<< Предыдущая

стр. 13
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1/(1?k)
x21 +1 + · · · + x21 +l2 n
l l
Применяя анзац ? = ?(?), редуцируем уравнение Даламбера к обыкновенному
дифференциальному уравнению с неизвестной функцией ?(?):
8 2(1 + k)
L2,1 : 4(? 2 ? ?)? + ? + 6? ? 4l ? + ? + ??k = 0,
? ?
1?k (1 ? k)2

4 + l(1 ? k) 1
L3,1 : ?? + ? + ??k = 0,
? ?
1?k ?
Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) 47

8? ? 4 4k 2(l + 2)
L3,2 : 4?(? ? 1)? + ? + ??k = 0,
? + 2?l ? +
? +
1?k (1 ? k) 1?k
2

4 + 2l ? 2lk
? + ??k = 0,
L3,3 : 4? +
? ?
1?k
2l(l ? k) + 4k
8
4? 2 (1 ? ?)? + ? + 4? 2 ? 2?l ? ? ? + ??k = 0,
L4,1 : ? ?
1?k (1 ? k)2

8 2(1 + k)
4(? ? ? 2 )? + + 2l + 4 ? 6? ? ? ? + ??k = 0,
L5,1 : ? ?
1?k (1 ? k)2
8
4(? ? ? 2 )? + 2l1 + 4 ? 8? + 2?l2 ? ?
L6,1 : ? ?
1?k
2l2 (l ? k) + 4k
? ? + ??k = 0.
(1 ? k)2

Запишем некоторые точные решения уравнения Даламбера
2
1/2
L3,1 : u?4/l = ?(l) x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 + C(x0 ? xn ) ,
n
0 1 l
4? 4+l
, 1 ? l ? n ? 1,
?(l) = , k=
l(l ? 2) l
?(1?k)2 x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 1?C(x0 ?xn )?(k,l)/2
n
0 1 l
1?k
L3,2 (? = 0): u = ,
(x0 ? xn )?(k,l)/2
2C?(k, l)
?(k, l) = l + 2 ? kl, 1 ? l ? n ? 1,
L3,2 (? = 1): u1?k = ?(k, l) x0 ? xn ? C x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 ,
0 1 l n
?(1 ? k) 2
, 1 ? l ? n ? 1,
?(k, l) =
2C(l ? lk + 2)
L3,2 : u1?k = ?(k, l) x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 ,
0 1 l n
?(1 ? k) 2
?(k, l) = ? , 1 ? l ? n ? 1,
2(l ? lk + 2)
2
(x0 ? xn )?2 (k,l) ? C0 x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 n
0 1 l
1?k
L3,2 : u = ?1 (k, l) ,
(x0 ? xn )?2 (k,l)

?(1 ? k 2 ) 4 + l ? kl
?1 (k, l) = , ?2 (k, l) = ,
4C(1 + k)(2 + l ? kl) 2
x0 ? xn
L3,3 : u2/l = ?(l) 2,
[(x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 ) + (x0 ? xn ){ln(x0 ? xn ) + C}]
n
0 1 l
2+l 4l(l + 1)
, ?(l) = ? , 1 ? l ? n ? 1,
k=
l ?
L4,1 : u1?k = ?(k, l) x2 + · · · + x2 ,
1 l
?(1 ? k)2
, 1 ? l ? n ? 1.
?(k, l) =
2(l ? lk + 2k)

1. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) и реду-
кция нелинейных волновых уравнений. I, Укр. мат. журн., 1990, 42, № 11, 1552–1559.
2. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1971,
576 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 48–55.

О точных решениях уравнений
Даламбера и Лиувилля
в псевдоевклидовом пространстве R2,2. I
В.И. ФУЩИЧ, А.Ф. БАРАННИК, Ю.Д. МОСКАЛЕНКО
Получено описание максимальных подалгебр ранга 3 и 4 расширенной алгебры Пу-
?
анкаре AP (2, 2), являющейся максимальной алгеброй инвариантности уравнения
2u + F (u) = 0, где F (u) = ?uk , k = 1, или F (u) = ? exp u.

