<< Предыдущая

стр. 14
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

использован при изучении подалгебр алгебры AO(2, n), n > 2, то остановимся на
нем более подробно.
Найдем сначала все максимальные подалгебры класса 0 алгебры AO(2, 2),
используя для этого тип разложения пространства V в прямую ортогональную
сумму неприводимых подпространств. Пусть, например, L — максимальная подал-
гебра класса 0 алгебры AO(2, 2) и V = V1 ?V2 — прямая ортогональная сумма двух
L-неприводнмых подпространств V1 = P1 , P2 , V2 = P3 , P4 . Будем говорить, что
разложение пространства V относится к типу (++)(??). Очевидно, подалгебра L
совпадает с алгеброй J12 ? J34 . Все максимальные подалгебры класса 0 алгебры
AO(2, 2) приведены в табл. 1.
Из табл. 1 видно, что если подалгебра L ? AO(2, 2) изотропного ранга 0 не
является максимальной, то она либо неприводима, а потому сопряжена с алге-
О точных решениях уравнений Даламбера и Лиувилля в R2,2 . I 51

брой J25 + J34 , J24 ? J35 , J23 ? J45 , J23 [10], либо является подпрямой суммой
подалгебр J23 и J45 . Во втором случае L = J23 + ?J45 . Автоморфизм, соответ-
ствующий матрице diag[1, ?1, 1, 1], отображает L на J23 ? ?J45 . Следовательно,
можно предполагать, что ? > 0. Если ? = 1, то алгебра J23 + J45 оставляет инва-
риантным вполне изотропное подпространство P1 +P4 , P2 +P3 , что противоречит
предположению об L. Таким образом, L = J12 + ?J34 ; ? > 0, ? = 1.
Перейдем к рассмотрению подалгебр L ? AO(2, 2) изотропного ранга 2. В силу
теоремы Витта можно считать, что L оставляет инвариантным подпространство
V(2) = P1 + P4 , P2 + P3 . Все такие подалгебры L содержатся в максимальной по-
далгебре AOpt(1, 1) класса 2, которая является нормализатором в AO(2, 2) вполне
изотропного подпространства V(2) . Отсюда следует, что базис алгебры AOpt(1, 1)
образуют матрицы A1 = ?J14 + J23 , T = J12 ? J24 + J13 ? J34 , A2 = 1 (J12 + J34 ?
2
J13 ? J24 ), A3 = 1 (J12 + J34 + J13 + J24 ), D = J14 + J24 . Очевидно, A1 , A2 , A3 =
2
ASL(2, R), SL(2, R) ? D = AGL(2, R) и T ? AGL(2, R) = AOpt(1, 1). Базисные
элементы алгебры N1 , N2 , Y1 , Y2 ? AOpt(1, 1), где N1 = P1 + P4 , N2 = P2 + P3 ,
Y1 = P1 ? P4 , Y2 = P2 ? P3 , удовлетворяют коммутационным соотношениям

[A1 , A3 ] = ?2A3 , [A1 , N1 ] = N1 , [A2 , N2 ] = ?N2 ,
[A1 , A2 ] = 2A2 ,
[A1 , Y1 ] = ?Y1 , [A2 , A3 ] = ?A1 , [A2 , N2 ] = N1 , [A2 , Y1 ] = ?Y2 ,
[A3 , N1 ] = ?N2 , [D, T ] = ?2T, [D, N1 ] = ?N1 , [D, N2 ] = ?N2 ,
[T, Y1 ] = ?2N2
[D, Y1 ] = Y1 ,

(нулевые коммутаторы опущены).
Введем новые переменные y1 = x1 + x4 , y2 = x1 ? x4 , y3 = x2 + x3 , y4 = x2 ?
x3 . Тогда алгебра V ? AOpt(1, 1) реализуется следующими дифференциальными
операторами первого порядка:

? ? ? ? ? ?
A1 = ?y1 ? y2 ? y4 , A2 = ?y3
+ y3 + y2 ,
?y1 ?y2 ?y3 ?y4 ?y1 ?y4
? ? ? ? ? ?
A3 = ?y4 , D = ?y1 ? y4
+ y1 + y2 + y3 ,
?y2 ?y3 ?y1 ?y2 ?y3 ?y4
? ? ? ? ?
T = ?2y4 + 2y2 , N1 = 2 , N2 = 2 , Y1 = 2 ,
?y1 ?y3 ?y1 ?y3 ?y2
?
Y2 = 2 .
?y4

