<< Предыдущая

стр. 134
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Случай n = 3 уже соответствует нелиевской симметрии. Соответствующие
уравнения (1.4) принимают вид
2q2 + q1 ? 6q3 V = 0. (5.4а)
q3 = 0, 2q3 + q2 = 0,
? ?

2q1 + q0 ? 4q2 V = 0. (5.4б)
?

q0 ? q1 V + q3 V (5.4в)
? = 0.

Как легко убедиться, общее решение уравнений (5.4а) имеет вид
?
q2 = b ? 2ax, q1 = 2?x2 ? 2bx + 6aV + c, (5.5)
q3 = a, ? a

где a, b, c — произвольные функции от t. Дифференцируя (5.4б) по t, а (5.4в) по x
и исключая qµ , приходим с использованием (5.5) к следующему уравнению:
?
?
(aV ? 3aV 2 ? cV ) ? 2?[(V x2 ) + 4(xV ) + 2V ] + 2b[(V x) + 2V ] =
a
(5.6)
...
....
= 4 a x2 ? 4 b x + 2?.
c
Нелинейное уравнение (5.6) является достаточно сложным, поэтому ограни-
чимся исследованием его частных решений. Прежде всего отметим, что все по-
тенциалы (5.3) удовлетворяют (5.6) и, следовательно, допускают нетривиальный
ОС третьего порядка. Оказывается, однако, класс потенциалов, допускающих та-
кой ОС, гораздо шире и включает, например, следующие решения уравнения (5.6)
[11]:
2d2
V = 2d2 tg2 dx.
V= ,
cos2 dx (5.7)
d2 (1 ± ch dx)
V = 2d(th dx ? 1), V = 2d (cth dx ? 1),
2 2
2
V= ,
sh2 dx
где d — произвольный параметр.
570 А.Г. Никитин, С.П. Онуфрийчук, В.И. Фущич

Уравнения (1.1) с потенциалами (5.7) являются точно решаемыми [15]. Следует
подчеркнуть, что эти потенциалы не допускают нетривиальной лиевской симме-
трии, но для соответствующих уравнений Шредингер существует ОС третьего
порядка.
???
Приведем ряд других решений уравнения (5.6). Полагая a priori a = b = c = 0,
это уравнение можно дважды проинтегрировать по x и свести к следующей форме:
aV ? 3aV 2 ? cV = k1 x + k0 . (5.8)
Очевидным решеннием (5.8) является функция (5.9)
1 c
W? , (5.9)
V= a = 0,
3 6a
где W — функция Вейерштрасса, удовлетворяющая уравнению W = W 2 , при
этом k0 = k1 = 0. Другие решения уравнения (5.8) получаем с использованием
справочника [20]:
а) при c = k0 = 0, k1 = 2a = 0, V = 2y получим уравнение, которое определяет
трансцендентную функцию Пенлеве;
б) при k1 = k0 = 0, c = 4a = 0, V = 2y получим уравнение, решение кото-
рого приводит к эллиптическим интегралам. В число решении входят, например,
функции
1
y= ,
sin2 (x + C1 )
соответствующие частному случаю потенциала Пешля–Теллера [21].
Заключение
Мы показали, что задача описания полного набора ОС произвольного коне-
чного порядка n для одномерного уравнения Шредингера сводится к нахождению
общего решения системы линейных уравнений (1.4) для коэффициентов qi опе-
ратора (1.2). Интегрирование этой системы для заданного потенциала взаимодей-
ствия позволяет найти все неэквивалентные ОС порядка n. Выше найдены эти ОС
для всех потенциалов, допускающие нетривиальную лиевскую симметрию, и для
потенциала суперсимметричного осциллятора.
Гораздо более сложной является задача описания потенциалов, допускающих
ОС заданного порядка n. Такая задача тоже сводится к решению системы (1.4),
где и qi и V рассматриваются как неизвестные. В результате уже в случае n = 3
приходим к нелинейному уравнению для V , для которого удалось получить толь-
ко частные решения. Однако в их число входят очень важные потенциалы (5.7),
(5.10), соответствующие точно решаемым уравнениям Шредннгера [15, 21]. Нали-
чие обобщенной (нелиевской) симметрии у точно решаемых уравнений, не облада-
ющих лиевской симметрией, на наш взгляд, является фундаментальным фактом,
открывающим новые возможности в построении точно решаемых моделей. Так,
представляется очень интересным исследовать возможность построения точных
решений уравнений (1.1) с потенциалом (5.9) и другими потенциалами, перечи-
сленными выше в пунктах “а”, “б”, допускающими ОС третьего порядка.
Следует отметить, что используемый нами подход позволяет вычислять также
симметрии бесконечного порядка. Соответствующие ОС могут быть представлены
в виде (1.2) или (4.2), где n > ?, а определяющие уравнения задаются формулами
Высшие симметрии уравнения Шредингера 571

