<< Предыдущая

стр. 12
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

L5 : 4? ? + 6? ? ? exp ? = 0; L6 : 4? ? + 4? ? ? exp ? = 0.
? ? ? ?

Каждому решению редуцированного уравнения соответствует решение уравне-
ния (7), а значит, и уравнения (1). Рассмотрим, например, уравнение ???1 exp ? =
?
2
0, ?1 = ?/(4 + c ). Оно имеет следующие решения [2]:
v
C1 C1
C1 > 0, ?1 > 0, C2 ? R,
2
? = ln sec (? + C2 ) ,
2?1 2
v
2C1 C2 exp( C1 ?)
v
? = ln , C1 > 0, ?1 C2 > 0,
?1 [1 ? C2 exp( C1 ?)]2
44 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник

2
?1
? = ? ln ?+C .
2

Следовательно, получаем такие решения уравнения (1):
v
?1 ?1
sec2
u = ln (? + ?2 ) ,
2?1 ?1 2
v
2?1 ?3 exp ?1 ?
v
u = ln ,
?1 ?1 [1 ? ?3 exp ?1 ?]2
2
?1
u = ? ln ?1 ? + ?2 ,
2

где ?1 = x2 + x2 , ?1 = ?1 (x0 ? x4 ) и ?1 ?3 = ?1 ?3 (x0 ? x4 ) — положительно
1 2
определенные дифференцируемые функции от переменной x0 ? x4 , ?2 = ?2 (x0 ?
x4 ) — произвольная дифференцируемая функция от переменной x0 ? x4 .
?
Пусть далее L — произвольная подалгебра алгебры AP (1, n) и подпространство
L ? V не вырождено. С учетом рассмотренного случая можно предполагать, что
L ? V = P0 или L ? V ? P1 , . . . , Pn . Если L ? V = P0 , то любое решение
u = u(x) уравнения (1), инвариантное относительно L, не зависит от x0 , и потому

u11 + · · · + unn ? ? exp u = 0. (8)

Максимальной алгеброй инвариантности уравнения (8) является расширенная ал-
? ?
гебра Евклида AE(n). Поэтому подалгебры L алгебры AE(n), удовлетворяющие
условию L ? P1 , . . . , Pn = 0, можно использовать для поиска решений уравнения
(8), а значит, и уравнения (1). Рассмотрим случай n = 4. Запишем полные системы
инвариантов подалгебр, представленных в предложении 6:

x2 + x2
?= 1 2
x2 x2
L1 : ? = u + ln + , 2 + x2 ,
1 2
x3 4
x2 + x2 + x2
1 2 3
L2 : ? = u + ln x2 + x2 + x2 , ?= ,
1 2 3
x2
4

? = x2 + x2 + x2 + x2 .
L3 : ? = u, 1 2 3 4

Применяя анзац ? = ?(?), редуцируем уравнение (8) к обыкновенному диффе-
ренциальному уравнению с неизвестной функцией ?(?):

L1 : 4? 2 (1 + ?)? + 4?(1 + ?)? ? ? exp ? = 0;
? ?
L2 : 4? 2 (1 + ?)? + 6?(1 + ?)? ? 2 ? ? exp ? = 0;
? ?
L3 : 4? ? + 8? ? ? exp ? = 0.
? ?

Каждому решению редуцированного уравнения соответствует решение уравнения
(8), а значит, и уравнения (1).
Рассмотрим случай, когда L ? V ? P1 , . . . , Pn . Будем предполагать, что L не
содержится в AP (1, n) и ее ранг равен n. Запишем полные системы инвариантов
Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) 45

подалгебр, представленных в теореме 4:
L1,1 : ? = u + 2 ln(x0 + xn ), ? = x0 /xn ,
2?
L1,2 : ? = u ? ln(x0 +xn ), ? = (1+?) ln(x0 +xn )+(1??) ln(x0 ?xn ),
1??
L1,3 : ? = u + ln(x0 ? xn ), ? = x0 + xn + ln(x0 ? xn ),
x2 + x2 + · · · + x2
1 2 l
L2,1 : ? = u + 2 ln x0 , ?= ,
2
x0
1/2
x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
n
?= 0 1
L3,1 : ? = u + 2 ln(x0 ? xn ), l
,
x0 ? xn
L3,2 : ? = u + ln x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 ,
n
0 1 l

? = ? ln x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 ? ln(x0 ? xn ),
n
0 1 l

x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
L3,3 : ? = u + ln(x0 ? xn ), + ln(x0 ? xn ),
n
0 1 l
?=
x0 ? xn
x2 + · · · + x2
L4,1 : ? = u + ln x2 + · · · + x2 , 1 l
?= ,
2 ? x2
1 l
x0 n

x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
n
w= 0 1 l
L5,1 : ? = u + 2 ln xl+1 , ,
2
xl+1
x21 +1 + · · · + x21 +l2
?= 2 l 2 l
+ ··· +
x21 +1 x21 +l2
L6,1 : ? = u + ln , 2 ? x2 ,
x0 ? x1 ? · · · ? xl1
l l
n

