<< Предыдущая

стр. 17
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

K1,1 , K1,2 : 4?2 ? + 4?? + ? exp ? ? 4 = 0;
? ?
K1,3 : 4? + 4? + ? exp ? ? 4 = 0;
? ?
Ki,1 (i = 2, 4, 5, 7): 4(? 2 ? 1)? + 4(? + 1)? + ? exp ? ? 4 = 0;
? ?
K3,1 : 4? 2 (? ? 1)? + 4? 2 ? + ? exp ? ? 4 = 0;
?
K6,1 : ?? 2 (? 2 + 4)? ? 2? 3 ? + ? exp ? ? 4 = 0;
? ?
K7,2 : ?4? + 4? + ? exp ? = 0;
? ?
K8,1 : 16(1 + e? )? + 8e? ? + ? exp ? = 0;
? ?
K9,1 : ?4? ? + 4? + ? exp ? = 0;
? ?
K10,1 : 64? + 16? + ? exp ? = 0;
? ?
?
K10,2 : 16(2? + 1)e? 2?+1 [2?? + ?] + ? exp ? = 0;
??
K10,3 , K11,1 : ?16? + ? exp ? = 0;
K12,1 : 4? 2 (1 ? ?)? + 4?(1 ? ?)? + ? exp ? = 0;
? ?
K13,1 : 4? 2 (1 ? ?)? + 6?(1 ? ?)? + ? exp ? ? 2 = 0;
? ?
K14,1 : 4? 2 (1 + ?)? + 6?(1 + ?)? + ? exp ? ? 2 = 0;
? ?
Выпишем некоторые точные решения уравнения Лиувилля:
? 1+?
2
4C?2
K2,1 (? = 1): u = ln ;
? 1+?
?C?1 ?2 2
1+
?2
4Ce
K4,1 (? = 1): u = ln ;
1 + ?C?1 e?2
1
4Ce 2 ?2
K5,1 (? = 1): u = ln ;
1
1 + ?C?1 e 2 ?2
4C
K7,1 (? = 1): u = ln ;
?2 + ?C?1
16?1
K10,2 (? = 0): u = ln 2;
??2 + C?1
16 ?1
K10,3 , K11,1 : u = ln ;
? ?2
?
K9,1 (? = 0): u = ? ln (?2 ? ln ?1 )?1 + C?1 .
4


1. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Москаленко Ю.Д., О точных решениях уравнений Даламбера и
Лиувилля в псевдоевклидовом пространстве R2,2 . I, Укр. мат. журн., 1990, 41, № 8, 1122–1128.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 63–66.

Условная инвариантность нелинейного
уравнения Шредингера
В.И. ФУЩИЧ, В.И. ЧОПИК
Conditional invariance of multidimensional nonlinear Schr?dinger equation is investi-
o
gated. It is proved, that symmetry of the nonlinear Schr?dinger equation is essentially
o
extented in the case of some nonlinear additional conditions on solutions.

Рассмотрим нелинейное уравнение Шредингера
i?0 + ??? + F (|?|)? = 0;
? = ?(x0 , x), x0 ? t, x = (x1 , . . . , xn ),
(1)
??
, ? = (??? )1/2 , n ? N,
?0 =
?x0
F (?) — произвольная гладкая функция, ? = const.
В [1] детально исследованы симметрийные свойства нелинейного уравнения (1).
Теорема 1. Уравнение (1) инвариантно относительно следующих алгебр:
• для произвольной гладкой функции F (|?|) базисные элементы алгебры
инвариантности AG(1, n) имеют вид
? ? ? ?
? ??
P0 = , Pa = , a = 1, n, Q=i ? ,
???
?x0 ?xa ?? (2)
1
Jab = xa Pb ? xb Pa , b = 1, n;
Ga = x0 Pa + xa Q,
2?
• для функции
4
F (|?|) = ?|?|? ? , ? ? R1 , (3)
? = const,
базисные элементы алгебры инвариантности AG1 (1, n) задаются формулой
(2) и оператор масштабных преобразований имеет вид
? ? ?
+ ?? (4)
D = 2x0 P0 + xa Pa + I, I=? ;
???
2 ??
• для функции F (|?|) = ?|?|4/n , n — число пространственных перемен-
ных, базисные элементы алгебры инвариантности уравнения (1) AG2 (1, n) ?
AG1 (1, n) задаются формулами (2), (4) и оператором проективных преобразо-
ваний
x2 n
Q ? x0 I.
x2 P0 (5)
A= + x0 xa Pa +
0
4? 2
В настоящей работе показано, что симметрию уравнения (1) можно существен-
но расширить, если воспользоваться понятием условной инвариантности (см. [2–
5]).
Доклады АН УССР, Сер. А, Физ.-мат. и тех. науки, 1990, № 4, C. 30–33.
64 В.И. Фущич, В.И. Чопик

Представим нелинейность F (|?|) в уравнении (1) в виде
(6)
F (|?|) = F1 (|?|) + iF2 (|?|),
где F1 , F2 — действительные функции, i2 = ?1.
Предположим, что в (6) F2 = 0. Тогда справедлива
Теорема 2. Уравнение (1) условно инвариантно относительно алгебры AG(1, n)
и оператора
? ? ? ?
? ?? + xa Pa ? (7)
R = ln ? I, ? = const,
?? ???
?? 1
если F1 (|?|) имеет вид
4 4
F1 (|?|) = ?1 |?|? ? + ?2 |?| ? , ?1 , ?2 ? R1 (8)
и функция ? удовлетворяет уравнению
?+4
??|?| + ?2 |?| (9)
= 0,
?



