<< Предыдущая

стр. 113
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?2 (?, z) ?
u3 = (x2 + tx3 ) ,
t??
z
2
1+t
(x2 + tx3 )2
2
?2 (?, z) ? ((2t ? ?)(t ? ?) + 1),
p=
(t ? ?)(1 + t2 ) (t ? ?)2 (1 + t2 )
t5 t4 1
? ? + (1 + ?2 )t3 ? ?t2 + ?2 t, z = (t ? ?)(x2 + tx3 ).
?=
5 2 3
? ?
Для систем 14 –18 знайти явний вигляд замiни змiнних, яка зводить до пар
рiвнянь теплопровiдностi, не вдалось, бо їх пошук пов’язаний з розв’язанням до-
статньо складних систем ЗДР. Наприклад, у найпростiшому з останнiх випадку
Про редукцiю рiвнянь Нав’є–Стокса до лiнiйних рiвнянь теплопровiдностi 477

16? одержимо
Y i (t) tZ i (t) x3
? ?z (?, z) ? ,
1 i
u= 2
t + 1 t2 + 1 + ? 2 ?
tY i (t) Z i (t) tx3
u2 = ?i (?, z) + x1 +
+2 ,
z
t2 + 1 t + 1 + ?2 ?
Z i (t)
3
?i (?, z),
u =? 2 2z
t +1+?
2?2 ?i (?, z) Y i (t) tZ i (t)
p=? 2 + ,
(t + 1)(t2 + 1 + ?2 ) t2 + 1 t2 + 1 + ?2
де
t2 + 1 t5 t3
1
z = ?tx1 + x2 ? + (2 + ?2 ) + (1 + ?2 )t ,
x3 , ?=
?2
? 5 5
а Y i (t)), Z i (t)), i = 1, 2 — фундаментальна система розв’язкiв рiвнянь
? ?
Y (t) = 2Z/(t2 + 1 + ?2 ), Z(t) = ?2Y /(t2 + 1). (10)
Для систем 14? –18? також можна виписати вирази типу (10), але через гро-
мiздкiсть ми їх не наводимо.
Зауваження 1. Можна говорити, що для деяких множин розв’язкiв нелiнiйного
рiвняння НС (1) виконується деякий принцип суперпозицiї, оскiльки розв’язок
нелiнiйних рiвнянь НС (1) одержуємо з розв’язкiв лiнiйних рiвнянь теплопровiд-
ностi.
Зауваження 2. Алгебрами 1? –18? не вичерпуються вci можливi нееквiвален-
?
тнi пiдалгебри алгебри AG(1, 3), для яких “лiнеаризуються” редукованi рiвняння,
одержанi за їx допомогою.
Зауваження 3. Одержанi результати легко узагальнюються на деякi двовимiрнi
пiдалгебри з A? . Наприклад, розглянемо пiдалгебру з базисними елементами
? ? ? ?
Q1 = E(t)?1 + E(t)?u ? E(t)x1 ?p , Q2 = F (t)?2 + F (t)?u ? F (t)x2 ?p , (11)
1 2

де E(t), F (t) — деякi гладкi ненульовi функцiї змiнної t. Вiдповiдний їй анзац має
вигляд
? ?
u1 = v 1 (?1 , ?2 ) + Ex1 /E, u2 = v 2 (?1 , ?2 ) + F x2 /F, u3 = v 3 (?1 , ?2 ),
(12)
1? 1?
p = q(?1 , ?2 ) ? Ex2 /E ? F x2 /F,
1 2
2 2
де iнвapiaнтнi змiннi ?1 = t i ?2 = x3 . Пiдставимо анзац (12) у рiвняння (1)
i проробимо з одержаною системою обчислення, аналогiчнi наведеним вище для
системи 1? . Тут ми випишемо лише кiнцевий вираз для розв’язку рiвнянь НС (1),
одержаний за допомогою анзацу (12)
? ?
u1 = (?1 (?, z) + E(t)x1 )/E(t), u2 = (?2 (?, z) + F (t)x2 )/F (t),
1? 1?
? ?
u3 = ?(E(t)/E(t) + F (t)/F (t))x3 , p = E(t)x2 /E(t) ? F (t)x2 /F (t) +
1 2
2 2
x2 ? ? ? ?
+ 3 ((E(t) ? 2E(t))/E 2 (t) + (F (t) ? 2F 2 (t))/F 2 (t)),
2
де ? = E 2 (t)F 2 (t)dt, z = E(t)F (t)x3 .
478 В.I. Фущич, В.М. Штелень, Р.О. Попович

