<< Предыдущая стр. 110(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>

x2
u = x?2 ?(?), where ? = x0 ?
1
2. ,
1
2
?(?) satisfies ODE ? = ??1 ln ? + ?3 ?;
?
x2
x0
?2 ln x?1 ?1
3. u= 2?3 , ?1 = 0, ?2 = 0, ?3 > 0;
1
?2 4
?4 x2
1
u = ln , ?1 = 0, ?2 = 0, ?3 = 0, ?4 = 0;
? ?1
?1 ?4 4x0
x2
exp 1
?2 ?2

?1 4x0
u = ? ln ?1 ,
4. ?1 = 0, ?2 = 0, ?3 = 0;
(18)
x2
?2 1
?1
??2 2
1
W (u) = x1 + exp x0 , ?1 = 0, ?2 = 0;
?2 ?1
?2 x2
?1 1
5. W (u) = x1 , ?2 = 0; u = ?1 x0 + ;
2x0 2(N + 1)
x2
u = ?1 x0 + ?3 1 ;
6.
2
?3 2 N + 1
7. u = exp exp ?3 x0 + x+ .
41 2
Numeration in (18) corresponds to that of ans?tze in the table.
a
Note, that substituting x1 > r = x1 2 + x2 + · · · + x2 and putting N = n ? 1 we
n
2
find that equation (2) coincides with reduced nonlinear heat equation
(19)
H(u)u0 + ?u = F (u),
2 2
where u = u(x0 , x), ? = ? 2 + · · · + ?nn . Equation (19) is reduced to (2) by means
?
?1
of the O(n)-invariant ansatz u = u(x0 , r). Therefore, many results obtained above
for equation (2) can be used straightforwardly for finding operators of conditional
symmetry and corresponding solutions of multidimensional equation (19). We sum-
marize them in the following statement.
Theorem 4. Nonlinear heat equation (19) is Q-conditionally invariant under the set
of operators {AO(n), Q} if:
4?n
2
2?n
1) H(u) = ?1 u 2?n + ?2 , F (u) = ?3 ,
Q = ?2 x 2 ?0 + (4 ? n)xa ?a + (4 ? n)(2 ? n)u?u , ?2 = 0, n = 2, 4;
?1
, F (u) = ?3 , n = 4, Q = x 2 ?0 + xa ?a ? 2u?u ;
2) H(u) =
u
3) H(u) = ?1 exp u + ?2 , F (u) = ?3 exp u, n = 2, (20)
Q = ?2 x 2 ?0 + 2xa ?a + 4?u , ?2 = 0;
?3 2
4) H(u) = 1, F (u) = ?3 u ln u, Q = xa ?a + x u?u ;
2
1 1 n
5) H(u) = , F (u) = (?1 u + ?2 ), Q = ?0 + 2 uxa ?a + (?1 u + ?2 )?u .
u u x
468

H(u) F (u)
№ Operator Q Ansatz Reduced equation
2
3?N 3?N
2
?
?
?1 1?N
u = x1?N ?(?), ?+
?
1 ?1 u 1?N + ?2 , ?2 = 0 ?3 u 1?N , N = 1, 3 = ?3 ? 1?N
?2 x2 ?0 + (3 ? N )x1 ?1 +
1 1 (N ?3)2
?2
x2
x0 1
?= +
+(3 ? N )(1 ? N )u?u 2(N ?3)
?2
x2 ?
?
?1
N =3 u = x?2 ? ?
2 , ?3 x2 ?0 + x1 ?1 ? 2u?u
1 1
u
x0 ? 21 ?1 ? + ? = 3
u ?1 ?
e?? ?
3 ?1 e + ?2 , ?2 = 0 ?3 eu , N = 1 ?2 x2 ?0 + 2x1 ?1 + 4?u u = ?(?) + 2 ln x1 , + 1 ? = ?3 e?
1 4
?2
x2
x0 1
?= ? 4
?2
? ?
WW WW W
?1 ?2
?
4 x1 ?1 + ?u W (u) = x1 ?(x0 )
N? N? ?1 ? = ?3 ? ? ?3
? ? ? ?
W2 W2 WW W2 W
?2 x 2
?2 1
x? ?
5 ?1 ? + ?2 , ?2 = 0 ?1 + ? = ?1
W (u), N = ?1 u = ?(x0 ) ?
N +1 1 u 2(N +1)
x2
?
6 ?1 W (u) ?1 + ?3 x1 ?u u = ?(x0 ) ? = ?1
W (u), N = ?1 + ?3 21
?3 x2
1 +1
?3 4
1 ?
7 ?3 u ln u ?1 + x u?u u = ?(x0 )e
21
? + ?3 N2 ? = ?3 ? ln ?
W.I. Fushchych, N.I. Serov, A.I. Vorob’eva
Conditional symmetry and exact solutions 469

Remark. Basis elements of AO(n) have the form

Iab = xa ?b ? xb ?a , (21)
a, b = 1, n.

Repeated indices are to be summed over 1, 2, . . . , n.
Let us give some exact solutions of equation (19) obtained by means of opera-
tors (20):
?2 x 2
?1 ?2 x0 + 1
2n
?1 u + ? 2 = (?1 = 0)
1 + ?3 exp(?x0 )
is solution of equation
1 1
u0 + ?u = (?1 u + ?2 )
u u
and
?2
x2 x2
x0
?
u = ln
?2
2?3 4
is solution of equation under n = 2.

