<< Предыдущая

стр. 16
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

4? 2 (? ? 1) 4? 2 ? 0
K3,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2
4 4(k ? 2) 4?
4(? 2 ? 1) 4(? + 1) ? ?
K4,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
4 4(k ? 2) 4?
4(? 2 ? 1) 4(? + 1) ? ?
K5,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
4 4(k ? 2)
?? 2 (? 2 + 4) ?2? 3 ? 0
K6,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2
4 4(k ? 2) 4?
4(? 2 ? 1) 4(? + 1) ? ?
K7,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
2
?4 4 0 0 ?
K7,2
k?1
8 8 12
16(1 + e? ) 8e? ?
K8,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
2
?4? 4 0 0 ?
K9,1
k?1
8
64 16 0 0 ?
K10,1
k?1
?
?
32?(2? + 1)? 16?(2? + 1)? 8e 2?+1
K10,2 ?
0 0
?? ??
?e 2?+1 ?e 2?+1 k?1
8? 2
32? 16(k ? 3)?
0 0 ? ?
K10,3
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
8(? 2 ? 2?)
32? 16(k ? 3)?
0 0 ? ?
K11,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
4 4 4?
4? 2 (1 ? ?) 4?(1 ? ?) ?
K12,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
4 2(k ? 3) 4?
4? 2 (1 ? ?) 6?(1 ? ?) ? ?
K13,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1
4 3(k ? 3) 4?
4? 2 (1 + ?) 6?(1 + ?) ? ?
K14,1
(k ? 1)2 (k ? 1)2 k?1


8. Точные решения уравнения Даламбера. Используя табл. 4, получаем сле-
дующие уравнения для функции ? = ?(?):

4?(k ? 3) 4(k ? 2)
?? ? + ??k = 0;
K1,1 , K1,2 : 4?2 ? +
? ?
k?1 (k ? 1)2
60 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко

4(k ? 3) 4(k ? 2)
?? ? + ??k = 0;
K1,3 : 4? +
? ?
k?1 (k ? 1)2
4(k ? 2)
8?
Ki,1 (i = 2, 4, 5, 7): 4(? 2 ?1)? + ? +4? +4 ? ? ? + ??k = 0;
? ?
k?1 (k ? 1)2

4(k ? 2)
K3,1 : 4? 2 (? ? 1)? + 4? 2 ? ? ? + ??k = 0;
? ?
(k ? 1) 2

4(k ? 2)
K6,1 : ?? 2 (? 2 + 4)? ? 2? 3 ? ? ? + ??k = 0;
? ?
(k ? 1) 2

4(k ? 2)
K7,2 : ?4? + ? + ??k = 0;
? ?
k?1
24 8
K8,1 : 16(1 + e? )? + ? + 8e? ? + ? + ??k = 0;
? ?
k?1 (k ? 1)2

4(k ? 2)
K9,1 : ?4? ? + ? + ??k = 0;
? ?
k?1
16(k ? 2)
? + ??k = 0;
K10,1 : 64? +
? ?
k?1
16
? ?
K10,2 : 32?(2? + 1)e? 2?+1 ? + ? + 16(2? + 1) e? 2?+1 ? + ??k = 0;
?
k?1
16(k ? 3)?
16? 2
K10,3 : ? ?? ? + ??k = 0;
?
k?1 (k ? 1) 2

16(? ? 2?) 16(k ? 3)?
2
K11,1 : ? ?? ? + ??k = 0;
?
k?1 (k ? 1) 2

8? 4
K12,1 : 4? 2 (1 ? ?)? + ? + 4?(1 ? ?) ? + ? + ??k = 0;
? ?
k?1 (k ? 1)2
2(k ? 3)
8?
K13,1 : 4? 2 (1 ? ?)? + ? + 6?(1 ? ?) ? ? ? + ??k = 0;
? ?
k?1 (k ? 1) 2

2(k ? 3)
8?
K14,1 : 4? 2 (1 + ?)? + ? + 6?(1 + ?) ? ? ? + ??k = 0.
? ?
k?1 (k ? 1) 2



