<< Предыдущая

стр. 11
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?x2 + x2 + · · · + x21 + + · · · + x21 +r2 +x2 ,
x2
x0 ? xn + ?1 x0 ? xn + ?2 r1 +1
0 1 r r n

?
xr1 +r2 +1 , . . . , xn?1 . Через t шагов получаем L = K1 ? K2 ? · · · ? Kt ? L, где
Ki = Li ?AO(Vi ), Li = G?i +1 +?i P?i +1 , . . . , G?i +ri +?i P?i +ri , ?i = r1 +· · ·+ri?1 ,
?
а L ? P?+rt +1 , . . . , Pn?1 ? A1 (d1 ; n1 ) + · · · + As (ds ; ns ). Отсюда вытекает, что
? ?
функции x0 ? xn и
x0 ? xn
?x2 + x2 + · · · + x21 + · · ·
x0 ? xn + ?1 1
0 r

x0 ? xn
··· + x2 + · · · + x2 t + x2 ,
x0 ? xn + ?t ?+1 ?+r n


являются инвариантами алгебры L. Так как полная система инвариантов алгебры
L состоит из двух инвариантов, то s = 0. Следовательно, из условия L ? V = 0.
?
получаем L = 0 и ? + rt = n ? 1, т.е. алгебра L относится к типу 8 теоремы 3.
Рассмотрим далее случай, когда r1 = 1, а все остальные ri больше еди-
ницы. Так как подалгебры Ki , соответствующие примарным частям Bi (ri ; mi ),
i = 1, 2, . . . , t ? 1, выделяются прямыми слагаемыми в алгебре L, то достаточно
ограничиться рассмотрением случая t = 1. Тогда B1 (1; m1 ) = G1 , . . . , Gm1 и
алгебра L содержит подалгебру L1 с базисом
X1 = G1 + d11 P1 + · · · + ?1,m1 Pm1 + Y1 + ?1 (P0 ? Pn ),
····························································
Xm1 = Gm1 + ?m1 ,1 P1 + · · · + ?m1 ,m1 Pm1 + Ym1 + ?m1 (P0 ? Pn ),
?
где Y1 , . . . , Ym1 ? L = Pm1 +1 , . . . , Pn?1 ? A1 (d1 ; n1 ) + · · · + As (ds ; ns ), и в слу-
? ?
чае m1 > 1 [Yi , Yj ] ? Pm1 +1 , . . . , Pn?1 , i, j = 1, . . . , m1 . Очевидно, алгебра L
представляется в виде суммы L = L1 + LA , где LA — подпространство алгебры
?
P0 + Pn ? L. Поэтому функция x0 ? xn является инвариантом алгебры L. По
условию ранг алгебры L равен n ? 1, следовательно, s = 0 или s = 1.
Если s = 1, то n1 = 1 и функция x2 1 +1 + · · · + x2 1 +d1 является инвариантом
m m
алгебры L. Так как инварианты x0 ? xn и x2 1 +1 + · · · + x2 1 +d1 алгебры L фун-
m m
кционально независимы, то из условия L ? V = 0 получаем, что m1 + d1 = n ? 1
и подалгебра AO(W1 ) = Jm1 +1,m1 +2 , . . . , Jn?2,n?1 содержится в L. Таким обра-
зом, Y1 = · · · = Ym1 = 0 и L = L1 ? AO(W1 ). Ранг алгебры L равен n ? 2, что
противоречит условию. Следовательно, s = 0 и потому m1 = n ? 1. Очевидно
[Xi , Xj ] = (?ji ? ?ij )(P0 ? Pn ) ? 2?i Pi + 2?j Pj . Так как L ? V = 0, то ?ij = ?ji ,
?i = ?j = 0 и потому матрица A = (?ij ) симметрическая. Но тогда существу-
ет такая ортогональная матрица C ? O(m1 ), что CAC ?1 = diag [?1 , . . . , ?m?1 ].
Отсюда следует, что с точностью до P (1, n)-сопряженности можно предполагать,
что X1 = G1 + ?1 P1 , . . . , Xn?1 = Gn?1 + ?n?1 Pn?1 . Поэтому алгебра L имеет два
функционально независимых инварианта x0 ? xn и
x0 ? xn x0 ? xn
?x2 + x2 + · · · + x2 + x2 .
x0 ? xn + ?1 x0 ? xn + ?n?1 n?1
0 1 n
40 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник

Таким образом, L относится к типу 8 теоремы.
Если n = 2, то алгебра L с точностью до P (1, n)-сопряженности содержит
элемент X1 = G1 + (P0 ? P2 ) и потому L = G1 + P0 ? P2 . Остальные случаи
рассматриваются аналогично. Теорема доказана.

1. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
2. Grundland A.M., Harnad I., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Phys., 1984, 25, № 4, 791–806.
3. Баранник Л.Ф., Фущич В.И., Инварианты подгрупп обобщенной группы Пуанкаре, Препринт
86.86, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1986, 40 с.
4. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear multidimensio-
nal Liouville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. and Gen., 1983, 16, 3645–3656.
5. Баранник А.Ф., Симметрийная редукция и точные решения уравнения Лиувилля, Докл. АН
УССР, Сер. А, 1988, № 12, 3–5.
6. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
7. Баранник А.Ф., Фущич В.И., О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитар-
ных групп, Препринт 86.87, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1986, 48 с.
8. Тауфик М.С., О полупростых подалгебрах псевдоунитарных алгебр Ли, в сб. Геометрические
методы в задачах алгебры и анализа, Ярославль, Яросл. ун-т, 1980, 86–115.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 41–47.

Максимальные подалгебры ранга n ? 1
алгебры AP (1, n) и редукция нелинейных
волновых уравнений. II
В.И. ФУЩИЧ, А.Ф. БAРАННИК
Описаны максимальные подалгебры L ранга n расширенной алгебры Пуанкаре
?
AP (1, n), удовлетворяющие условию L ? V ? P1 , . . . , Pn , где V = P0 , P1 , . . .,
Pn — пространство трансляций. Построены инварианты этих максимальных подал-
гебр, проведена редукция уравнений Даламбера и Лиувилля по каждой из них, и
найдены широкие классы точных решений данных уравнений.

Настоящая статья является продолжением [1].
?
6. Максимальные подалгебры ранга n алгеры AP (1, n). Опишем макси-
?
мальные подалгебры ранга n алгебры AP (1, n), не содержащиеся в AP (1, n) и
удовлетворяющие условию L ? V ? P1 , . . . , Pn . Центральное место занимает сле-
дующее предложение.
Предложение 3. Пусть L — максимальная подалгебра ранга r, 2 ? r ? n,
?
алгебры AP (1, n). Если L ? AP (1, n), то L = K ? S , где K — максимальная
подалгебра ранга r ? 1 алгебры AP (1, n), а S = S + X, X ? AP (1, n).
Таблица 1
Максимальные подалгебры ранга n ? 1 Нормализатор алгебры
?
алгебры AP (1, n) в AP (1, n)
L1 = AE(n ? 1) L1 ? J0n , P0 , Pn , S
L2 = AO(l) ? AE(n ? l) L2 ? S
L3 = AE (l) ? AE(n ? l ? 1) L3 ? J0n , P0 + Pn , S
L4 = J0n ? AO(l) ? AE(n ? l ? 1) L4 ? S
?
L5 = AE (l) ? AE(n ? l ? 2) L5 ? S, Pl+1
?
L6 = AE (l1 ) ? AO(l1 , l2 ) ? AE(n ? l ? 1) L6 ? S
L7 = G1 + P0 ? Pn ? AE(n ? 2) L7 ? J0n ? 2S
L8 = ?1 ? · · · ? ?t ? AE(n ? ? ? rt ? 1) L8 ? J0n ? 2S
L9 = J0n + ?P1 ? AE(n ? 2) L9
?
L10 = (AE (l) ? J0n + dPl+1 ) ? AE(n ? l ? 2) L10
L11 = J12 + ?P0 ? AE(n ? 2) L11

Предложение 3 легко доказывается на основании теоремы об универсальном
инварианте. Из этого предложения вытекает, что описание максимальных подал-
?
гебр ранга n алгебры AP (1, n), не содержащихся в AP (1, n), сводится к нахо-
ждению всех расширений максимальных подалгебр ранга n ? 1 алгебры AP (1, n)
с помощью одномерных подалгебр вида S + X , X ? AP (1, n). Рассмотрим этот
вопрос более подробно. Пусть K — произвольная максимальная подалгебра ран-
га n ? 1 алгебры AP (1, n). Из табл. 1 вытекает, что ее нормализатор в алгебре
?
AP (1, n) представляется в виде K ? F , где F — подалгебра. Следовательно, ма-
?
ксимальная подалгебра L ранга n алгебры AP (1, n), содержащая K, является
полупрямой суммой L = K ? S + X , где S + X ? F . Пусть L = K ? S + X ,
Укр. матем. журн., 1990, 42, № 12, C. 1693–1700.
42 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник

S + X ? F , — какая-нибудь другая максимальная подалгебра ранга n алгебры
?
AP (1, n). Тогда имеет место следующее предложение.
?
Предложение 4. Две подалгебры L = K ? S + X и L = K ? S + X P (1, n)-
conряжены тогда и только тогда, когда S + X и S + X сопряжены отно-
сительно группы внутренних автоморфизмов алгебры F .
Из предложений 3 и 4 вытекает следующий алгоритм построения максималь-
ных подалгебр ранга n алгебры AP (1, n), не содержащихся в AP (1, n).
1) Проводим классификацию всех максимальных подалгебр ранга n?1 алгебры
AP (1, n) с точностью до P (1, n)-сопряженности.
2) Для максимальной подалгебры K ? AP (1, n) ранга n ? 1 находим ее
?
нормализатор NorAP (1,n) K в алгебре AP (1, n) (см. табл. 1). Пусть, например,
?
NorAP (1,n) K = K ? F .
?
3) Проводим классификацию с точностью до группы внутренних автоморфи-
змов всех одномерных подалгебр алгебры F с ненулевой проекцией на S .
4) Если S + X1 , . . . , S + Xt — все одномерные подалгебры алгебры F , то
K1 = K ? S + X1 , . . . , Kt = K ? S + Xt — все максимальные подалгебры ранга
?
n алгебры AP (1, n), являющиеся расширениями подалгебры K.
Используя указанный алгоритм и результаты, изложенные в п. 5, находим
?
список максимальных подалгебр ранга n алгебры AP (1, n), не содержащихся в
AP (1, n) и удовлетворяющих условию L ? V ? P1 , . . . , Pn .
?
Теорема 4. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n алгебры AP (1, n)
с ненулевой проекцией на S и L ? V ? P1 , . . . , Pn . Тогда L сопряжена с одной
из следующих алгебр:
= L1 ?
1) L1,1 S;
= L1 ?
2) L1,2 J0n + ?S (? = 0);
= L1 ?
3) L1,3 J0n + S + P0 + Pn ;
= L2 ?
4) L2,1 S;
= L3 ?
5) L3,1 S;
= L3 ?
6) L3,2 J0n + ?S (? = 0);
= L3 ?
7) L3,3 J0n + S + P0 + Pn ;
= L4 ?
8) L4,1 S;
= L5 ?
9) L5,1 S;
= L6 ?
10) L6,1 S;
= L7 ? J0n ? 2S ;
11) L7,1
= L8 ? J0n ? S .
12) L8,1
?
Введем далее в рассмотрение расширенную алгебру Евклида AE(n), облада-
ющую базисом Jab = xb ?a ? xa ?b , Pa = ?a , S1 , где S1 = ?xa ?a + 2?u или
S1 = ?xa ?a + k?1 ?u ; a, b = 1, . . . , n. Генераторы поворотов Jab порождают ор-
2u

тогональную алгебру AO(n). Используя указанный выше алгоритм, приходим к
следующим результатам.
?
Предложение 5. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 2 алгебры AE(3).
?
Тогда L E(3)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) L1 = J12 , S1 ; 2) L2 = P3 , S1 ;
3) L3 = J12 + cS1 , P3 (c > 0); 4) L4 = J12 , P1 , P2 ;
5) L5 = J12 , J13 , J23 ; 6) L6 = J12 , P3 .
Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) 43

?
Предложение 6. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 3 алгебры AE(4)
?
и L ? P1 , . . . , Pn = 0. Тогда L E(4)-сопряжена с одной из следующих алгебр:

1) L1 = J12 , J34 , S1 ; 2) L2 = J12 , J13 , J23 , S1 ; 3) L3 = AO(4).

7. Редукция и точные решения уравнения Лиувилля. В настоящем пун-
? ?
кте подалгебры алгебр AP (1, n) и AE(n) используются для поиска инвариантных
решений уравнения (1) при F (u) = ? exp u. Пусть L — произвольная подалге-
?
бра алгебры AP (1, n) и подпространство L ? V изотропно. В силу теоремы Витта
можно предполагать, что P0 + P1 ? L ? V . Тогда любое решение уравнения (1),
инвариантное относительно L, имеет вид u = u(x0 ? xn , x1 , . . . , xn?1 ), и потому

u11 + · · · + un?1,n?1 ? ? exp u = 0. (7)

Таким образом, указанный случай сводится к рассмотрению уравнения (7) в ев-
клидовом пространстве Rn?1 . Максимальной алгеброй инвариантности уравне-
?
ния (7) является расширенная алгебра Евклида AE(n ? 1), обладающая базисом
Jab = xb ?a ? xa ?b , Pa = ?a , S1 = ?xa ?a + 2?u ; a, b = 1, . . . , n ? 1. Следователь-
?
но, подалгебры алгебры AE(n ? 1) можно использовать для поиска инвариантных
решений уравнения (7), а значит, и уравнения (1). Для иллюстрации остановим-
ся подробно на случае n = 4. Запишем полные системы инвариантов подалгебр,
представленных в предложении 5; запись L: f1 , . . . , fn будет означать, что функции
f1 , . . . , fn образуют полную систему инвариантов алгебры L:
x2 + x2
1 2
L1 : ? = u + 2 ln x3 , ?= ;
2
x3
x2
L2 : ? = u + ln x2 + x2 , ? = arctg ;
1 2
x1
x2
L3 : ? = u + ln x2 + x2 , ? = ln x1 + x2 + c arctg ;
2
1 2 2
x1
L4 : ? = u, ? = x3 ;
? = x2 + x2 + x2 ;
L5 : ? = u, 1 2 3

? = x2 + x2 .
L6 : ? = u, 1 2

Анзац ? = ?(?) редуцирует уравнение (7) к обыкновенному дифференциаль-
ному уравнению с неизвестной функцией ?(?):

L1 : 4(? + ? 2 )? + (6? + 4)? ? 2 ? ? exp ? = 0;
? ?
L2 , L4 : ? ? ? exp ? = 0; L3 : (42 )? ? ? exp ? = 0;
? c?

<< Предыдущая

стр. 11
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>