Классифицируем подалгебры алгебры AOpt(1, 1) с точностью до O(2, 2)-сопря-
женности. Эта задача решается в четыре этапа.
1. Подалгебры алгебры ASL(2, R). Известно, что ASL(2, R) содержит с то-
чностью до SL(2, R)-сопряженности только следующие подалгебры: O, A1 , A3 ,
A2 + A3 , A1 , A3 , A1 , A2 , A3 .
2. Подалгебры алгебры ASL(2, R) ? D . Применяя теорему Ли–Гурса о по-
далгебрах прямой суммы двух алгебр Ли, получаем с точностью до GL(2, R)-
сопряженности следующие подалгебры алгебры ASL(2, R) ? D : O, D , A1 +
?D (? ? 0), A1 , D , A3 , A3 +D , A3 , D , A2 +A3 +?D (? ? 0), A2 +A3 , D ,
A1 + ?D, A3 , A1 , A3 , D , A1 , A2 , A3 , A1 , A2 , A3 , D .
52 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко

3. Подалгебры алгебры AOpt(1, 1) = T ? AGL(2, R). Проводим классифика-
цию подалгебр алгебры AOpt(1, 1) с точностью до O(2, 2)-автоморфизмов, сохра-
няющих N1 , N2 . Получаем такие подалгебры: O, T , D , D, T , A1 + ?D
(? ? 0), A1 + T , A1 + ?D, T (? ? 0), A1 + D, 2A3 ± T , A1 , D , A1 , D, T ,
A3 , A3 ± T , A3 , T , A3 + D , A3 + D, T , A3 , D , A3 , D, T , A2 + A3 + ?D
(? ? 0), A2 + A3 ± T , A2 + A3 + ?D, T (? ? 0), A2 + A3 , D , A2 , A3 , D, T ,
A1 , A2 , A3 , A1 , A2 , A3 , T , A1 , A2 , A3 , D , A1 , A2 , A3 , D, T .
4. На этом этапе выделяется задача классификации подалгебр алгебры
AOpt(1, 1), полученных в предыдущем пункте, с точностью до O(2, 2)-сопряжен-
ности. Для решения указанной задачи рассмотрим следующие вполне изотро-
пные подпространства V : S1 = P1 + P4 , P2 + P3 , S2 = P1 + P4 , P2 ? P3 ,
S3 = P1 ? P4 , P2 + P3 , S4 = P1 ? P4 , P2 ? P3 . Обозначим через Ci следую-
щие матрицы: C2 = diag [1, 1, ?1, 1], C3 = diag [1, 1, 1, ?1], C4 = diag [1, 1, ?1, ?1].
Пусть ?i — O(2, 2)-автоморфизм алгебры AO(2, 2), порожденный матрицей Ci ,
i = 2, 3, 4. Группу {?2 , ?3 , ?4 }, порожденную автоморфизмами ?i , обозначим че-
рез G2 . Порядок группы G2 равен 4. Пусть G1 — группа O(2, 2)-автоморфизмов,
сохраняющая N1 , N2 .
Предложение 2. Если подалгебры L1 , L2 ? AOpt(1, 1) сопряжены относитель-
но группы O(2, 2)-автоморфизмов, то они сопряжены и относительно группы
{G1 , G2 }. Здесь {G1 , G2 } — группа, порожденная группами G1 и G2 .
Доказательство. Отметим, что с точностью до сопряженности относительно груп-
пы G1 существуют только следующие вполне изотропные подпространства ран-
га 2: S1 , S2 , S3 , S4 . Пусть f — O(2, 2)-автоморфизм отображающий алгебру
L1 ? AOpt(1, 1) на алгебру L2 ? AOpt(1, 1). Подпространство f ?1 (S1 ) вполне
изотропно и инвариантно относительно подалгебры L1 . Нетрудно убедиться, что
существует элемент ? группы G1 , отображающий f ?1 (S1 ) на некоторое подпро-
странство Si , i ? {1, 2, 3, 4}, причем ?(L1 ) = L1 . Автоморфизм f ? отображает L1 на
L2 , а Si на S1 . Таким образом, можно предполагать, что f (L1 ) = L2 и f (Si ) = S1 .
Но тогда f ? G1 , если i = 1, и f = f1 ?i для некоторого f1 ? G1 , если i = 1.
Предположение доказано.