1. Введение. Рассмотрим нелинейное уравнение в псевдоевклидовом простран-
стве R2,2
2u + F (u) = 0, (1)
где 2u = u11 + u22 ? u33 ? u44 , uµ? = ? 2 u/?xµ ?x? , u ? u(x), x = (x1 , x2 , x3 , x4 );
µ, ? = 1, 2, 3, 4; F — гладкая функция. Известно [1], что если F (u) = ?uk , k = 1,
или F (u) = ? exp u, то максимальной группой инвариантности уравнения (1) явля-
? ?
ется расширенная группа Пуанкаре P (2, 2). Ее алгебра Ли AP (2, 2) реализуется
следующими операторами:
2u
J?? = g ?? x? ?? ? g ?? x? ?? , S = ?x? ?? + ?u при F = ?uk,
P ? = ?? ,
k?1
J?? = g ?? x? ?? ? g ?? x? ?? , S = ?x ?? + 2?u при F = ? exp u,
?
P ? = ?? ,
где ?? ? ?/?x? , ?u ? ?/?u, g11 = g22 = ?g33 = ?g44 = 1, g?? = 0, если ? = ?;
?, ?, ? = 1, 2, 3, 4.
?
В настоящей статье подалгебры алгебры AP (2, 2) используются для поиска
инвариантных решений уравнения (1) при F (u) = ?uk (уравнение Даламбера) и
F (u) = ? exp u (уравнение Лиувилля). С этой целью опишем максимальные по-
?
далгебры ранга 3 и 4 алгебры AP (2, 2), не содержащиеся в AP (2, 2). Если L —
одна из таких подалгебр ранга 3, ? (x, u), ?(x) — ее основные инварианты, то
анзац ? = ?(?) редуцирует уравнение (1) к обыкновенному дифференциальному
уравнению с неизвестной функцией ?(?). При описании максимальных подалгебр
?
ранга 3 и 4 алгебры AP (2, 2) используется метод классификации подалгебр алге-
бры AO(2, 2), основанный на разбиении множества всех ее подалгебр на классы,
каждый из которых характеризуется изотропным рангом [2].
Статья состоит из двух частей. В первой части описаны максимальные подалге-
?
бры ранга 3 и 4 алгебры AP (2, 2). Во второй части статьи построены инварианты
этих максимальных подалгебр, проведена редукция по каждой из них и найдены
точные решения уравнений Даламбера и Лиувилля.
Отметим, что редукция волнового уравнения (1) в пространстве Минковского
R1,3 осуществлена в работах [1, 3–6], а в пространствах R2,2 и R2,3 с использова-
нием подалгебр алгебр AP (2, 2) и AP (2, 3) — в работах [7, 8].
Укр. матем. журн., 1990, 42, № 8, C. 1122–1128.
О точных решениях уравнений Даламбера и Лиувилля в R2,2 . I 49

?
2. Основные понятия. Расширенной группой Пуанкаре P (2, 2) называется
мультипликативная группа матриц

?? Y
,
0 1

где ? ? O(2, 2), ? ? R, ? > 0, Y ? R4 .
Пусть Eik — матрица порядка 5, имеющая единицу на пересечении i-и строки
и k-го столбца, и нули на всех остальных местах, i, k = 1, . . . , 5.
?
Тогда базис алгебры AP (2, 2) образуют матрицы J12 = E12 ? E21 , Lab = ?Eab +
Eba ; a < b; a, b = 3, 4, 5; Jia = ?Eia ? Eai ; i = 1, 2; a = 3, 4, 5; Pj = Ej5 ; j =
1, . . . , 5; S = E11 + E22 + E33 + E44 . Они удовлетворяют таким коммутационным
соотношениям:
[Jab , Jcd ] = gad Jbc + gbc Jad ? gac Jbd ? gbd Jac , [Pa , Jbc ] = gab Pc ? gac Pb ,
Jab = ?Jba , [Pa , Pb ] = 0, [S, Jab ] = 0, [S, Pa ] = Pa ,

