<< Предыдущая

стр. 18
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2. Fushchych W.I., Tsifra I.M., On a reduction and solutions of nonlinear wave equations with broken
symmetry, J. Phys. A: Math. and Gen., 1987, 20, L45–L48.
3. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
4. Фущич В.И., Серов Н.И., Чопик В.И., Условная инвариантность и нелинейные уравнения те-
плопроводности, Докл. АН УССР, Сер. А, 1988, № 9, 17–20.
5. Фущич В.И., Штелень В.M., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 67–70.

Условная инвариантность и точные
решения трехмерных нелинейных
уравнений акустики
В.И. ФУЩИЧ, В.И. ЧОПИК, П.И. МИРОНЮК
The conditional invariance of the nonlinear acoustics equations is investigated. Using the
conditional symmetry the Khokhlov–Zabolotskaja equation is reduced to the differential
equations with smaller dimension and its exact solutions are obtained.

1. Рассмотрим уравнение
u01 ? (f (u)u1 )1 ? u22 ? u33 = 0,
?2u (1)
?u
f (u) = const, ui ? , uij ? ,
?xi ?xi ?xj
частным случаем которого является известное уравнение нелинейной акустики
ограниченных звуковых пучков (уравнение Хохлова–Заболотской) [1]:
u01 ? (uu1 )1 ? u22 ? u33 = 0. (2)
В [2] методом Ли найдена симметрия уравнения (2) и показано, что симмет-
рия (2) есть бесконечномерная алгебра. Из этой алгебры можно выделить коне-
чную замкнутую подалгебру с операторами
Qµ+1 = ?µ , µ = 0, 3, Q5 = x3 ?2 ? x2 ?3 , Q6 = x2 ?1 + 2x0 ?2 ,
(3)
Q7 = x3 ?1 + 2x0 ?3 , Q8 xµ ?µ ,

Q9 = ux0 ?0 + 2x1 ?1 + 3x2 ?2 + 3x3 ?3 ? 2u?u , Q10 = x0 ?1 ? ?u . (4)

Условную инвариантность одномерного уравнения акустики вида u00 = uu11
исследовано в [3].
В данной работе изучается условная симметрия уравнений (1), (2). Для этого
используем понятия, введенные в [4, 5].
Сначала опишем дифференциальные уравнения первого порядка вида
f (x, u, u) = 0, (5)
1

которые имеют более широкую симметрию, чем алгебра, порождаемая операторами
(3), (4).
Теорема 1. Для того, чтобы уравнение (5) допускало алгебру Ли, порождаемую
(3), (4), необходимо и достаточно, чтобы (5) имело вид
u0 u1 ? uu2 ? u2 ? u2 = 0. (6)
1 2 3

Исследуем максимальную (в смысле Ли) симметрию этого уравнения.
Доклады АН УССР, Сер. А, Физ.-мат. и тех. науки, 1990, № 9, C. 25–28.
68 В.И. Фущич, В.И. Чопик, П.И. Миронюк

Теорема 2. Уравнение (6) инвариантно относительно бесконечномерной алге-
бры с оператором

X = ai (u)Qi , (7)
i = 1, 16,

где ai (u) — произвольные гладкие функции, Qj , j = 1, 10, имеют вид (3), (4),

(8)
Q11 = x2 ?0 + 2(x1 + 2ux0 )?2 , Q12 = x3 ?0 + 2(x1 + 2ux0 )?3 ,

Q13 = 4x0 Q8 ? a(x, u)?1 , Q14 = 2x2 Q8 + a(x, u)?2 ,
Q15 = 2x3 Q8 + a(x, u)?3 , Q16 = 4(ux0 + x1 )Q8 ? a(x, u)(?0 ? u?1 ), (9)
a(x, u) ? 4ux2 + 4x0 x1 ? x2 ? x2 .
0 2 3

Доказательство теорем проводится по схеме, изложенной в [5].
2. Перейдем к изучению условной инвариантности уравнений (2). Наложим на
решения уравнения (2) дополнительное условие (6). Тогда имеет место
Теорема 3. Уравнение (2) при дополнительном условии (6) инвариантно отно-
сительно бесконечномерной алгебры с оператором

X = ai Qi , (10)
i = 1, 12,

где ai = ai (u) — произвольные гладкие функции, Qi заданы формулами (3),
(4), (8).
Для уравнения (1) справедлива
Теорема 4. Уравнение (1) при произвольной функции f (u) инвариантно отно-
сительно 8-мерной алгебры Ли с базисными операторами Qi (i = 1, 8) вида (3).
Если на решения уравнения (1) наложить дополнительное условие

u0 u1 ? f (u)u2 ? u2 ? u2 = 0, (11)
1 2 3

то имеет место
Теорема 5. Уравнение (1) при условии (11) допускает бесконечномерную алгебру
Ли с оператором

