<< Предыдущая

стр. 133
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1
(k + 1)(n ? k + 1) ? k(n ? k + 1) =
n
(2.6)
N= (n + 1)(n + 2).
2
k=0 k=1
Соответствующие ОС порядка n (число которых, очевидно, равно N ) задаются
соотношениями (1.2), (2.4) и (2.5) (последние могут рассматриваться как рекур-
рентные формулы). Нетрудно заметить, что все ОС уравнения (1.1), (2.la) пред-
ставляют собой полиномы порядка n от ОС первого порядка P = p и G = tp ? mx.
Для потенциалов (2.1б) и (2.1в) уравнения (1.4) сводятся к системам (2.7) и
(2.8), соответственно:
qn = 0, q0 ? 2V2 q1 = 0, 2qn + qn?1 = 0,
? ? ?
(2.7)
2qk + qk?1 ? 2(k + 1)V2 qk+1 = 0, 0 < k < n;
?
qn = 0, 2qn ? qn?1 = 0, q0 ? 2V3 xq1 = 0,
? ?
(2.8)
2qk + qk?1 ? 4(k + 1)V3 xqk+1 = 0, 0 < k < n.
?
Уравнения (2.7) могут быть решены по полной аналогии с (2.2). Снова имеют
место дифференциальные следствия (2.3) и справедливо представление (2.4), но
p,l
вместо (2.5) получаем из (2.7) следующие условия на Ck
p,l+1 p+1 p,l
+ (p + 1)Ck?1 ? 4(k + 1)V2 Ck = 0, (2.9)
2m(l + l)Ck k = 1, . . . , n.
Таким образом, уравнение (1.1) с потенциалом (2.16) допускает N n ОС поряд-
ка n. Явный вид этих операторов задается формулами (1.2), (2.4), (2.9), а N n —
формулой (2.6). Все ОС являются полиномами порядка n от ОС первого порядка
?
p = p + V t, G = t? ? mx.
? p
Для нахождения общего решения системы (2.8) воспользуемся следующими
дифференциальными следствиями:
n?k+1
?x qk = 0,
которые позволяют представить qn в виде
n?k
ak,i xi , (2.10)
qk =
i=0
где ak,i — произвольные функции от t. Подставив (2.10) в (2.8) и приравнивая ко-
эффициенты при одинаковых степенях x, приходим к системе N n обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка для N n неизвестных ak,i . Восполь-
зовавшись тем фактом, что общее решение такой системы зависит от N n прои-
звольных параметров [16], мы сразу укажем явный вид соответствующих линейно
независимых ОС
n k
Ck,? (p ? i?x)? (p + i?x)n?? exp[i(2? ? k)?t],
n
(2.11)
Q=
n=0 ?=0
v
V3 , Ck,? — произвольные постоянные, число которых равно N n (2.6).
где ? =
566 А.Г. Никитин, С.П. Онуфрийчук, В.И. Фущич

Мы видим, что все ОС уравнения (1.1), (2.1в) конечного порядка n сводятся к
полиномам от ОС первого порядка p± = (p ± i?x) exp(?i?t). В случае n = 2 наши
результаты сводятся к полученным ранее в [12].
Несколько более громоздких выкладок требует интегрирование системы (1.4) с
потенциалом (2.1г). Мы ограничимся выписыванием явного вида соответствующе-
го ОС порядка 2n
n
?a1 a2 ···ai Qa1 Qa2 · · · Qai ,
2n
(2.12)
Q =
i=0