Таблица 2
A1 D A2 A3 T
1
? ?2T ?2A3
?2 D A1
1
?D ?A1 ?2T ? ?2A2
?3
?A1 ?D ?
?4 A3 A2



Отметим, что при доказательстве предложения 2 установлено, что если O(2, 2)-
автоморфизм f отображает алгебру L1 ? AOpt(1, 1) на алгебру L2 ? AOpt(1, 1),
то всегда можно считать, что f = f1 ?, где f1 ? G1 , а ? ? G2 .
Действия автоморфизмов ?2 , ?3 , ?4 на базис {A1 , A2 , A3 , D, T } алгебры
AOpt(1, 1) приведены в табл. 2, где символом ? обозначены элементы алгебры
AO(2, 2), не содержащиеся в AOpt(1, 1), и потому не представляющие для нас
интереса. Используя табл. 2, получаем следующее предложение.
О точных решениях уравнений Даламбера и Лиувилля в R2,2 . I 53

Предложение 3. Алгебра AOpt(1, 1) содержит с точностью до O(2, 2)-сопря-
женности только следующие подалгебры:

3) A1 + ?D , 0 ? ? ? 1;
1) O; 2) T ; 4) D, T ;
5) A1 + ?D, T , ? ? 0, d = 1; 6) A1 + T ; 7) A1 , D ;
9) A3 ± T ;
8) A1 , D, T ; 10) A3 , T ; 11) A3 + D, T ;
12) A2 + A3 + ?D , ? ? 0; 13) A2 + A3 ± T ;
14) A2 + A3 + ?D, T , ? ? 0; 15) A2 + A3 , D ;
17) A1 + D, 2A3 ± T ;
16) A2 + A3 , D, T ;
18) A1 + ?D, A3 , T , |?| ? 1; 19) A1 , A3 , D, T ; 20) A1 , A2 , A3 ;
21) A1 , A2 , A3 , T ; 22) A1 , A2 , A3 , D ; 23) A1 , A2 , A3 , D, T .

4. Подалгебры алгебры AP (2, 2). В настоящем пункте нашей задачей являе-
тся описание с точностью до P (2, 2)-сопряженности подалгебр L ? AP (2, 2) ранга
2 и 3, удовлетворяющих условию L?V = 0. Используя описание подалгебр алгебры
AO(2, 2), изложенное в предыдущем пункте, приходим к следующему результату.


Таблица 3
Нормализатор
Ранг
№ Алгебра
?
алгебры в AP (2, 2)
алгебры
п/п
L1 = AO(2, 2) L1 ? S
1 3
L2 = 3A1 + D, T + Y1 , A3 L2 ? 3S ? D
2 3
K1 = D, T K1 ? A1 , A2 , A3
3 2
K2 = A1 + ?D, T , ? ? 0, ? = 1 K2 ? S, D
4 2
K3 = A1 , D K3 ? S
5 2
K4 = A3 + D, T K4 ? S, D
6 2
K5 = A2 + A3 + ?D, T , ? ? 0 K5 ? S
7 2
K6 = A2 + A3 , D K6 ? S
8 2
K7 = A1 ? D, A3 , T K7 ? 3, D, N2
9 2
K8 = 3A1 + D, T + Y1 K8 ? 3S ? D
10 2
K9 = A1 + D + N1 , T K9 ? S + D, N1
11 2
K10 = A3 + N1 , T K10 ? S + D, A1 + 3D, N2
12 2
K11 = A3 + N1 , T + ?Y1 , ? = ±1 K11 ? 2S ? A1 ? D, N2
13 2
K12 = J12 , J34 K12 ? S
14 2
K13 = J12 , J13 , J23 K13 ? S
15 2
K14 = J23 , J24 , J34 K14 ? S
16 2
K15 = A1 + D + Y1 ? ?N1 , 2A3 + ?t , K15 ? Y1 ? ?N1
17 2
? = ±1 2



Предложение 4. Пусть L — не расщепляемая подалгебра алгебры AO(2, 2),
L?V = 0 и dim L > 1. Тогда L P (2, 2)-сопряжена одной из следующих подалгебр:

3) A3 + N1 , T ± Y1 ;
1) 3A1 + D, T + Y1 ; 2) A1 + D + N1 , T ;
4) A3 + N1 , T ; 5) 3A1 + D, T + Y1 , A3 ;
6) A1 ? D + N2 , A3 , T ; 7) A1 + D + Y1 ± N1 , 2A3 ? T .
54 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко

Используя предложения 3 и 4, получаем классификацию с точноcтью до
P (2, 2)-сопряженности максимальных подалгебр L ? AP (2, 2) ранга 2 и 3, удов-
летворяющих условию L ? V = 0. Результаты приведены в табл. 3.
?
5. Максимальные подалгебры ранга 3 и 4 алгебры AP (2, 2). В настоящем
?
пункте определяем максимальные подалгебры ранга 3 и 4 алгебры AP (2, 2), не
содержащиеся в AP (2, 2) и удовлетворяющие условию L ? V = 0. Центральное
место занимает следующее предложение.
?
Предложение 5. Пусть L — максимальная подалгебра ранга r алгебры AP (2, 2).
Тогда L ? AP (2, 2) или L = K ? S , где K — максимальная подалгебра ранга
r ? 1 алгебры AP (2, 2), S = S + X, X ? AP (2, 2).
Предложение 5 доказывается на основе теоремы об универсальном инварианте.
Используя предложение 5 и табл. 3, находим список максимальных подалгебр
?
ранга 3 и 4 алгебры AP (2, 2), имеющих нулевое пересечение с пространством V и
не содержащихся в AP (2, 2).
?
Теорема 1. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 3 или 4 алгебры AP (2, 2)
?
с ненулевой проекцией на S и L ? V = 0. Тогда L P (2, 2)-сопряжена с одной
из следующих алгебр:

L1,1 = AO(2, 2) ? S ; L2,1 = L2 ? 3S ? D ;
1) 2)
K1,1 = K1 ? S +?A1 , ? ? 0; K1,2 = K1 ? S +?(A2 +A3 ) , ? > 0;
3) 4)
K1,3 = K1 ? S + A3 ; K2,1 = K2 ? S + ?D , ? ? 0, ? = 1;
5) 6)
K3,1 = K3 ? S ; K4,1 = K4 ? S + ?D ;
7) 8)
K5,1 = K5 ? S + ?D ; K6,1 = K6 ? S ;
9) 10)
K7,1 = K7 ? S + ?D ; K7,2 = K7 ? S + D + N2 ;
11) 12)
K8,1 = K8 ? 3S ? D ; K9,1 = K9 ? S + D + ?N1 ;
13) 14)
K10,1 = K10 ? S +D+N2 ; K10,2 = K10 ? S + ?A1 + (1 + 3?)D ;
15) 16)
K10,3 = K10 ? 2S ?A1 ?D ; K11,1 = K11 ? 2S ?A1 ?D (? = ±1);
17) 18)
K12,1 = K12 ? S ; K13,1 = K13 ? S ;
19) 20)
K14,1 = K14 ? S .
21)

Записанные алгебры попарно не сопряжены.

1. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1983, 336 с.
2. Баранник А.Ф., Фущич В.И., О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитар-
ных групп, Препринт 86.87, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1986, 48 с.
3. Fushchych W.I., Serov N.I., The summetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’AIembert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. and Gen., 1983, 16,
№ 15, 3645–3656.
4. Баранник Л.Ф., Симметрийная редукция и точные решения уравнения Лиувилля, Докл. АН
УССР. Сер. А, 1988, № 12, 3–5.
5. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в сб. Теоретико-алгебраические
методы исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
6. Grundland A.M., Harnad I., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Phys., 1984, 25, № 4, 791–806.
О точных решениях уравнений Даламбера и Лиувилля в R2,2 . I 55

7. Баранник Л.Ф., Лагно В.И., Фущич В.И., Подалгебры алгебры Пуанкаре AP (2, 3) и симметрий-
ная редукция нелинейного ультрагиперболического уравнения Даламбера. I, Укр. мат. журн.,
1988, 40, № 4, 411–416.
8. Баранник Л.Ф., Лагно В.И., Фущич В.И., Подалгебры алгебры Пуанкаре AP (2, 3) и симме-

<< Предыдущая

стр. 14
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>