(1.4) или (4.3), где первые строки должны быть опущены и суммирование заме-
няется бесконечными рядами (т.е. верхний предел суммирования устремляется к
бесконечности).
Наш подход к исследованию ОС высших порядков уравнения (1.1) является
альтернативным используемому в [22], где описаны ОС, допускаемые потенциала-
ми Морзе и Пешля–Теллера.

1. Anderson R.Н., Ibragimov N.H., Lie–B?clund transformations in applications, Philadelphia, SIAM,
a
1979.
2. Fushchych W.I., Nikitin A.G., J. Phys. A: Math. and Gen., 1987, 20, № 3, 537–549.
3. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений квантовой механики, М., Наука, 1990.
4. Миллер У., Симметрия и разделение переменных, М., Мир, 1981.
5. Шаповалов В.Н., Экле Г.Г., Алгебраические свойства уравнения Дирака, Элиста, Калмыцкий
гос. ун-т, 1972.
6. Kalnins E.G., Miller W., jr., Williams G.C., J. Math. Phys., 1986, 27, № 7, 1893–1990.
7. Fels М., Kamran N., Рrос. Roy. Soc. Lond. A, 1990, 428, 229–249.
8. Никитин А.Г., УМЖ, 1991, 43, № 6, 786–795.
9. Никитин А.Г., УМЖ, 1991, 43, № 10, 1388–1398.
10. Никитин А.Г., УМЖ, 1991, 43, № 11, 1521–1527.
11. Beckers J., Debergh N., Nikitin A.G., J. Phys. A: Math. and Gen., 1991, 24, № 22, L1269–L1275.
12. Niederer U., Helv. Phys. Acta, 1972, 45, № 5, 802–810.
13. Anderson R.H., Kumei S., Wulfman С.E., Rev. Мех. Fis., 1972, 21, № 1, 1–9.
14. Boyer С.Р., Helv. Phys. Acta, 1979, 47, № 4, 589–605.
15. Bagrou V.G., Gitman D.М., Exact solutions of relativistic wave equations, Dordrecht, Kluwer Acad.
Publ., 1990.
16. Смирнов В.И., Курс высшей математики, Т.2, М., Наука, 1967.
17. Witten E., Nucl. Phys. B, 1981, 188, № 3, 513–520.
18. Beckers J., Debergh N., Helv. Phys. Acta, 1991, 64, № 1, 24–35.
19. Beckers J., Debergh N., Nikitin A.G., J. Math. Phys., 1992, 33, № 1.
20. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Физматгиз, 1961.
21. Флюгге З., Задачи по квантовой механике, Т.1, М., Мир, 1974.
22. Kalnins E.G., Leuine R.D., Miller W., jr., in Mechanics, analysis and geometry: 200 years after
Lagrange, Amsterdam, North-Holland, 1991, 237–256.
Contents
А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич, Редукция и точные
решения уравнения Гамильтона–Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
В.И. Фущич, Об одном обобщении метода С. Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
В.И. Фущич, О некоторых новых волновых уравнениях математической
физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, О точных решениях нелинейного уравнения
д’Аламбера в пространстве Минковского R1,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Максимальные подалгебры ранга n ? 1
алгебры AP (1, n) и редукция нелинейных волновых уравнений. I . . . . . . . . . . 32
В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Максимальные подалгебры ранга n ? 1
алгебры AP (1, n) и редукция нелинейных волновых уравнений. II . . . . . . . . . . 41
В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, О точных решениях
уравнений Даламбера и Лиувилля в псевдоевклидовом
пространстве R2,2 . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, О точных решениях
уравнений Даламбера и Лиувилля в псевдоевклидовом
пространстве R2,2 . II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
В.И. Фущич, В.И. Чопик, Условная инвариантность нелинейного
уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
В.И. Фущич, В.И. Чопик, П.И. Миронюк, Условная инвариантность
и точные решения трехмерных нелинейных уравнений акустики . . . . . . . . . . . 67
В.И. Фущич, А.С. Галицын, А.С. Полубинский, О новой математической
модели процессов теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
W.I. Fushchych, A.G. Nikitin, On superalgebras of symmetry operators
of relativistic wave equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
W.I. Fushchych, A.G. Nikitin, On the new constants of motion for two-
and three-particle equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
В.И. Фущич, Н.И. Серов, Условная инвариантность и редукция
