<< Предыдущая

стр. 112
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

v1 + f v2 + g?2 v2 ? K(?1 )v22 + (1 + ?1 (?1 ? ?))q2 = 0, f2 + g = 0,
3 3 3 3

f = (?(?1 ? ?) + µ)v 1 + (µ?1 ? ?)v 2 + (1 + ?1 (?1 ? ?))v 3 ,
K(?1 ) = (?(?1 ? ?) + µ)2 + (µ?1 ? ?)2 + (1 + ?1 (?1 ? ?))2 ,
2?1 ? ?
g= .
1 + ?1 (?1 ? ?)
474 В.I. Фущич, В.М. Штелень, Р.О. Попович

Нумерацiя рiвнянь 1? –18? вiдповiдає нумерацiї анзацiв у таблицi. Нижнi iнде-
кси 1 i 2 означають диференцiювання за iнварiантними змiнними ?1 i ?2 вiдповiд-
но.
Heлiнiйнi редукованi системи 1? –18? можна звести до лiнiйних рiвнянь те-
плопровiдностi. Покажемо, як це можна зробити на прикладi найбiльш простої
системи 1? , з якої випливає
?
v 3 = h(?1 ), q = g(?1 )?2 ? h(?1 )?2 , v1 + h(?1 )v2 ? v22 = 0,
1 1 1
(4)
v1 + h(?1 )v2 ? v22 = 0,
2 2 2


де h, g — довiльнi диференцiйовнi функцiї вiд ?1 = t, точка означає диференцю-
вання по t = ?1 . Пiсля замiни змiнних
?
H = ?h (5)
? = ?1 , z = ?2 + H(?1 ),
з рiвнянь (4) одержимо два незачеплених рiвняння теплопровiдностi
v? ? vzz = 0, v? ? vzz = 0.
1 1 2 2
(6)
Таким чином, за розв’язками лiнiйних рiвнянь (6) будуються розв’язки нелi-
нiйного рiвняння НС (1)
? ?
u3 = ?H(t),
u1 = v 1 (t, z), u2 = v 2 (t, z), (7)
p = H(t)x3 + g(t),
де z = x3 + H(t). Використовуючи перетворення, породженi операторами з нескiн-
ченновимiрної алгебри iнварiантностi рiвнянь НС (1), розв’язок (7) можна звести
до простiшого вигляду, зручного для розмноження. Дiйсно, зробимо замiну змiн-
них
?
t = t, x1 = x1 , x2 = x2 , x3 = x3 + H(t), u1 = u1 , u2 = u2 ,
? ? ? ? ?
(8)
? ?
u3 = u3 + H(t), p = p ? H(t)x3 ? g(t).
? ?
Це перетворення належить групi симетрiї рiвнянь НС i зводить розв’язок (7) до
вигляду
u1 = v 1 (t, z), u2 = v 2 (t, z), u3 = 0, (9)
? ? ? p = 0,
? z = x3 .
?
Зробивши аналогiчнi викладки для рiвнянь 2? –13? , одержимо розв’язки рiвнянь
НС
x2
1 x1 x3
?
u =? , p=? 2,
3
u = ?1 (?, z) + ,
1 2 2 3
2. u = ? (?, z),
t t t t
де ? = 1 t3 , z = tx3 .
3
Тут i надалi ?1 , ?2 — диференцiйовнi функцiї змiнних ? i z, що задовольняють
лiнiйне piвняння теплопровiдностi
?1 ? ?1 = 0, ?2 ? ?2 = 0.
? zz ? zz

11 x1 1 x2 x3
3? . u1 = ? (?, z) + , u2 = ?2 (?, z) + , u3 = ?2 ,
t t t t t
2
x3 1
p = ?2 2 , ? = t5 , z = x3 t2 .
t 5
?
4 . u = ? (?, z) + t?2 (?, z), u2 = ?2 (?, z), u3 = 0,
1 1

p = 0, ? = t, z = x3 .
Про редукцiю рiвнянь Нав’є–Стокса до лiнiйних рiвнянь теплопровiдностi 475

11 1 1 1 x3
5? . u1 = x1 ?
? (?, z) + ?2 (?, z) + ?2 (?, z) + ,
?t ? ? t ?
x2 t3
x3
u2 = ?2 (?, z), u3 = ? , p = ? 2 , ? = , z = tx3 .
3
t t 3
11 x1 12 11 x2 x1
6? . u1 = ? (?, z) + , u2 = ? (?, z) + 2 ? (?, z) + + 2,
t t t t t t
x2 t5
x3
u3 = ?2 , p = ?3 2 , ? = , z = t2 x3 .
3
t t 5
1
7? . u1 = (?1 (?, z) + t?2 (?, z) + tx1 ? x2 ),
2
1+t
1 2t
(?t?1 (?, z) + ?2 (?, z) + x1 + tx2 ), u3 = ?
u2 = x3 ,
1 + t2 1 + t2
1 ? 3t2 2 t5 2t3
+ t, z = (1 + t2 )x3 .
p= x, ?= +
2 )2 3
(1 + t 5 3
1
8? . ? = 2 : u1 = 2 ((t ? 1)?1 (?, z) ? t?2 (?, z) + (t ? 1)x1 ? x2 ),
t
11
u2 = 2 (? (?, z) + t?2 (?, z) + x1 + (t ? 1)x2 ),
t
x2 t5
x3
u = ?2 , p = ?3 , ? = , z = t2 x3 ;
3
3
t t 5
? ?
0 < ? < 2 : ? = 1 ? (?/2)2 , u1 = t? ?1 (?, z) +
?+
2? 2