где ?a1 ···at — произвольные симметричные тензоры, ak = 1, 2, 3,
p2 V4 i 1
? 2, Q2 = 2tQ1 ? xp + , Q3 = t2 Q1 ? tQ2 ? mx2 .
Q1 =
2m x 2 2
Количество линейно независимых операторов (2.12) равно N n (2.6). ОС нечетного
порядка для уравнения (1.1), (2.1г) не существует.
Соотношения (2.6), (2.12) задают полный набор ОС также для уравнения (1.1),
(2.1д).
3. ОС суперсимметричного осцилятора
Уравнение Шредингера для суперсимметричного осциллятора имеет вид [17]
? 1
L? ? i ? (p2 + ? 2 x2 + ?3 ?) ? = 0, (3.1)
?t 2
где ? — двухкомпонентная волновая функция, ? — произвольный вещественный
параметр, ?3 — одна из матриц Паули:
0 ?1
10 01 10
?0 = , ?1 = , ?2 = i , ?3 = .
0 ?1
01 10 10
Уравнение (3.1) обладает специфической симметрией в классе дифференциаль-
ных операторов первого порядка с матричными коэффициентами, определяемой
супералгеброй sqm(2) [17]. Эту алгебру образуют следующие ОС:
1 1 12
Q1 = v [?1 p + ?2 ?x], Q2 = v (?2 p ? ?1 ?x), (p + ? 2 x2 + ?3 ?),
Q3 =
2
2 2
удовлетворяющие соотношениям
Q2 = Q2 = Q3 , (3.2)
[Q1 , Q2 ]+ = 0, [Q1 , Q3 ] = [Q2 , Q3 ] = 0.
1 2

Инвариантность относительно алгебры (3.3) является основным свойством урав-
нений суперсимметрнчной квантовой механики [17].
В работе [18] получен полный набор ОС второго порядка для уравнения (3.1).
Мы найдем все неэквивалентные ОС произвольного порядка, описание которых, по
сути, сводится к исследованию симметрии уравнения (1.1), (2.1г). Действительно,
подвергая ? и L из (3.1) преобразованию
i
? > ? = exp ?t?3 ?,
2
(3.3)
i i
L > L = exp ? ?t?3 L exp ?t?3 ,
2 2
Высшие симметрии уравнения Шредингера 567

приходим к уравнению L ? = 0, где
? 1
? (p2 + ? 2 x2 )
L =i
?t 2
— оператор, представляющий собой прямую сумму двух операторов (1.1), (2.1г).
Соответствующие ОС, очевидно, можно представить в форме Q = ? µ Qn , где Qn —
µ µ
µ
ОС уравнения (1.1), (2.1г), задаваемые соотношением (2.11) (где Ck,? > Ck,? ).
Возвращаясь с помощью преобразования, обратно к (3.3), к исходному уравнению
(3.1), получаем полный набор ОС этого уравнения в виде
Qn = ? µ Qn , (3.4)
µ

где
?t ?t
?0 = ?0 , ?3 = ?3 , ?1 = ?1 cos + ?2 sin ,
2 2
?t ?t
? ?1 sin .
?2 = ?2 cos
2 2
Количество линейно независимых ОС порядка и равно 4N n где N n задано в (2.6).
Симметрия суперсимметричного уравнения Шредингера с произвольным потен-
циалом исследована в [19].
4. ОС трехмерных гармонического
и суперсимметричного осциляторов
Исследование высших симметрии трехмерного уравнения Шредингера
? 1
L? ? i ? (p2 + V (x) ? = 0 (4.1)
?t 2
может быть проведено по схеме, используемой в разделе 2. Существенное усложне-
ние задачи, связанное с переходом к уравнениям в частных производных по про-
странственным переменным, преодолевается с использованием обобщенных тензо-
ров Киллинга [8, 10].
ОС уравнения (4.1) произвольного порядка n представим в виде
n
[[. . . [F a1 a2 ···ak , pa1 ]+ , pa2 ]+ , . . . , pak ]+ ,
n
(4.2)
Q=
k=0

где F a1 a2 ···ak — симметричный тензор ранга k, зависящий от x и t.
Подставляя L (4.1) и Qn (4.2) в условие инвариантности (1.3) и приравнивая ко-
эффициенты при линейно независимых операторах дифференцирования, приходим
к следующей системе определяющих уравнении (ср. (1.4)):
? (an+1 F a1 a2 ···an ) = 0,
2F a1 a2 ···a2l+1 + ? (a2l+1 F a1 a2 ···a2l ) +
?
{(n?1)/2}
2(2k + 1)!
U a1 a2 ···a2m ,
(?1)m+k+1
+
(2k ? 2m + 1)!(2m)! (4.3)
k=m
2F a1 a2 ···a2l+1 + ? (a2l+1 F a1 a2 ···a2l ) +
?
{n/2}
2(2k)!
W a1 a2 ···a2l+1 ,
(?1)k+1
+
(2k ? 2l ? 1)!(2l + 1)!
k=l+1
568 А.Г. Никитин, С.П. Онуфрийчук, В.И. Фущич

