1 x0 ? (?),
v
?
? = ? ? ??1 x0
?
? ? = (?1 (?) ? ?2 x0 )?1 ,
?
??2 ?1 (?) + ?1 = 0,
Q4 = ?0 + u?1 + ?1 ?u + ?2 ?2 ?? u = x?1 ?2 (?) + 1 ?1 x0 + x1 x?1 ,
0 0
2 ?
?2 ?2 (?) ? ?1 (?) = 0
?
? = u ? ?1 x0 .
1
? = ?v(x1 ),
v
(?2 u2 ? ?)?u
Q5 = ??0 ? ??
u = ?1 (x ) tg(?2 (x1 ) ? ??x0 ), ? < 0,
1

? (x ?
?1 (x1 ) = ??1 (?1 (x1 ))2 ,
= ?1v 1 ),
v
?
?
u + ?2 (x1 ) = 0
?x0 ), ? > 0,
= ?1 (x ) th(?2 (x1 )
1

?
f d? ? ?x1 = ?2 (x0 ), ?1 (x0 ) = ??,
? f (?) Q6 = f ?1 + ???
?
u = ?1 (x0 ) ?2 (x0 ) + ??1 (x0 ) = 0
Conditional invariance and exact solutions of gas dynamics equations




?
? = (?1 (x1 ) + ?x0 )?1 , ?1 (x1 ) = 0,
Q7 = ??0 + ?u??u + ??2 ??
?
u = ?2 (x1 )(?1 (x1 ) + ?x0 )?1 ?2 (x1 ) = 0
12
?
u ?1 (x1 ) = ?,
? f d? = ?1 (x1 ),
2
Q8 = ?0 + ??u + ?uf ?1 ??
?
?2 (x1 ) = 0
u = ?2 (x1 ) + ?x0

?, ?i , i = 1, 3 are arbitrary constants.
453
454 W.I. Fushchych, N.I. Serov, T.K. Amerov

?
where Q is the prolongation of Q; ?i are some functions, i = 1, 8; Qu = u0 + Au1 ? B;
Q? = ?0 + A?1 ? C.
Let us consider operator
Q4 = ?0 + u?1 + ?1 ?u + ?2 ?2 ?? , ?i = const, i = 1, 2.
We will show that system (2) with f (?) = ???3 , ? = const is Q-conditionally invariant
under operator Q4 . For this particular case we have
S1 = u0 + uu1 + ???3 ?1 , (3)

(4)
S2 = ?0 + u?1 + ?u1 ,

Q4 u = u0 + uu1 ? ?1 , Q4 ? = ?0 + u?1 ? ?2 ?2 .

Acting by the prolongation of Q4 on (3), (4) and then getting together terms in
a proper manner we obtain the following

Q4 [S1 ] = ????4 ?1 S2 + ??1 ??4 (Q4 ?) ? u1 (Q4 u),
?
(5)
?
Q4 [S2 ] = (2?2 ? ? u1 )S2 ? ?1 (Q4 u) + u1 (Q4 ?).

It follows from (5) that the system (2) with f = ???3 is Q-conditionally invariant
under the operator Q4 . The theorem is proved.
All obtained operators of conditional invariance of the system (2) are used for
constructing of ans?tze which reduce equations (2) to the systems of ordinary differen-
a
tial equations (ODE). The final results are listed in the Table. Having integrated the
reduced equations and substituting obtained values of ?1 , ?2 , into the corresponding
ansatz we get the following solutions of system (2) with a proper value of f (?):
?2 ?2 2
? = exp ?5 + ?3 ?4 x0 ? ?3 x1 + 3
x,
20
?2 ?2 2
u = ? ?1 exp ??5 ? ?3 ?4 x0 + ?3 x1 ? 3
x + ?2 ?3 x0 + ?4 ;
20
? = ??1 [?2 ? ?3 ?2 (? + ?4 )x0 ]?1 ,
1
2
?2 1
x?1 + ?3 x0 + x1 x?1 , ? = u ? ?3 x0 ;
u= (ln(? + ?4 ) + ?5 )
0 0
?3 ?2 2
1

? = exp{?3 ? ?1 x1 + ?1 ?2 x0 },
v
u = ?2 ? ? exp{??3 + ?1 x1 ? ?1 ?2 x0 };
? = (??1 ??1 ??1 ? + ?3 ? ?2 x0 )?1 ,
2

?1 2 ?3 1 x1
u = x?1 ? ? = u ? ?1 x0 ;
? + ? + ?4 + ?1 x0 + ,
0
2??2 ?2 2 x0
2
1
?= ,
?1 x1
v v
??1 ??x1 tg ?1 ??x0 , ? < 0,
v
v
u=
?1 ?1 x1 th ?1 ?x0 , ? < 0;
Conditional invariance and exact solutions of gas dynamics equations 455

122
? x ? ?1 x1 ,
f d? =
210
u = ?1 x0 ;
? = (?x0 + ?1 )?1 ,
u = (?x1 + ?2 )(?1 + ?x0 )?1 ;
12
u + f d? = ?x1 + ?2 ,
2
u = ?1 + ?x0 ,
where ?i , i = 1, 5 are arbitrary constants.
The results of the theorem can be generalized for n-dimensional case. After that
the counterparts of Q, have the form
Q1 = ?0 + u ? + (?1 ??1 + ?2 )??u +
? ? 1 ?? ,
2
? 2 = ?0 + u ? + ??u ? ?1 ? + ?2 ? ?? ,
Q

<< Предыдущая

стр. 106
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>