<< Предыдущая

стр. 15
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

трийная редукция нелинейного ультрагиперболического уравнения Даламбера. II, Укр. мат.
журн., 1989, 41, № 5, 579–584.
9. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
10. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
II. The similitude group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1615–1624.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 56–62.

О точных решениях уравнений
Даламбера и Лиувилля
в псевдоевклидовом пространстве R2,2. II
В.И. ФУЩИЧ, А.Ф. БАРАННИК, Ю.Д. МОСКАЛЕНКО
Построены инварианты максимальных подалгебр ранга 3 и 4 алгебры Пуанкаре
?
AP (2, 2), являющейся максимальной алгеброй инвариантности уравнений Далам-
бера 2u + ?uk = 0, k = 1, и Лиувилля 2u + ? exp u = 0. Проведена редукция
данных уравнений по максимальным подалгебрам ранга 3 и найдены некоторые то-
чные решения этих уравнений.


Настоящая работа является продолжением статьи [1], поэтому в ней сохранены
все основные обозначения, а нумерация разделов продолжена.
6. Полные системы инвариантов максимальных подалгебр ранга 3 и 4
?
алгебры AP (2, 2). Вначале находим инварианты максимальных подалгебр ранга
2 и 3 алгебры AP (2, 2), представленных в табл. 3. Запись L: f1 (x), . . . , fs (x) бу-
дет означать, что функции f1 (x), . . . , fs (x) образуют полную систему инвариантов
алгебры L.
а) Инварианты максимальных подалгебр L ранга 2 и 3 алгебры AP (2, 2), удов-
летворяющих условию L ? V = 0:
2
L1 : ? = y1 y2 + y3 y4 ; L2 : ? = 2(y1 y2 + y3 y4 ) + y1 /y4 ;
K1 : ? 1 = y 1 y 2 + y 3 y 4 ; ?2 = y2 /y4 ;
(1??)(1+?)
K2 : ?1 = y1 y2 + y3 y4 ; ?2 = y2 y4 ;
K3 : ?1 = y1 y2 + y3 y4 ; ?2 = y3 y4 ;
= y2 /y4 ? ln y4 ;
K4 : ?1 = y1 y2 + y3 y4 ; ?2
= 2? arctg (y2 /y4 ) ? ln(y2 + y4 );
2 2
K5 : ?1 = y1 y2 + y3 y4 ; ?2
= y1 y4 ? y2 y3 ;
K6 : ?1 = y1 y2 + y3 y4 ; ?2
K7 : ?1 = y1 y2 + y3 y4 ; ?2 = y4 ;
?1
K8 : ?1 = 2y3 y4 ? y2 y4 , ?2 = y4 (y1 + y2 y4 )2 ;
2

K9 : ?1 = y2 , ?2 = y3 y4 /y2 + ln y4 ;
K10 : ?1 = y4 , ?2 = (2y2 + y1 y4 )2 ? y4 (y1 ? 4y3 );
22

K11 : ?1 = y4 , ?2 = (2y2 + y1 y4 )2 + (2? ? y4 )(y1 ? 4y3 );
2 2

K12 : ?1 = x2 + x2 , ?2 = x2 + x2 ;
1 2 3 4
K13 : ?1 = x1 + x2 ? x3 , ?2 = x4 ;
2 2 2

K14 : ?1 = x1 , ?2 = x2 ? x2 ? x2 ;
2 3 4
?2?
K15 : ?1 = 4(y1 y2 + y3 y4 ) + ?(y1 ? ?y2 )2 , ?2 = y4 exp(y1 ? ?y2 ).

Укр. матем. журн., 1990, 42, № 9, C. 1237–1244.
О точных решениях уравнений Даламбера и Лиувилля в R2,2 . II 57

б) Инварианты максимальных подалгебр L ? AP (2, 2) ранга 3 и 4 алгебры
? (2, 2), реализующихся на множестве решений уравнения Даламбера и удовле-
AP
творяющих условию L ? V = 0:
1 1
L1,1 : u? k?1 ; L2,1 : u? k?1 ;
1
k?1 ?
K1,1 : u?1 , ? = ln ?1 ?2 ;
1
? = ? ln ?1 ? 2 arctg ?2 ;
k?1
K1,2 : u?1 ,
1
? = ln ?1 ? 2?2 ;
k?1
K1,3 : u?1 ,
1
?(1+?)
?+1
k?1
K2,1 : u?1 , ? = ln ?1 ?2 ;
1
?1
k?1
K3,1 : u?1 , ?= ;
?2
1
?+1
k?1
K4,1 : u?1 , ? = ln ?1 + 2?2 ;
1
?+1
k?1
K5,1 : u?1 , ? = ln ?1 + ?2 ;
1
2?1
k?1
K6,1 : u?1 , ?= ;
?2
?+1
1
?1
k?1
K7,1 : u?1 , ? = ln 2 ;
?2
1
?1
? ln ?2 ;
k?1
K7,2 : u?2 , ?=
?2
1
?1
k?1
K8,1 : u?1 , ? = ln ;
?2
1
?+1
? = ?2 ? ln ?1 ;
k?1
K9,1 : u?1 ,
1
?2
k?1
K10,1 : u?1 , ? = 2 + 4 ln ?1 ;
?1
2?+1
1
?2
(k?1)(2?+1)
K10,2 : u?1 , ? = ln 2(?+1) ;
?1
1
k?1
K10,3 : u?2 , ? = ?1 ;
1
k?1
K11,1 : u?2 , ? = ?1 ;
1
k?1
K12,1 : u?1 , ? = ?1 /?2 ;
1
k?1 2
K13,1 : u?1 , ? = ?1 /?2 ;
1
k?1 2
K14,1 : u?2 , ? = ?2 /?1 .
Сделаем разъяснение относительно инвариантов подалгебр. Рассмотрим, напри-
1
k?1 ?
мер, подалгебру K1,1 . Ее основные инварианты u?1 и ln ?1 ?2 . Они представле-
ны через основные инварианты соответствующей подалгебры K1 из п. a).
в) Инварианты максимальных подалгебр L ? AP (2, 2) ранга 3 и 4 алгебры
? (2, 2), реализующихся на множестве решений уравнения Лиувилля и удовле-
AP
творяющих условию L ? V = 0:
L1,1 : u + ln ?; L2,1 : u + ln ?;
?
K1,1 : u + ln ?1 , ? = ln ?1 ?2 ;
58 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко

? = ? ln ?1 ? 2 arctg ?2 ;
K1,2 : u + ln ?1 ,
? = ln ?1 ? 2?2 ;
K1,3 : u + ln ?1 ,
?1(1+?)
?+1
K2,1 : u + ln ?1 , ? = ln ?1 ?2 ;
?1
K3,1 : u + ln ?1 , ?= ;
?2
?+1
K4,1 : u + ln ?1 , ? = ln ?1 + 2?2 ;
?+1
K5,1 : u + ln ?1 , ? = ln ?1 + ?2 ;
K6,1 : u + ln ?1 , ? = 2?1 /?2 ;
?+1 2
K7,1 : u + ln ?1 , ? = ln(?1 /?2 );
? = ?1 /?2 ? ln ?2 ;
K7,2 : u + ln ?2 ,
K8,1 : u + ln ?1 , ? = ln(?1 /?2 );
?+1
? = ?2 ? ln ?1 ;
K9,1 : u + ln ?1 ,
2
K10,1 : u + ln ?1 , ? = ?2 /?1 + 4 ln ?1 ;
1 2(?+1)
2?+1
K10,2 : u + ln ?1 , ? = ln(?2 /?1 );
2? + 1
K10,3 : u + ln ?2 , ? = ?1 ;
K11,1 : u + ln ?2 , ? = ?1 ;
K12,1 : u + ln ?1 , ? = ?1 /?2 ;
2
K13,1 : u + ln ?1 , ? = ?1 /?2 ;
2
K14,1 : u + ln ?2 , ? = ?2 /?1 .

Как и в предыдущем пункте, основные инварианты рассмотренных алгебр пред-
ставлены через основные инварианты соответствующих алгебр из п. а).
?
7. Редукция по подалгебрам алгебры AP (2, 2). Пусть L — максимальная
?
подалгебра ранга 3 алгебры AP (2, 2), представленная в п. б), ?(x) — основные ин-
варианты L. Инвариант ? (x, u) записываем в виде u/f (x) и рассматриваем анзац
u = f (x)?(?(x)). Подставляя его в уравнение Даламбера, получаем редуцирован-
ное уравнение

f (??)2 ? + (2?f · ?? + f · 2?)? + 2f · ? + ?f k ?k = 0,
? ?

где
2 2 2 2
?? ?? ?? ??
? ?
2
(??) = + ,
?x1 ?x2 ?x3 ?x4
?f ?? ?f ?? ?f ?? ?f ??
?f ?? = ? ?
+ .
?x1 ?x1 ?x2 ?x2 ?x3 ?x3 ?x4 ?x4
?
Пусть далее L — максимальная подалгебра ранга 3 алгебры AP (2, 2), пред-
ставленная в п. в), ? (x, u), ?(x) — основные инварианты L. Инвариант ? (x, u)
записываем в виде u ? g(x). Подставляя анзац u = ?(?) + g(x) в уравнение Лиу-
вилля, получаем редуцированное уравнение

?(??)2 + ? · 2? + 2g + ? exp(? + g) = 0.
? ?
О точных решениях уравнений Даламбера и Лиувилля в R2,2 . II 59

Таким образом, чтобы провести редукцию уравнения Даламбера по подалгебрам из
п. б), достаточно вычислить для каждой из них (??)2 , ?f ??, 2?, 2f . Результаты
этих вычислений приведены в табл. 4, которая одновременно позволяет провести
редукцию уравнения Лиувилля по всем подалгебрам, представленными в п. в).

Таблица 4
1 1 1 1
1
(??)2 (?f )2 · 2f (?f · ??)
· 2?
Алгебра
f k?1 f k+1 fk fk
kk?1
4 4(k ? 2) 4?
4?2 4? ? ?
K1,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
4 4(k ? 2) 4?
4?2 4? ? ?
K1,2
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
4 4(k ? 2) 4
4 4 ? ?
K1,3
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
4 4(k ? 2) 4?
4(? 2 ? 1) 4(? + 1) ? ?
K2,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
4 4(k ? 2)

<< Предыдущая

стр. 15
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>