где
?
m = 0, 1, . . . , {n/2}, l = 0, 1, . . . , {(n ? 1)/2},
?a = ,
?xa
U a1 a2 ···a2m = F a1 a2 ···a2m b1 b2 ···b2k?2m+1 ? b1 ? b2 · · · ? b2k?2m+1 V,
W a1 a2 ···a2l+1 = F a1 a2 ···a2l+1 b1 b2 ...b2k?2l?1 ? b1 ? b2 · · · ? b2k?2l?1 V
и подразумевается симметризация по индексам, заключенным в скобки.
Уравнения (4.3) определяют потенциалы V , допускающие нетривиальные сим-
метрии порядка n, и коэффициенты F a1 a2 ···ak соответствующих ОC. Общее ре-
шение этих уравнений для V ? 0 получено в [10]. Здесь мы рассмотрим случай
потенциала гармонического осциллятора
V (x) = ? 2 x2
и приведем без доказательства число N n линейно независимых ОС поряд n и
явный вид этих операторов:
1
Nn = (n + 1)(n + 2)2 (n + 3)2 (n + 4),
3!4!
(4.4)
n c
?a1 a2 ···ac b1 b2 ···bn?c qa1 qa2 · · · qak qak+1 · · · qac Jb1 Jb2 · · · Jba?c ,
+? ?
n ++
Q=
r=0 k=0
где
+?
±
qaj = (paj ± i?xaj ) exp(?i?t), Jb = ?bcd qc qd ,
?a1 ···ac b1 ···bn?c — произвольные постоянные тензоры, симметричные относительно
перестановок ai - aj , bk - bi и имеющие нулевой след по любой паре индексов
(aj , bi ).
Исследование симметрии уравнения (4.1) с потенциалом суперсимметричного
осциллятора
V (x) = ? 2 x2 + ??3
может быть проведено в полной аналогии с разделом 3. Общее выражение для
соответствующего ОС порядка n задается формулой (3.4), где Qn — операторы µ
a1 ···ac b1 ···bn?c
a1 ···ac b1 ···bn?c
> ?µ ), число линейно независимых ОС равно 4N n .
(4.5) (?
5. Потенциалы, допускающие нетривиальные симметрии
Обратимся теперь к задаче второго типа и опишем класс потенциалов. при
которых уравнение (1.1) допускает нетривиальные симметрии. В принципе все та-
кие потенциалы описаны уравнениями (1.4), если и V , и qi рассматривать как
неизвестные.
Рассмотрим последовательно случаи n = 1, 2 (которые соответствуют лиевским
симметриям) и n = 3 (простейшая нелиевская симметрия).
Полагая в (1.4) n = 1, приходим к следующей системе:
q0 ? V q1 = 0. (5.1)
q1 = 0, 2q1 + q0 = 0,
? ?
По определению q1 = 0, поэтому справедливы следующие дифференциальные
следствия системы (5.1):
q0 = 0, V = 0,
Высшие симметрии уравнения Шредингера 569

откуда получаем общий вид потенциала V , допускающего ОС первого порядка

V = V1 + V2 x + V3 x2 ,

где V1 , V2 и V3 — произвольные постоянные. Соответствующие ОС приведены в
разделе 3.
Для n = 2 система (1.4) принимает вид

q0 ? V q1 = 0, 2q1 + q0 ? 2q2 V = 0, (5.2)
q2 = 0, 2q2 + q1 = 0,
? ? ?
откуда получаем но аналогии с вышеизложенным
V?2
V = V0 + V1 x + V2 x2 + (5.3)
.
(C0 + C1 x)2
Мы видим, что уравнения (1.4) позволяют элементарно вычислять общий вид
потенциала, допускающего нетривиальную лиевскую симметрию (ОС второго по-
рядка сводятся на множестве решений уравнения (1.1) к дифференциальным опе-
раторам первого порядка, являющимся генератором группы Ли).

<< Предыдущая

стр. 133
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>