?2 u0 + ?u = ?3 exp u
under n = 2.

1. Кочина П. Я., Гидродинамика и теория фильтрации. Избр. тр., М., Наука, 1991, 209 с.
2. Овсянников Л.В., Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности, Докл. АН СС-
СР, 1959, 125, № 3, 492–495.
3. Дородницын В.А., Князева Н.В., Свирщевский С.Р., Групповые свойства уравнения теплопро-
водности с источником в двумерном и трехмерном случаях, Дифференц. ypавнения, 1983, 19,
№ 17, 1215–1224.
4. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
5. Фущич В.И., Серов Н.И., Амеров Т.К., Условная инвариантность нелинейного уравнения тте-
плопроводности, Докл. АН УССР, Сер. А, 1990, № 11, 15–18.
6. Серов Н.И., Условная инвариантность и точные решения нелинейного уравнения теплопрово-
дности, Укр. мат. журн., 1990, 42, № 10, 1370–1376.
7. Фущич В.И., Условная симметрия уравнений нелинейной математической физики, Укр. мат.
журн., 1991, 43, № 11, 1456–1471.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 470–478.

Про редукцiю рiвнянь Нав’є–Стокса
до лiнiйних рiвнянь теплопровiдностi
В.I. ФУЩИЧ, В.М. ШТЕЛЕНЬ, Р.О. ПОПОВИЧ

Вiдомо [1–4], що рiвняння Нав’є–Стокса (НС)
?u
+ (u?)u ? ?u + ?p = 0, div u = 0, (1)
?t
? ?
iнваpiaнтнi вiдносно алгебри AG(1, 3) розширенної групи Галiлея G(1, 3) з бази-
сними елементами
Ga = ?(t?a + ?ua ),
?t = ?/?t, ?a = ?/?xa ,
(2)
Jab = xa ?b ? xb ?a + ua ?ub ? ub ?ua , D = 2t?t + xa ?a ? ua ?ua ? 2p?p .
B (1) u = u(x) = {u1 , u2 , u3 } — поле швидкостей рiдини, p = p(x) — тиск,
x = {t, x} ? R(4), ? = {?/?xa }, a = 1, 2, 3, ? — лапласiан. Kpiм того, рiвняння
(1) iнварiантнi вiдносно нескiнченновимiрної алгебри A? з базисними елементами
[3, 4]
Q = f a ?a + f?a ?ua ? xa f a ?p ,
? (3)
R = g?p ,
де f a = f a (t), g = g(t) — довiльнi диференцiйовнi функцiї змiнної t, точка означає
диференцiювання по t. В [5] здiйснена редукцiя рiвнянь НС (1) до звичайних
диференцiйних рiвнянь (ЗДР).
Нижче наводяться результати дослiджень з редукцiї рiвнянь НС до двовимiр-
них ДРЧП. Для побудови анзацiв i нових змiнних використанi тi алгебри з повного
?
набору нееквiвалентних двовимiрних пiдалгебр алгебри AG(1, 3), якi мiстяться в
лiнiйнiй оболонцi onepaтopiв ?a i Ga . Результати зведенi до таблицi, яка дає повну
iнформацiю про анзаци i змiннi ?1 i ?2 . Саме цi анзаци дозволяють редукувати
рiвняння НС до систем з двох незачеплених лiнiйних рiвнянь теплопровiдностi.
В таблицi v 1 , v 2 , v 3 , q є диференцiйовними функцiями iнварiантних змiнних
?1 i ?2 . Пiдставивши анзаци з таблицi в рiвняння НС, одержимо такi двовимiрнi
системи ДРЧП вiд змiнних ?1 та ?2 :
1? . v1 + v 3 v2 ? v22 = 0, v1 + v 3 v2 ? v22 = 0,
1 1 1 2 2 2

v1 + v 3 v2 ? v22 + q2 = 0, v2 = 0.
3 3 3 3

v1
?
2 . v1 + v v2 ? v22 = ? , v1 + v 3 v2 ? v22 = 0,
1 31 1 2 2 2
?1
1
v1 + v 3 v2 ? v22 + q2 = 0, v2 = ? .
3 3 3 3
?1
1
v2
v
3? . v1 + v 3 v2 ? v22 = ? , v1 + v 3 v2 ? v22 = ? ,
1 1 1 2 2 2
?1 ?1
2
v1 + v 3 v2 ? v22 + q2 = 0, v2 = ? .
3 3 3 3
?1

Доповiдi АН України, 1992, № 2, С. 23–30.
?
G(1, 3)-нееквiвалентнi пiдалгебри i анзаци корозмiрностi 2,
що редукують рiвняння НС до рiвняння теплопровiдностi
№ Алгебра Iнварiантнi змiннi Анзац
= t,
1 = v 1 , u2 = v 2 , u3 = v 3 , p = q
?1 , ?2 ?1 ?2 = x3 u1
= t,
2 G1 , ?2 ?1 ?2 = x3 u1 = v 1 + x1 /t, u2 = v 2 , u3 = v 3 , p = q
u1
= t,
3 G1 , G2 ?1 ?2 = x3 = v 1 + x1 /t, u2 = v 2 + x2 /t, u3 = v 3 , p = q
 << Предыдущая стр. 110(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>