+ (t ? ?)?2 (?, z) + (t ? ?)x1 ? x2 /(t2 ? ?t + 1),

1 ?
? t? ?1 (?, z) + ?2 (?, z) + x1 + tx2 /(t2 ? ?t + 1),
u2 =
? 2
u3 = ?(2t ? ?)x3 /(t2 ? ?t + 1),
p = (1 ? t2 ? (t ? ?)2 ? t(t ? ?))x2 /(t2 ? ?t + 1)2 ,
3
5
t ? 1
? t4 + (2 + ?2 )t3 ? ?t2 + t, z = (t2 ? ?t + 1)x3 ;
?=
5 2 3
?2 ?2
? ?
? 1, ?2 = ?
? > 2 : ?1 = + + 1,
2 2 2 2
??2 ?1 (?, z) (t ? ?)x1 ? x2
?1 ?2 (?, z)
1
u= + +2 ,
(?1 ? ?2 )(t ? ?1 ) (?1 ? ?2 )(t ? ?2 ) t ? ?t + 1
?1 (?, z) ?2 (?, z) x1 + tx2
?
2
u= +2 ,
(?1 ? ?2 )(t ? ?1 ) (?1 ? ?2 )(t ? ?2 ) t ? ?t + 1
u3 = ?(2t ? ?)x3 /(t2 ? ?t + 1),
p = (1 ? t2 ? (t ? ?)2 ? (t ? ?)t)x2 /(t2 ? ?t + 1)2 ,
3
5
t ? 1
? t4 + (2 + ?2 )t3 ? ?t2 + t, z = (t2 ? ?t + 1)x3 .
?=
5 2 3
t 1
9? . u1 = ? ?2 (?, z) ? x2 , u2 = ?2 (?, z), u3 = ?1 (?, z),
2z 2z
1+t 1+t
2 1
?2 (?, z), ? = t3 + t, z = x1 + tx2 .
p= 2 )2
(1 + t 3
476 В.I. Фущич, В.М. Штелень, Р.О. Попович

11 1 t 1 t
10? . ? (?, z) + ? 2 2 ?2 (?, z) ? x2 ,
u1 = + 2 2 arctg z
2
? ? t +? ?? ?
?2 (?, z) 1 t 1 t
z
2
, u3 = ?2 (?, z),
u=2 + arctg z
2 2 2 + ?2
t +? ?? t ? ?
2 1 1 1
?2 (?, z), ? = 1 + 2 , ? = t3 + 1 + 2 t,
p=
(t2 + ? 2 )2 ? 3 ?
x3
z = x1 + tx2 ? .
?
1 x1
11? . u1 = ? (?2 (?, z) + 2tx1 ? 2x2 ) ? ,
z
1 + t2 t
1 1 x3
(?2 (?, z) ? 2x1 ? 2tx2 ), u3 = ?1 (?, z) + ,
u2 =
1 + t2 z t t
2 5
t3
2 1 + 3t t
? (?, z) ? 2
2 2
p= (x1 + tx2 ) , ? = +,
t(1 + t2 )2 t (1 + t2 )2 5 3
z = t(x1 + tx2 ).
t?? ? x1
12? . u1 = ? ? 2 (x1 + (t ? ?)x2 ) ?
?2 (?, z) + +
1 + (t ? ?)2 z
t t
?
? 2 x2 ,
+
t
1 ?
? 2 (x1 + (t ? ?)x2 ) ,
u2 = ?2 (?, z) +
1 + (t ? ?)2 z
t
x3
11
3
u = ? (?, z) + ,
t t
t ?2
?
(x1 + (t ? ?)x2 )2
2
2? (?, z) 1
?2 ,
p= +
t(1 + (t ? ?)2 )2 1 + (t ? ?)2 1 + (t ? ?)2 t
5 3
t ? t
? t4 + (1 + ? 2 ) , z = t(x1 + (t ? ?)x2 ).
?=
5 2 3
1
13? . (?1 (?, z) + ?(arctg t)?2 (?, z) + x1 ? ?x3 ) + ?(x2 + tx3 ) ?
u1 =
t?? z

2 ? 1 1
?? ln |t ? ?| + ln |1 + t2 | +
+
2 t??
2 )2 2 )2
(1 + ? 1+? (1 + ?
?3 + 3?
+ arctg t ,
(1 + ?2 )2
t 1
u2 = ? ((2t ? ?)x3 + (t2 ? ?t ? 1)x2 ),
?2 (?, z) + 2 )(t ? ?)
2z
1+t (1 + t
2t ? ?
1

<< Предыдущая

стр. 112
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>