<< Предыдущая

стр. 118
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


?8 x1
?(?) (1?x2 )2 dx1 dx1 +
1

+?1 (x0 )x1 + ?2 (x0 ),
1?x2
x0 ? arctg x1 ?2x1 ?2 ?(?)dx1 ? 2 1
7 1 ?(?) 1+x2 dx1 +
1
x1
+8 ?(?) (1+x2 )2 dx1 dx1 +
1

+?1 (x0 )x1 + ?2 (x0 ),

The ans?tze 1–3 reduce the PDE (20c) to such ODEs:
a
? ?
?1 = ?4?,
1. ? = 0,
? ?2 = 0,
... 1
[2x1 ?? ? 1] 2(? )? 2 ? ? = 0, ? ?
2. ? ?1 = 0, ?2 = 0,
... 1
+ ? ? 2(?)? 2 = 0, ? ?
[?w ? 2x1 ] 2
3. 3? ? ?1 = 0, ?2 = 0,

Before to reduce the Eq. (20c) using ans?tze 4–7, let us make substitution putting
a
... 1
(? (?))? 2 = ?(?).
As a result we get other reduced ODEs:
...
1 ? ?
? ? ? + ? 3 (4? ? ?) = 0,
4.
3
...
1 ? ?
? ? ? + ? 3 (4? + ?) = 0,
5.
3 ...
? ?
? ? ? 3 (4? ? ?) = 0,
6.
...
? ?
? + ? 3 (4? + ?) = 0,
7.
It is known [1], that infinitesimal operator
X = ? i (x, w)?i + ?(x, w)?w (i = 1, n),
Nonlocal symmetry and generating solutions for Harry–Dym type equations 499

which generates a Lie ansatz, corresponds to the equation

Q[w] = ? i (x, w)wi ? ?(x, w) = 0. (40)

Equations of the form (40) correspond to non-Lie ans?tze 1–7:
a
1. x1 w111 + 4w11 = 0,
w110 + x2 w111 + 4x1 w11 = 0,
2. 1
1
x0 w110 + x2 w111 + 4 x1 ?
3. w11 = 0,
1
6
1
x0 w110 + (x2 ? 1)w111 + 4 x1 ?
4. w11 = 0,
1
6
1
x0 w110 + (x2 + 1)w111 + 4 x1 ?
5. w11 = 0,
1
6
w110 + (x1 ? 1)w111 + 4x1 w11 = 0,
2
6.
w110 + (x2 + 1)w111 ? 4x1 w11 = 0.
7. 1



1. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в сб. Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики, 1981, 6–27.
2. Magri F., A simple model of the integrable Hamiltonian equation, J. Math. Phys., 1978, 19, № 5,
1156–1162.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 500–503.

Формула размножения решений уравнений
Кортевега-де Фриза
В.И. ФУЩИЧ, В.А. ТЫЧИНИН, Н.И. СЕРОВ


Предложена формула размножения решений уравнения Кортевега-де Фриза. С помо-
щью указанной формулы построены множества решений данного уравнения. Решены
уравнения Риккати, которые появляются в процессе размножения.

В настоящей работе предложена конструктивная и простая формула размноже-
ния решений уравнения Кортевега-де Фриза (KdV)
(1)
L1 (u) = u0 + 6uu1 + u111 = 0.
(1)
Теорема. Если u — решение KdV, то
(2) (1)
u = u ?2z1 , (2)
z1 = ?z/?x1 ,
есть решение уравнения KdV, функция z является решением уравнения Рикка-
ти
(1)
L2 (z) = z1 ? z 2 ? u (3)
и удовлетворяет дополнительному условию
L3 (z) = z0 ? 6z 2 z1 + z111 = 0. (4)
(1)
Уравнения (3), (4) совместны тогда и только тогда, когда u — решение урав-
нения KdV.
Доказательство теоремы сводится к подстановке (2) в (1), после чего получаем
(2) (1) (1) (1) (1)
L1 ( u ) = ?1 L1 ( u ) + ?2 L2 ( z , u ) + ?3 L3 ( z ), (5)
(1) (1)
?3 = ?2?1 .
?2 = 12( z 11 + z 1 ?1 ),
?1 = 1,

Условие совместности уравнений (3) и (4) имеет вид
(1) (1) (1) (1)
z10 ? z01 = k1 L1 ( u ) + k2 L2 ( z , u ) + k3 L3 ( z ), (6)
где
(1) (1) (1) (1) (1)
k2 = ?111 + 6 u ?1 + 6 z 11 ? 12 z z 1 , k3 = 2 z .
k1 = 1,
Из формул (5), (6) следует утверждение теоремы.
Укр. мат. журн., 1992, 44, № 5, С. 716–719.
Формула размножения решений уравнений Кортевега-де Фриза 501