X = ai Ri , i = 1, 12,

где ai ? ai (u) — произвольные гладкие функции, а для Ri имеем Rj = Qj ,
j = 1, 8 (см. (3)),
f
R9 = 4x0 ?0 + 2x1 ?1 + 3x2 ?2 + 3x3 ?3 ? 2 ?u , R10 = f (u)x0 ?1 ? ?u ,
f (12)
R11 = x2 ?0 + 2(x1 + 2f (u)x0 )?2 , R12 = x3 ?0 + 2(x1 + 2f (u)x0 )?3 .

Для доказательства теорем 3–5 необходимо использовать алгоритм С. Ли [5].
Замечание. Система (1), (11) заменой v = f (u) сводится системе уравнений
(2), (6).
3. Используя приведенные теоремы, можно провести редукцию и найти точные
решения системы (2), (6) и тем самым получить решение уравнения (2).
Условная инвариантность и точные решения уравнений акустики 69

Для примера рассмотрим оператор
X = ?0 ? a(u)?1 , (13)
который входит в алгебру (10) (a(u) — произвольная функция). По этому опера-
тору строим анзац [5]
(14)
u = ?(?1 , ?2 , ?3 ), ?1 = a(u)x0 + x1 , ?2 = x2 , ?3 = x3 .
Заметим, что этот анзац нельзя получить с помощью алгебры симметрии урав-
нения (2), поскольку это уравнение без дополнительного условия (6) неинвариан-
тно относительно оператора (13). Подстановку (14) естественно назвать условным
анзацем для уравнения (2). Подставляя (14) в (2), (6), получим редуцированную
систему:
?11 [a(?) ? ?] ? ?22 ? ?33 + [a (?) ? 1]?2 = 0,
1
(15)
[a(?) ? ?]?1 ? ?2 ? ?3 = 0
2 2 2


где
?2?
??
?i ? ?ii ?
, 2, i = 1, 3,
??i ??i
которую можно решить, конкретизируя функцию a(u).
Для иллюстрации рассмотрим два случая.
Пусть a(u) ? u. Система (15) перепишется в виде
?22 + ?33 = 0,
(16)
?2 + ?2 = 0.
2 3

Общее решение системы (16) имеет вид:
?(?1 , ?2 , ?3 ) = ?(?1 , ?2 ± i?3 ), (17)
где ? — произвольная гладкая функция.
Подставляя (17) в (14), получаем решение уравнения (2)
u = ?(ux0 + x1 , x2 ± ix3 ). (18)
Пусть a(u) ? u + 1. Система (15) запишется как
?11 ? ?22 ? ?33 = 0,
(19)
?2 ? ?2 ? ?2 = 0.
1 2 3

В [6] найдено общее решение системы (19)
(20)
?(?) = l(?)?1 + m(?)?2 + n(?)?3 ,
где ?(?) — произвольная функция, функции l(?), m(?), n(?) удовлетворяют усло-
вию
l2 (?) ? m2 (?) ? n2 (?) = 0, m2 (?) + n2 (?) = 0.
Выразив из (20) ? и подставив в (14), получим решение уравнения (2).
70 В.И. Фущич, В.И. Чопик, П.И. Миронюк

Операторы Q11 , Q12 из (8) порождают следующие конечные преобразования:
x0 = ?(x, u, a), x = (x0 , x1 , x2 , x3 ), x1 = x1 , x2 = ?(x, u, a),
(21)
x3 = ?(x, u, a), u = u.
В (21) для оператора Q11 выполняется
v v
1 x1 + 2x0 u x1
?(x, u, a) ? v v ch(2 ua) + x2 sh(2 ua) ? ,
2u
2u u
(22)
v v
x1 + 2x0 u
v
?(x, u, a) ? sh(2 ua) + x2 ch(2 ua), ? ? 1,
u
a для оператора Q12 соответственно
v v
1 x1 + 2x0 u x1
?(x, u, a) ? v v ch(2 ua) + x3 sh(2 ua) ? ,
2u
2u u
(23)
v v
x1 + 2x0 u
v
? ? 1, ?(x, u, a) ? sh(2 ua) + x3 ch(2 ua).
u
Отметим, что уравнение (2) без дополнительного условия (6) неинвариантно
относительно операторов Q11 , Q12 . Система (2), (6) инвариантна относительно
преобразований (22), (23). А это значит, что справедлива следующая формула
размножения решений уравнения (2): если u1 — решение системы (2), (6), то
новое решение u2 строится согласно формуле
u2 = u1 {?(x, u2 , a), x1 , ?(x, u2 , a), ?(x, u2 , a)}. (24)

В (24) ?(x, u2 , a), ?(x, u2 , a), ?(x, u2 , a) имеют вид (22), (23).