Используя редуцированные уравнения, выпишем некоторые решения уравнения
Даламбера. Запись L: u = u(x) будет означать, что рассматриваемое решение
u = u(x) уравнения Даламбера инвариантно относительно подалгебры L. Если L =
Km,i , то функцию u(x) представляем через основные инварианты соответствующей
подалгебры Km :

?(k ? 1)2
=?
1?k
K1,1 : u ?1 ;
4(k ? 2)
1/2
2
C?1 e? ? arctg ?2
1 8
?
K1,2 : u = v при k = 3;
2
2
? 1 ? C?1 e? ? arctg ?2
?1
1/2
C?1 e?2?2
1 8
?
K1,3 : u = v при k = 3;
? [1 ? C?1 e?2?2 ]2
?1
?(k ? 1)2 1+?
K2,1 (? = 1): u1?k = ?1 + C?2 2 ;
4(k ? 2)
О точных решениях уравнений Даламбера и Лиувилля в R2,2 . II 61

?(k ? 1)2 (k?2)(1+?)
K2,1 (? = ?1): u1?k = ?1 + C?1 ?2 2 ;
4(k ? 2)
?(k ? 1)2
?1 + Ce??2 ;
1?k
K4,1 (? = 1): u =
4(k ? 2)
?(k ? 1)2
?1 + C?1 e?(k?2)?2 ;
K4,1 (? = ?1): u 1?k
=
4(k ? 2)
?(k ? 1)2 1
?1 + Ce? 2 ?2 ;
K5,1 (? = 1): u1?k =
4(k ? 2)
?(k ? 1)2 k?2
?1 + C?1 e? 2 ?2 ;
K5,1 (? = ?1): u 1?k
=
4(k ? 2)
?(k ? 1)2
K7,1 (? = 1): u1?k = ?1 + C?2 ;
4(k ? 2)
?(k ? 1)2
K7,1 (? = ?1): u k?2
1?k
= ?1 + C?1 ?2 ;
4(k ? 2)
24 ?2
; при k = 2;
K7,2 : u =
? (?1 ? ?2 ln ?2 + ?1 C)2
24? 1
при k = 2;
K9,1 (? = 0): u = ?+1
? ?1 (?2 ? ln C?1 )2
?(k ? 1)2
(?2 ? ln ?1 ) + C
K9,1 (? = 0): u1?k = ?1 при k = 2;
4(k ? 2)
384 ?1
K10,1 : u = ? при k = 2;
2
? ?2 + ?1 ln ?1
?(k ? 1)2 ?2
1?k
K10,2 (? = 0): u = + C?1 ;
16(k ? 2) ?1
?(k ? 1)2 1 k?3
1?k
при k = 2;
K10,3 : u = ?2 + C?1
16(k ? 2) ?1
16?1
при k = 2;
K10,3 : u =
(C ? ? ln ?1 )?2
?(k ? 1)2 d?1
k?3
?2 (?1 ? 2?) 2
K11,1 : u1?k = k?1 .
(?1 ? 2?) 2
16 2



9. Точные решения уравнения Лиувилля. Любое решение уравнения Лиу-
вилля, инвариантное относительно подалгебры P1 + P4 , имеет вид u = ?(x1 ? x4 ,
x2 , x3 ). В результате получаем следующее редуцированное уравнение: ? 2 ?/?x2 ?
2
2 2 ?
? ?/?x3 + ?e = 0. Отсюда вытекает, что общее решение u, инвариантное отно-
сительно P1 + P4 , имеет вид

8 fy2 (y2 , y3 )gy4 (y2 , y4 )
u = ln ? ,
? [f (y2 , y3 ) + g(y2 , y4 )]2

где f , g — произвольные дифференцируемые функции, fy2 — производная по ар-
гументу y2 , gy4 — производная по аргументу y4 и ?fy2 gy4 < 0.
Рассмотрим далее редуцированные уравнения, соответствующие анзацам u =
?(?) + g(x). Используя табл. 4, получаем следующие уравнения для функции
62 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко

? = ?(?):

<< Предыдущая

стр. 16
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>