где ? = 0.
Для доказательства теоремы необходимо найти второе продолжение оператора
R и подействовать им на уравнение (1).
Утверждение. Оператор R порождает следующие конечные преобразования:
xa = exp{? } · xa ,
x0 = x0 ,
exp{2? }
(10)
2
?? ?
? = exp ? |?| ,
??
2
где ? — групповой параметр.
Теорема 3. Система уравнений
4
i?0 + ??? + ?2 |?| ? ? = 0;
(11)
4+?
??|?| + ?2 |?| =0
?


инвариантна относительно AG2 (1, n), дополненной оператором (7), где ? = n.
Обобщенную алгебру Галилея AG2 (1, n), дополненную оператором R, обозна-
чим символом AG3 (1, n).
Теорема 4. Переопределенная система уравнений
4
i?0 + ??? + ?1 |?|? ? ? = 0;
(12)
?|?| = 0
инвариантна относительно AG3 (1, n) при ? = ?n.
Для доказательства этих теорем к системам уравнений (11), (12) необходимо
применить алгоритм С. Ли.
Теперь предположим, что в уравнении (1) с нелинейностью (6) F1 ? 0, т. е.
F = iF2 . Потребуем инвариантность уравнения (1) относительно оператора
? ? ?
? ??
R0 = ln (13)
? + xa Pa ,
?? ???
??
Условная инвариантность нелинейного уравнения Шредингера 65

получаемого из (7) при ? = 0.
Теорема 5. Уравнение Шредингера (1) с нелинейностью (6) и F1 ? 0 при прои-
звольной гладкой функции F = iF2 инвариантно относительно оператора R0 ,
если его решение ? удовлетворяет дополнительному условию

(14)
?|?| = 0.

Замечание. Если потребовать условную инвариантность уравнения (1) с нелиней-
ностью (6) при F1 ? 0 относительно оператора (7), то получим, что F ? 0.
Теорема 6. Система уравнений
4
i?0 + ??? + i?3 |?| n ? = 0;
(15)
?|?| = 0, ?3 ? R1

инвариантна относительно AG3 (1, n), где оператор R имеет вид (7) при ? = 0.
Итак, с помощью дополнительных условий, налагаемых на решения уравнения
Шредингера, мы расширили симметрию уравнения (1).
Приведем некоторые примеры использования операторов условной симметрии
для нахождения точных решений уравнения Шредингера.
Условная инвариантность уравнения (1) относительно операторов (7), (13) по-
зволяет находить решения данного уравнения в виде

? = f (x0 , x)?1 (?i ){?2 (?i )}ig(x0 ,x) , (16)

где ?1 , ?2 — функции от новых инвариантных переменных ?i , которые подлежат
определению. Анзац (16) редуцирует систему уравнений (11), (12), (15) к набору
уравнений с меньшим числом переменных.
Если в (16) функции
?2 ?n
A
?1 (?i ) = ?12 exp ,..., ,
?1 ?1
(17)
i 1 1
?2 (?i ) = exp ± + ··· + 2 ,
2
4? ?1 ?n
где
1
(x2 + 1) 2 exp{? · arctg x0 }
?i = 0 ,
xi
(18)
?·n±i
, 2A + A2 = 0,
A= ? = const,
?±i
то эта формула определяет решение линейного уравнения Шредингера для случая
n пространственных переменных. В (17) ? — произвольная гладкая функция от
n ? 1 переменных, а функции f и g соответственно имеют вид

ix2 x0 n
?n
2 + 1 ? 2 ? · arctg x0 ,
(x2 (19)
f= + 1) exp
4
0
4? x0

g = exp{2? · arctg x0 }. (20)
66 В.И. Фущич, В.И. Чопик

Частным точным решением системы (11) для случая, когда n = 1 является
функция
1
2
?3? 1 x2 ix2 x0
· exp ± (21)
?= + .
4?(x2 + 1) 4? x2 + 1
4? 2 x 0 0

Следует подчеркнуть, что решение (21) нелинейного уравнения Шредингера
найдено за счет оператора условной симметрии R, т. е. формула (16) задает нели-
евский анзац.

1. Fushchych W.I., Serov N.I., On some exact solutions of the three-dimensional nonlinear Schr?dinger
o
equation, J. Phys. A: Math. and Gen., 1987, 20, L929–L933.

<< Предыдущая

стр. 17
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>