Проиллюстрируем эффективность формулы (2) на простейших примерах.
(1)
Очевидно, что константа u = ?, ? = const, является решением уравнения (1).
(2) (1) (2)
Тогда по формуле (2) находим u = ? ? 2 z 1 . Чтобы в явном виде найти u необ-
ходимо решить уравнение Риккати
(1) (1)
z = z 2 + ?. (7)

Возможны три случая: ? = 0, ? = ?1, ? = 1. Рассмотрим подробно первый случай.
Общее решение уравнения (7) имеет вид
?1
(1)
z= (8)
,
x1 + c(x0 )
где C(x0 ) — постоянная интегрирования по x1 , которую необходимо определить
из условия (4). Подставляя (8) в (4), находим c = 0. Так как уравнение (4) инва-
?
риантно относительно трансляций по x1 , то не умаляя общности можно положить
(1)
c = 0. Таким образом, из очевидного тривиального решения u = 0 по формуле (2)
(2)
находим стационарное решение u = 2x1 уравнения KdV.
Повторим эту процедуру еще раз:
(3) (2)
u = u ?2z1 , (9)

где
(2)
z1 = z 2 + u , (10)

z0 ? 6z 2 z1 + z111 = 0. (11)

Решением уравнения Риккати (10) является функция
c(x0 ) ? 2x3 1
(12)
z= .
x1 (c(x0 ) + x3 )
1

Подставляя (12) в (11), находим c = 12. Тогда
?
6(24x0 x1 ? x4 )
(3) 1
u= (13)
3 )2 .
(12x0 + x1
Если продолжать этот процесс, то на n-м шаге получим формулу
(n+1) (n) (1)
= u ?2 z 1 ,
u (14)
(1) (1) (n)
= z2+ u,
z1 (15)
(1) (n)2 (n) (n)
?6 z
z0 z1 + z111 = 0. (16)

Основная трудность применения формул (14)–(16) для конкретного размножения
решений уравнения (1) заключается в решении уравнения Риккати (15). Однако,
502 В.И. Фущич, В.А. Тычинин, Н.И. Серов

(1)
если u = ? = const, то удается построить общее решение уравнения (15) для
(n)
произвольного u , найденного по формуле (14):
(n) (n?1) (n?1)
z =? z ?v, (17)

где
n
(n+1) (m)
(?1)n?m
v v dx1 (18)
= ln exp 2 dx1 ,
m=0 1

(0)
v = 0.
n = 0, 1, 2, . . . ,

(n)
Если доопределить функции z относительно переменной x0 с помощью усло-
вия (16), то из (14) получим
(1) (2)
? > ? + 2(ln w )11 > ? + 2(ln w )11 > · · · ,

где (ln w)1 = v, или
n n
(2n) (2m) (2n+1) (2m+1)
u =?+2 v 1, u v1 , (19)
=?+2
m=0 m=0

где v1 = ?v/?x1 .
Таким образом, используя формулы (18), (19), имеем цепочку решений

?2 6(24x0 x1 ? x4 )
0> 2 > 3 )2 > · · · .
1
x1 (12x0 + x1
Аналогично получим следующие две цепочки решений:
2
1>1? >
cos2 (x1 ? 2x0 )
16[(x1 + 6x0 ) sin 2(x1 ? 2x0 ) + cos 2(x1 ? 2x0 ) + 1]
>1? > ···,
[2(x1 + 6x0 ) + sin 2(x1 ? 2x0 )]2
2
?1 > ?1 + 2 >
ch (x1 + 2x0 )
16[(x1 ? 6x0 ) sh 2(x1 + 2x0 ) ? ch 2(x1 + 2x0 ) ? 1]
> ?1 + > ···.
[2(x1 ? 6x0 ) + sh 2(x1 + 2x0 )]2
Итак, зная решения уравнения Риккати, по формуле (2) строим решения KdV.
Следует отметить, что предложенная формула размножения решений является
следствием нелокальной симметрии уравнения (1). Лиевская симметрия уравне-
ния (1) дает такие формулы размножения:
трансляции —
(2) (1)
u = u (x0 + ?0 ; x1 + ?1 ), (20)
Формула размножения решений уравнений Кортевега-де Фриза 503

галилеевские преобразования —
1
(2) (1)
u = u (x0 ; x1 + ?x0 ) ? ?, (21)
6
масштабные-преобразования —

<< Предыдущая

стр. 118
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>