L7,1 : ? = u + 2 ln (x0 ? xn )2 ? 4x1 ,
3
(x0 ? xn )2 ? 4x1
?= 2,
[6(x0 + xn ) ? 6x3 (x0 ? xn ) + (x0 ? xn )3 ]
x0 ? xn
L8,1 : ? = u + ln ?x2 + x2 + · · · + x21 + · · ·
x0 ? xn + ?1 1
0 r

x0 ? xn
··· + x2 + · · · + x2 t + x2 , ? = x0 ? xn .
x0 ? xn + ?t ?+1 ?+r n


Анзац ? = ?(?) редуцирует уравнение Лиувилля к обыкновенному дифференци-
альному уравнению с неизвестной функцией ?(?):
(1 + ?)2 (1 ? ? 2 )? ? 2?(1 + ?)2 ? + ? exp ? = 0,
L1,1 : ? ?
4(1 ? ?2 ) exp(??)? + ? exp ? = 0,
L1,2 : ?
L1,3 : 4? + ? exp ? = 0,
?
4?(? ? 1)? + (6? ? 2l)? + 2 + ? exp ? = 0,
L2,1 : ? ?
4? 3 ? + 2? 2 (2 + l)? ? ? exp ? = 0,
L3,1 : ? ?
4?(? ? 1)? + 2?l? ? 2l + ? exp ? = 0,
L3,2 : ? ?
L3,3 : 4? + 2l? + ? exp ? = 0,
? ?
4? 2 (? ? 1)? + (4? 2 ? 2l?)? ? 2l ? 4 + ? exp ? = 0,
L4,1 : ? ?
4?(1 ? ?)? + (4 + 2l ? 6?)? ? 2 + ? exp ? = 0,
L5,1 : ? ?
46 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник

L6,1 : 4?(1 ? ?)? + (4 + 2l1 + 2l2 ? ? 8?)? + 2l2 ? 4 + ? exp ? = 0,
? ?
L7,1 : 144? 2 (? ? 1)? + 24?(9? ? 4)? ? 32 + ? exp ? = 0,
? ?
? ?
+ ··· + ? ? exp ? = 0.
L8,1 : 1+
? + ?1 ? + ?t
Используя редуцированные уравнения, соответствующие подалгебрам L4,1 и
L3,2 , получаем такие решения уравнения Лиувилля:
4 ? 2l
L4,1 : u = ln ,
+ · · · + x2 )
? (x2
1 l
2l
L3,2 (? = 0): u = ln ,
? ? · · · ? x2 ? x2 )
? (x2 x2 n
0 1 l
?
L3,2 (? = 1): u = ? ln ? x0 ? xn ? C x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 .
0 1 l n
2Cl
8. Редукция и точные решения уравнения Даламбера. В настоящем пункте
?
подалгебры алгебры AP (1, n) используются для поиска инвариантных решений не-
линейного уравнения (1) при F (u) = ?uk . Следуя п. 7, мы должны рассмотреть три
случая в зависимости от структуры пространства L ? V , где L — подалгебра ал-
?
гебры AP (1, n). Рассмотрим один из этих случаев, а именно: будем предполагать,
что L ? AP (1, n), L?V ? P1 , . . . , Pn и ранг L равен n. Запишем полные системы
инвариантов подалгебр, представленных в теореме 4, за исключением подалгебр
L1,i , i = 1, 2, 3; L7,1 и L8,1 :
x2 + x2 + · · · + x2
u 1 2 l
L2,1 : ? = , ?= ,
2
2/(1?k) x0
x0
1/2
x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
u n
, ?= 0 1 l
L3,1 : ? = ,
x0 ? xn
(x0 ? xn ) 2/(1?k)
u
L3,2 : ,
1/(1?k)
(x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 )
n
0 1 l
? = ? ln x0 ? x1 ? · · · ? x2 ? x2 ? ln(x0 ? xn ),
2 2
l n
x0 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
2
u
+ ln(x0 ? xn ),
n
1 l
L3,3 : ? = , ?=
x0 ? xn
(x0 ? xn ) 1/(1?k)

x2 + · · · + x2
u
, ?= 1 2 l
L4,1 : ? = ,
x0 ? x2
2 + · · · + x2 )1/(1?k)
(x n
1 l
x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
u n
?= 0 1 l
L5,1 : ? = , ,
2
2/(1?k) xl+1
xl+1
x21 +1 + · · · + x21 +l2
u
?= 2 l 2 l
L6,1 : ? = , 2 ? x2 .
x0 ? x1 ? · · · ? xl1

<< Предыдущая

стр. 12
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>