<< Предыдущая

стр. 132
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


By force of (13) equation (3) reads

??
rot W = ? U = ?(t?(x) + V (x)), (14)
,
1? (??)2

where ?(x), V (x) ? C 2 (R3 , R1 ) are arbitrary functions.
From the integrability condition of system (14): ? [? ? W ] = 0 it follows that
? ?
??
?div ? ? = 0,
1 ? (??)2

whence

(1 ? ??)2 )?? + ?xa ?xb ?xa xb
= 0.
[1 ? ??)2 ]3/2

The above equation, provided (??)2 = 1, takes the form

[1 ? (??)2 ]?? + ?xa ?xb ?xa xb = 0. (15)

In [4, 5] the following classes of exact solutions of equation (15)

(a x + c2 )2 + (b x + c3 )2 +
?(x) = c1 ln

+ (a x + c2 )2 + (b x + c3 )2 + c2 + c, (16)
1
v
x2 +c2 a x+c2
2
(1 + c1 ? 4 )?1/2 d?
?(x) =
?0
On the new exact solutions of the nonlinear Maxwell–Born–Infeld equations 561

were constructed. Omitting intermidiate computations we write down the exact solu-
tions of the Maxwell–Born–Infeld equations (1) obtained by substituting (16) into (2),
(14)

c1 [a(a x + c2 ) + b(b x + c3 )]
D=?
B = 0, H = 0, ,
(a x + c2 )2 + (b x + c3 )2
c1 [a(a x + c2 ) + b(b x + c3 )]
[(a x + c2 )2 + (b x + c3 )2 + c2 ]?1/2 ,
E=? 1
(a x + c2 )2 + (b x + c3 )2

a(a x + c2 /2) + b(b x) + c(c x)
D=?
B = 0, H = 0, ,
32
c2 )2 (x 2 c2 )
(x 2
c1 + c2 a x + + c2 a x + + 4 c2
2 2

a(a x + c2 /2) + b(b x) + c(c x)
E=? .
[1 + c1 (x 2 + c2 a x + c2 )2 ](x 2 + c2 a x + c2 )
2 2



1. Воrn М., Infeld L., Foundations of the new field theory, Proc. Roy. Soc. A, 1934, 114, 425–451.
2. Фущич В.И., Цифра И.М., О симметрии нелинейных уравнений электродинамики, Теорет. и
математ. физика, 1985, 64, № 1, 41–50.
3. Мирцхулава И.А., Решение двух- и трехмерной проблемы для электродинамики Борна–Инфель-
да, Журн. эксперим. и теорет. физики, 1938, № 4, 377–396.
4. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
5. Фущич В.И., Серов Н.И., О точных решениях уравнения Борна–Инфельда, Докл. АН СССР,
1991, 263, № 3, 582–686.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 562–571.

Высшие симметрии уравнения Шредингера
А.Г. НИКИТИН, С.П. ОНУФРИЙЧУК, В.И. ФУЩИЧ
Найдены полные наборы операторов симметрии произвольного конечного порядка
для уравнения Шредингера с некоторыми типами потенциалов, в том числе с по-
тенциалом суперсимметричного гармонического осциллятора. Описаны потенциалы,
допускающие нетривиальные высшие симметрии.

The complete sets of symmetry operators are found for Shr?dinger equation with the
o
potential of supersymmetric oscillator and some other potentials. The potentials admi-
ssing nontrivial higher symmetries are described.

Операторы симметрии (ОС) высших порядков привлекают все большее внима-
ние исследователей, см. например, [1–7]. Изучение таких ОС позволяет получать
информацию о скрытой симметрии уравнений математической физики, включая
симметрии Ли–Беклунда [1] и суперсимметрии [2], и вычислять в явном виде
законы сохранения и интегралы движения, которые в принципе не могут быть
найдены в классическом подходе Ли [3]. Очень важным приложением ОС высших
порядков является описание систем координат, в которых уравнение допускает ре-
шения в разделяющихся переменных [4]. Обзор результатов, относящихся к ОС
основных уравнении квантовой теории, имеется в [3].
При исследовании высших симметрии уравнений математической физики
обычно ограничиваются каким-нибудь конкретным классом ОС, например диф-
ференциальными операторами первого порядка с матричными коэффициентами в
случае уравнения Дирака [2, 5]. Конечно, естественный интерес вызывает за-
дача описания ОС возможно более высокого, а в идеале произвольного поряд-
ка. Этот интерес стимулируется успешным использованием ОС высокого порядка
(превышающего порядок уравнения) для разделения переменных [6, 7].
В работах [8–11] найдены полные наборы ОС произвольного порядка n < ? для
уравнений Д’Аламбера, Клейна–Гордона–Фока. Шредингера и Дирака, описываю-
щих свободные (невзаимодействующие) частицы. В настоящей статье исследуются
высшие симметрии уравнения Шредингера с различными потенциалами.
Потенциалы, допускающие нетривиальные лиевские симметрии одномерного
уравнения Шредингера, получены в работах [12–14]. Ниже найдены полные на-
боры ОС произвольного порядка для уравнения Шредингера со всеми этими по-
тенциалами, а также с потенциалом суперсимметричного осциллятора. Описаны
потенциалы, допускающие высшие симметрии: показано, что потенциалы, соответ-
ствующие точно решаемым уравнениям Шредингера [15], допускают ОС третьего
порядка (см. также [11]).