1. Биркгоф Г., Гидродинамика, М., Изд-во иностр. лит-ры, 1963, 244 с.
2. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математиче-
ской физики, в сб. Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики, 1983, 4–23.
3. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 c.
4. Lloyd S.Р., The infinitesimal group of the Navier–Stokes equations, Acta Mechanica, 1981, 38,
85–98.
5. Fushchych W.I., Shtelen W.М., Slavutsky S.L., Reduction and exact solutions of the Navier–Stokes
equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1991, 24, № 4, 971–986.
6. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и
редукция нелинейных уравнений, Киев, Наук. думка, 1991, 304 c.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 479–485.

Q-conditional symmetry
of the linear heat equation
W.I. FUSHCHYCH, W.M. SHTELEN, M.I. SEROV, R.O. POPOVYCH
Исследована Q-условная симметрия одномерного линейного уравнения теплопро-
водности. Получены определяющие уравнения для коэффициентов оператора Q-
условной симметрии, изучена их лиевская симметрия, получены некоторые их то-
чные решения. Найдены нелокальные замены, сводящие определяющие уравнения к
исходному уравнению теплопроводности. Показано, как можно использовать опера-
торы Q-условной симметрии для линеаризации нелинейных ДУЧП и размножения
решений уравнения теплопроводности.

In this article we consider in full detail, as a simple but non-trivial example, how
to find and use Q-conditional symmetry of the one-dimensional linear heat equation
(1)
u0 = u11
(u = u(x0 , x1 ), u0 = ?u/?x0 , u1 = ?u/?x1 and so on.
It is known [1] that the maximal in Lie sense invariance algebra of equation (1) is
an algebra with the basis elements
? ? 1
G = x0 ?1 ? x1 u?u , I = u?u ,
?0 = , ?1 = ,
?x0 ?x1 2
(2)
x2
1
? = x0 x0 ?0 + x1 ?1 ? u?u ? 1 u?u .
D = 2x0 ?0 + x1 ?1 ,
2 4
The problem of finding non-classical symmetry (in our terminology Q-conditional
symmetry) was firstly put forward by Bluman and Cole [5]. However, in this impor-
tant paper the authors did not give explicitly none of operators which would different
from those of (2). Below we will present quite complete investigation of this problem.
All notions used without explanations are defined in [1–4].
Definition 1 [2, 4]. A differential equation of order m
S1 (x, u, u, u, . . . , u ) = 0 (3)
m
12

for a function u = u(x) where u denotes all partial derivatives of order k is called
k
conditionally invariant under an operator Q if there is an additional condition of
the form
S2 (x, u, u, u, . . . , u ) = 0 (4)
m
12

compatible with (3), that
? (5)
QS? = 0, ? = 1, 2,
S1 = 0
S2 = 0

?
In the formula (5) Q is the standard prolongation of Q.
Доклады АН Украины, 1992, № 12, С. 28–33.
480 W.I. Fushchych, W.M. Shtelen, M.I. Serov, R.O. Popovych