нелинейного уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
В.И. Фущич, Н.И. Серов, Т.К. Амеров, Условная инвариантность
нелинейного уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
W.I. Fushchych, W.M. Shtelen, Merons and instantons as products
of self-interaction of the Dirac–G?rsey spinor field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
u
В.И. Фущич, В.М.Штелень, С.В. Спичак, О связи между решениями
уравнений Дирака и Максвелла. Суперсимметрия уравнения Дирака . . . . . . . 101
В.И. Фущич, В.М. Штелень, Р.З. Жданов, О точных решениях
нелинейного уравнения для спинорного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
В.I. Фущич, В.А. Тичинiн, Точнi розв’язки та принцип суперпозицiї
для нелiнiйного хвильового рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
В.I. Фущич, I.А. Єгорченко, Про редукцiю багатовимiрного нелiнiйного
хвильового рiвняння до двовимiрних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
В.И. Фущич, Р.З. Жданов, Нелиевские анзацы и точные решения
нелинейного спинорного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко, Совместность и решения
нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
В.И. Фущич, И.О. Парасюк, Качественный анализ семейств ограниченных
решений нелинейного трехмерного уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . 161
А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич, Редукция и точные
решения уравнения эйконала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич, Связные подгруппы
конформной группы C(1, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич, Редукция многомерного
Пуанкаре-инвариантного нелинейного уравнения к двумерным уравнениям 201
А.Ф. Баранник, В.А. Марченко, В.И. Фущич, О редукции и точных
решениях нелинейных многомерных уравнений Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . 216
О. Бедрiй, В.I. Фущич, Про електромагнiтну структуру мас елементарних
частинок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
В.И. Фущич, Условная симметрия уравнений нелинейной математической
физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
В.И. Фущич, П.И. Миронюк, Условная симметрия и точные решения
уравнения нелинейной акустики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
В.И. Фущич, И.О. Парасюк, Качественный анализ семейств ограниченных
решений многомерного нелинейного уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . 258
В.И. Фущич, В.К. Репета, Точные решения некоторых уравнений
газовой динамики и нелинейной акустики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
В.И. Фущич, Н.И. Серов, Условная инвариантность нелинейного
волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
В.И. Фущич, Н.И. Серов, Негрупповая симметрия некоторых нелинейных
волновых уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
В.И. Фущич, Н.И. Серов, Т.К. Амеров, Об условной симметрии
обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
В.И. Фущич, Н.И. Серов, В.К. Репета, Условная симметрия, редукция
и точные решения нелинейного волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
В.И. Фущич, Н.И. Серов, В.К. Репета, Нелиевская симметрия и точные
решения одномерных уравнении газовой динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
В.И. Фущич, В.М. Штелень, Чи iнварiантнi рiвняння Максвелла
щодо перетворень Галiлея? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
W.I. Fushchych, W.M. Shtelen, S.L. Slavutsky, Reduction and exact solutions
of the Navier–Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
W.I. Fushchych, W.M. Shtelen, S.V. Spichak, On the connection between
solutions of Dirac and Maxwell equations, dual Poincar? invariance e
and superalgebras of invariance and solutions of nonlinear Dirac equations . . . 320
В.И. Фущич, И.А. Егорченко, Редукция и решения нелинейного
уравнения для векторного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
В.И. Фущич, И.А. Егорченко, Нелиевские анзацы и условная симметрия