1. Руденко О.В., Солуян С.И., Теоретические основы нелинейной акустики, М., Наука, 1975, 320 с.
2. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В., Введение в геометрию нелинейных диффе-
ренциальных уравнений, М., Наука, 1986, 336 с.
3. Фущич В.И., Серов Н.И., Условная инвариантность и точные решения нелинейного уравнения
акустики, Докл. АН УССР, 1988, № 10, 28–33.
4. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
5. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1988, 336 с.
6. Collins С.В., Complex potential equations. I. A technique for solution, Math. Proc. Cambridge Phil.
Soc., 1976, 80, № 1, 165–187.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 71–80.

О новой математической модели
процессов теплопроводности
В.И. ФУЩИЧ, А.С. ГАЛИЦЫН, А.С. ПОЛУБИНСКИЙ
Для математического описания процессов теплопроводности и диффузии предло-
жено новое дифференциальное уравнение в частных производных 4-го порядка
Lu ? ?1 L1 u + ?2 L2 u = 0, где L2 = L1 L1 , L1 — классический оператор тепло-
проводности, инвариантное относительно группы Галилея. Установлено интеграль-
ное представление решения краевой задачи, изучены решения задачи Коши и типа
бегущей волны, а также решения со степенным и степенным граничным режимом с
обострением.


В настоящей статье для описания тепловых и диффузионных процессов пре-
дложено новое дифференциальное уравнение в частных производных четвертого
порядка, инвариантное относительно группы Галилея. При определенном задании
параметров предложенная модель более адекватно, чем классическое уравнение
параболического типа, описывает эти процессы и позволяет исследовать их специ-
альные режимы.
1. Введение. Математическая теория теплопроводности распределенных систем
основана на классическом линейном уравнении параболического типа

L1 u ? (?/?t ? ? 2 ?2 )u(x, t) = 0, (1)

где x = (x1 , x2 , . . . , xn ), ? > 0 — физическая константа, характеризующая среду,
?2 — оператор Лапласа. В нем постулированы такие жесткие условия на процессы,
как бесконечная скорость распространения возмущений, линейная зависимость
потока от градиента поля и энергии от температуры.
При нарушении этих условий уравнение (1) не вполне корректно описывает
процессы тепломассопереноса и приводит к ряду известных парадоксов [1–3]. В
связи с этим для описания процессов с конечной скоростью ряд авторов предложил
вместо (1) использовать уравнение гиперболического типа [2, 4]

(?/?t + ?r ? 2 /?t2 ? ? 2 ?2 )u(x, t) = 0, (2)

где ?r — время релаксации теплового потока (малый параметр). Замена уравнения
(1) на (2) является принципиальной, но трудно объяснимой с теоретико- группо-
вой точки зрения. Дело в том, что требование инвариантности уравнения относи-
тельно той или иной группы преобразований позволяет из множества уравнений,
пригодных для математического описания физического процесса, выделить только
такие, которые обладают соответствующими симметрийными свойствами и, таким
образом, отражают основные физические законы сохранения. В связи с этим не-
обходимо отметить, что уравнение (1) инвариантно относительно преобразований
Галилея xa = xa + va t, va , a = 1, 2, 3, — скорость инерциальной системы отсчета
Укр. матем. журн., 1990, 42, № 2, C. 237–245.
72 В.И. Фущич, А.С. Галицын, А.С. Полубинский

K относительно системы K, а это означает, что для него выполняется фундамен-
тальный классический принцип относительности Галилея (описанию линейных и
нелинейных параболических уравнений, инвариантных относительно группы Га-
лилея, посвящены работы [5, 6]. В то же время для гиперболического уравне-
ния (2) должен выполнятся принцип относительности Пуанкаре–Эйнштейна (бо-
лее подробно см., например, [5]). Однако все известные математические модели
для oписания процессов тепломассопереноса, основанные на дифференциальных
уравнениях второго порядка по временной переменной, не инвариантны относи-
тельно преобразований Галилея, причем для большинства из них не выполняются
ни принцип Галилея, ни принцип Пуанкаре–Эйнштейна.
В статье [5] указано на одно естественное обобщение уравнения (12)

<< Предыдущая

стр. 18
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>