In that particular case when equation (4) has the form
(6)
Qu = 0
equation (3) is called Q-conditionally invariant under the operator Q. The notion
of Q-conditional invariance coincides with the notion of “non-classical” invariance
introduced by Bluman and Cole in the work [5].
The general form of a first-order operator is
(7)
Q = A(x0 , x1 , u)?0 + B(x0 , x1 , u)?1 + C(x0 , x1 , u)?u ,
where A, B, C are some differentiable functions of x0 , x1 , u to be determined from
the invariance condition (5). It will be noted that because of the imposed condition (6)
Qu = 0 ? Au0 + Bu1 = C (8)
there are really only two independent cases of operator (7).
Theorem 1. The heat equation (1) is Q-conditionally invariant under operator (7) if
and only if its coordinates are as follows:
Case 1.
B = W 1 (x0 , x1 ), C = W 2 (x0 , x1 )u + W 3 (x0 , x1 ) (9)
A = 1,
and functions W = W (x0 , x1 ) = {W 1 , W 2 , W 3 } satisfy equations
(?0 + 2W1 ? ?11 )W = F , F = {?2W1 , 0, 0}.
1 2
(10)
Case 2.
(11)
A = 0, B = 1, C = v(x0 , x1 , u)
and function v = v(x0 , x1 , u) satisfies the PDE
v0 = v11 + 2vv1u + v 2 vuu . (12)
Proof. From the criterion of invariance
Q(u0 ? u11 ) (13)
= 0,
u0 = u11 ,
2 Qu = 0

absolutely analogously to the standard Lie’s algorithm one finds the defining equations
for the coordinates of operator (7) which can be reduced to (9)–(12). It is to be pointed
out that unlike Lie’s algorithm, in the cases considered above the defining equations
(10), (12) are nonlinear ones and it is a typical feature of Q-conditional invariance.
It goes without saying that Q-conditional invariance includes Lie’s invariance in
particular. So, in our case of the heat equation, we obtain infinitesimals (2) as simplest
solutions of (10), (12):
A = 1, W = 0 ? Q = ?0 ,
A = v = 0, B = 1 ? Q = ?1 ,
x1 u
A = 0, B = 1, v = ? ? Q = G,
2x0 (14)
x1
, W 2 = W 3 = 0 ? Q = D,
A = 1, W 1 =
2x0
x1
, W 2 = ?(2x0 + x2 )/4x2 , W 3 = 0 ?
A = 1, W 1 = Q = ?.
1 0
x0
Q-conditional symmetry of the linear heat equation 481

Remark 1. System of defining equations (10) was firstly obtained by Bluman and Cole
[5]. Further investigation of system (10) was continued in [6], where the question of
linearization of the first two equations of (10) had been studied. The general solution
of the problem of linearization of equations (10), (12) will be given after a while.
Now let us list some concrete operators (7) of Q-conditional invariance of equa-
tion (1) obtained as partial solutions of the defining equations (10), (12). In the
following Table we also give corresponding invariant ans?tze and the reduced equa-
a
tions.
Of course, operators 1–10 from Table do not exhaust the all possible operators of
Q-conditional invariance.
N Operator Q Ansatz Reduced equation
x2
?x1 ?0 + ?1 1
1 u = ? x0 + ? =0
2
x2 x4
?x1 ?0 + ?1 + x3 ?u ? = ?3
1 1
2 u = ? x0 + +
1 2 4
x2
x2 ?0 ? 3x1 ?1 ? 3u?u 1
3 u = x1 ? x0 + ? =0
1 6
x2 x5
x2 ?0 ? 3x1 ?1 ? (3u + x5 )?u ? = ?15
1 1
4 u = x1 ? x0 + +
1 1 6 12
5 x1 ?1 + u?u u = x1 ?(x0 ) ? =0
? ??=0
6 cth x1 ?1 + u?u u = ?(x0 ) ch x1
? ctg x1 ?1 + u?u
7 u = ?(x0 ) cos x1 ? +?=0
?x1
?1 ? u?u ? u = (2x0 ? x1 )e ? ??=0
u
8 ? ?(x0 )
2x0 ?x1 u
u = ?x0 ? 1 [x1 + ?(x0 )]2
?1 ? ?2(x0 + u)?u
9 ? =0
2
x2 x2
?0 ? x1 ?1
1 1
10 x0 + u = ? x0 x1 + ? =0
2 3!

Next we study Lie symmetry of the defining equations (10), (12).
Theorem 2. The Lie maximal invariance algebra of system (10) is given by the

<< Предыдущая

стр. 113
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>