нелинейного уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
В.И. Фущич, И.В. Ревенко, Р.З. Жданов, Несимметрийный подход
к построению точных решений одного нелинейного волнового уравнения . 350
W.I. Fushchych, R.Z. Zhdanov, On the non-Lie reduction of the nonlinear
Dirac equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко, Общие решения нелинейного
волнового уравнения и уравнения эйконала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко, Общие решения нелинейного
волнового уравнения и эйконала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
W.I. Fushchych, R.Z. Zhdanov, I.A. Yegorchenko, On the reduction
of the nonlinear multi-dimensional wave equations and compatibility
of the d’Alembert–Hamilton system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
А.Г. Никитин, В.И. Фущич, Нелиевские интегралы движения
для частиц произвольного спина и для систем взаимодействующих частиц 390
Р.З. Жданов, В.И. Фущич, О нелиевской симметрии галилеевски-
инвариантного уравнения для частицы со спином s = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
P. Basarab-Horwath, W.I. Fushchych, M. Serov, A simple method of finding
solutions of the nonlinear d’Alembert equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
W.I. Fushchych, Symmetry analysis. Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
W.I. Fushchych, Conditional symmetry of equations of nonlinear
mathematical physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
W.I. Fushchych, New nonlinear equations for electromagnetic field
having velocity different from c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
W.I. Fushchych, A.G. Nikitin, The complete sets of conservation laws
for the electromagnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
W.I. Fushchych, R.O. Popovych, Symmetry reduction of the Navier–Stokes
equations to linear two-dimensional systems of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
В.И. Фущич, Н.И. Серов, Т.К. Амеров, О нелокальных анзацах
для одного нелинейного одномерного уравнения теплопроводности . . . . . . . . 448
W.I. Fushchych, N.I. Serov, T.K. Amerov, Conditional invariance
and exact solutions of gas dynamics equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452
W.I. Fushchych, N.I. Serov, V.A. Tychinin, T.K. Amerov, On non-local
symmetries of nonlinear heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
W.I. Fushchych, N.I. Serov, A.I. Vorob’eva, Conditional symmetry
and exact solutions of equations of nonstationary filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . .464
В.I. Фущич, В.М. Штелень, Р.О. Попович, Про редукцiю рiвнянь
Нав’є–Стокса до лiнiйних рiвнянь теплопровiдностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
W.I. Fushchych, W.M. Shtelen, M.I. Serov, R.O. Popovych, Q-conditional
symmetry of the linear heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
W.I. Fushchych, V.A. Tychinin, Generating solutions for nonlinear equations
by the Legendre transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
W.I. Fushchych, V.A. Tychinin, Nonlocal symmetry and generating
solutions for Harry–Dym type equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
В.И. Фущич, В.А. Тычинин, Н.И. Серов, Формула размножения
решений уравнений Кортевега-де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
W.I. Fushchych, I.A. Yegorchenko, Second-order differential invariants
of the rotation group O(n) and of its extensions: E(n), P (1, n), G(1, n) . . . . . 504
W.I. Fushchych, R.Z Zhdanov, Conditional symmetry and reduction
of partial differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
W.I. Fushchych, R.Z. Zhdanov, I.V. Revenko, On the general solution
of the d’Alembert equation with nonlinear eikonal constraint . . . . . . . . . . . . . . . . 539
W.I. Fushchych, R.Z. Zhdanov, V.F. Smalij, On the new exact solutions

<< Предыдущая

стр. 134
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>