где g11 = g22 = ?g33 = ?g44 = 1, gab = 0 при a = b; a, b, c, d = 1, 2, 3, 4. Генераторы
поворотов Jab порождают алгебру AO(2, 2), генераторы трансляций Pa порождают
?
коммутативный идеал V , причем AP (2, 2) = AP (2, 2) ? S , где AP (2, 2) = V ?
?
AO(2, 2), AO(2, 2) = AO(2, 2) ? S .
?
Пусть G — подгруппа Ли группы P (2, 2), AG = X1 , . . . , Xs — алгебра Ли
группы G. Непостоянная функция f (x, u) = f (x1 , . . . , x4 , u) называется инвариан-
том группы G, если f (x, u) постоянна на G-орбите каждой точки (x, u), x ? R2,2 .
Функция f (x, u) является инвариантом G тогда и только тогда, когда Xi f (x, u) = 0
для всех i = 1, . . . , s. Если r — ранг алгебры AG и r < 5, то существует система
s1 = 5 ? r функционально независимых инвариантов f1 (x, u), . . . , fs1 (x, u), обла-
дающая тем свойством, что любой инвариант f группы G можно выразить через
инварианты f1 , . . . , fs1 , т. е. f (x, u) = ?(f1 (x, u), . . . , fs1 (x, u)). Эту систему ин-
вариантов будем называть полной системой инвариантов группы G или алгебры
AG.
Каждый внутренний автоморфизм g > hgh?1 группы Ли G индуцирует ав-
томорфизм X > hXh?1 алгебры Ли AG. Этот автоморфизм будем называть G-
автоморфизмом алгебры AG и обозначать символом ?h . Подалгебры L1 и L2 ал-
гебры AG будем называть G-сопряжениыми, если hL1 h?1 = L2 . Пусть L1 и L2 —
? ?
подалгебры алгебры AP (2, 2). Если для некоторого элемента C ? P (2, 2) подалге-
бры CL1 C ?1 и L2 обладают одними и теми же инвариантами, то подалгебры L1 ,
L2 будем называть эквивалентными [7, 9]. В этом случае используем обозначение
L1 ? L2 .
Если функции fi (x), i = 1, . . . , k, являются инвариантами ненулевой подал-
?
гебры L алгебры AP (2, 2), то L будем называть алгеброй инвариантности данной
?
системы функций. Для системы инвариантов каждой подалгебры алгебры AP (2, 2)
существует максимальная алгебра инвариантности, содержащая все алгебры ин-
вариантности данной системы функций.
?
Предложение 1. Пусть L1 , L2 — подалгебры алгебры AP (2, 2). Для того чтобы
L1 ? L2 , необходимо и достаточно, чтобы максимальные алгебры инвариан-
?
тности полных систем инвариантов подалгебр L1 и L2 были P (2, 2)-сопря-
женными.
50 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко

Подалгебра L ? AO(2, 2) называется подалгеброй класса 0, если V не содер-
жит вполне изотропного подпространства, инвариантного относительно L. Будем
говорить, что подалгебра L ? AO(2, 2) относится к классу r > 0 или имеет изо-
тропный ранг r, если ранг максимального вполне изотропного подпространства,
инвариантного относительно L, равен r. Для подалгебры класса 0 изотропный
ранг полагаем равным нулю. Очевидно, любая подалгебра L алгебры AO(2, 2)
имеет изотропный ранг 0 или 2.
?
Пусть L — произвольная подалгебра алгебры AP (2, 2). Если подпространство
L ? V отлично от нуля и не является вполне изотропным, то в силу теоремы
Витта можно предполагать, что Pi ? L ? V для некоторого i ? {1, 2, 3, 4}. Так
как Pi = ?/?xi , то инвариант алгебры L не зависит от переменной xi , и потому
рассматриваемый случай сводится к изучению уравнения (1) в пространстве R1,2 .
Поскольку эти случаи детально рассматривались в [1, 3], то, следовательно, доста-
?
точно ограничиться изучением тех подалгебр L ? AP (2, 2), для которых L ? V = 0
либо L?V является вполне изотропным. Пусть L?V является вполне изотропным
и L ? V = P1 + P4 .
Тогда любое решение u = u(x) уравнения (1), инвариантное относительно L,
2 2
имеет вид u = ?(x1 ? x4 , x2 , x3 ), и потому ? ? ? ? ? + F (?) = 0. Таким обра-
2 ?x2
?x2 3
зом, все свелось к рассмотрению уравнения (1) пространстве R1,1 . Учитывая это,
?
достаточно изучить подалгебры L ? AP (2, 2), для которых L ? V = 0.
Таблица 1
Максимальные подалгебры
Тип разложения
№ п/п
класса 0 алгебры AO(2, 2)
пространства
(+ + ??) AO(2, 2)
1
(+ + ?)(?) AO(2, 1) = J12 , J13 , J23
2
(+)(+ ? ?) AO(1, 2) = J23 , J24 , J34
3
(++)(??) AO(2) ? AO(2) = J12 ? J34
4
(+)(+)(??) AO(2) = J34
5
(++)(?)(?) AO(2) = J12
6


3. Подалгебры алгебры AO(2,2). Подалгебры алгебры AO(2, 2) изучены с то-
чностью до O(2, 2)-сопряженности в [9] на основе прямого разложения AO(2, 2) =
AO(2, 1) ? AO(2, 1). В этом пункте классифицируем подалгебры алгебры AO(2, 2),
используя другой подход, основанный на разбиении множества всех подалгебр ал-
гебры AO(2, 2) на классы, каждый из которых характеризуется изотропным ран-
гом. Так как этот подход представляет самостоятельный интерес и может быть

<< Предыдущая

стр. 13
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>