Теор. и мат. физика, 1992, 91, № 2, С. 268–278.
Высшие симметрии уравнения Шредингера 563

1. Определяющие уравнения
Запишем исследуемое одномерное уравнение Шредингера в виде (1.1)
L? ? p0 ? 1/2(p2 + V (x)) ? = 0, (1.1)
где
? ?
, p = ?i = ?i?x .
p0 = i
?t ?x
Исследование симметрии уравнения (1.1) включает задачи, которые можно ус-
ловно разделить на два типа:
1) потенциал V задан, найти симметрию;
2) определить потенциалы, допускающие известную (или какую-нибудь) сим-
метрию.
В этом разделе приведем общие результаты, относящиеся к обоим типам задач.
Определение. Линейный дифференциальный оператор порядка n
n
(qi · p)i ,
n
(1.2)
Q=
i=0

где (qi · p)i = [(qi · p)i?1 , p]+ , (q0 · p)0 = q0 , [A, B]+ = AB + BA, qi = qi (t, x),
называется ОС (порядка n) уравнения (1.1), если
[L, Qn ] = 0. (1.3)
Замечание 1. Оператор (1.2) не зависит от p0 , поскольку на множестве решений
уравнения (1.1) всегда можно выразить p0 через p2 + V . Это позволяет, не умаляя
общности, потребовать равенства нулю коммутатора L с оператором симметрии,
переводящим решения в решения [3].
Замечание 2. Представление Qn в виде суммы i-кратных антикоммутаторов упро-
щает последующие вычисления. Используя тождество [11]
i
i!2i?k
(qi · p)i = (?1) i
(? k qi )?x ,
i?k
(i ? k)!k! x
k=0

операторы дифференцирования всегда можно перенести вправо.
Найдем уравнения для коэффициентов qi ОС. Подставив (1.1), (1.2) в (1.3),
используя соотношения [11]
[p0 (qi · p)i ] = i(qi · p)i ,
1 i
? p2 , (qi · p)i = (qi · p)i+1 ,
2 2
k?1
2(2k)!
[V, (q2k · p)2k ] = ?i ?
(?1)m+k
(2k ? 2m ? 1)!(2m + 1)!
m=0
? V· k ? 1,
2k?2m?1
(q2k ?x p)2m+1 ,
k
2(2k)!
[V, (q2k+1 · p)2k+1 ] = ?i ?
(?1)m+k+1
(2k ? 2m ? 1)!(2m + 1)!
m=0
? V · p)2m , k?0
2k?2m+1
(q2k+1 ?x
564 А.Г. Никитин, С.П. Онуфрийчук, В.И. Фущич

(где точка и штрих обозначают производные но t и x), и приравнивая коэффи-
циенты при линейно независимых слагаемых вида (Ap)i приходим к следующей
системе уравнений для коэффициентов qi и потенциала V :
qn = 0,
{(n?1)/2}k
2(2k + 1)!
?
(?1)m+k+1
2q2m + 2q2m?1 +
?
(2k ? 2m ? 1)!(2m)!
k=m
(1.4)
? q2k+1 ?x2k?2m+1
V = 0,
{n/2}
2(2k)!
(?1)k+l 2k?2l?1
2q2l+1 + q2l +
? q2k ?x V = 0,
? 2l ? 1)!(2l + 1)!
(2k
k=l+1

где m = 0, 1, . . . {n/2}; l = 0, 1, . . . {(n ? 1)/2}; q?1 ? 0.
Уравнения (1.4) задают необходимые н достаточные условия существования ОС
произвольного наперед заданного порядка n для уравнения (1.1). Общее решение
уравнения (1.4) для V и qi определяет явный вид потенциалов, допускающих ОС
порядка n и явный вид этого ОС.
2. Полные наборы ОС одномерного уравнения Шредингера
Рассмотрим задачи типа 1 для уравнения (1.1), в которых потенциал V считает-
ся известным. Ограничимся анализом потенциалов следующего вида:
(2.1а)
V = V1 ,

(2.1б)
V = V2 x,

V = V3 x2 , (2.1в)
1
(2.1г)
V = V4 ,
x2
1
V = V5 x2 + V6 (2.1д)
,
x2
где V1 , . . . , V6 — произвольные постоянные.
Формулы (2.1) задают все неэквивалентные потенциалы, допускающие нетри-
виальные лиевские симметрии [12–14]. Здесь мы найдет полные наборы ОС прои-
звольного порядка n для уравнения (1.1) с потенциалами (2.1).
В случае потенциала (2.1а) задача сводится к описанию ОС свободного урав-
нения Шредингера [11]. Соответствующие уравнения [1.4] принимают вид
2qk ? qk?1 = 0, (2.2)
q0 = 0,
? q0 = 0, ?
где точка и штрих обозначают производные по t а x, соответственно. Последова-
тельным дифференцированием (2.2) получаем
k+1 n?k+1
(2.3)
?t qk = 0, ?x qk = 0,
откуда
n?k k
p,l
Ck xp tl , (2.4)
qk =
p=0 l=0
Высшие симметрии уравнения Шредингера 565

p,l
где Ck — произвольные постоянные коэффициенты, число которых равно (k +
p,l
1)(n ? k + 1). Из (2.2) получаем единственное ограничение на Ck
p,l+1 p+1,l
(2.5)
2l(l + 1)Ck + (p + 1)Ck?1 = 0, k = 1, 2, . . . , n.
Следовательно, общее число независимых параметров в (2.4) равно [11]
n n

<< Предыдущая

стр. 132
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>