<< Предыдущая

стр. 19
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Lu ? ?1 L1 u + ?2 L2 u = 0, (3)
L2 = L1 L1 ,

где ?1 и ?2 — некоторые вещественные параметры.
Уравнение (3) инвариантно относительно группы Галилея G(1, 3) поэтому пред-
положим, что оно может быть использовано для описания тепловых и диффузи-
онных процессов, не зависящих от того, в каких инерциальных системах они
наблюдаются.
Уравнение (3) в дальнейшем будем называть бипараболическим уранением те-
плопроводности.
2. Определяющие соотношения. Уравнение (3) может быть получено из урав-
нения сохранения энергии

(4)
?e/?t = div q = 0,

если задать энергию e и поток q соотношениями

e = e0 + cv (u ? u0 ) + ??(?u/?t, ?2 u),
(5)
q = ?? grad u ? µ grad ?(?u/?t, ?2 u),

где ? — коэффициент теплопроводности, cv — теплоемкость, ? и µ — отличные от
нуля постоянные параметры, ? и ? — некоторые скалярные функции. Очевидно,
что при ? = µ = 0 соотношения (5) приводят к классическому уравнению (1).
Положим в (5) ? = ?u/?t?a cv ?2 u, ? = b?u/?t? cv ?2 u, a, b = const > 0. Тогда
? ?

из (4) получим эволюционное уравнение четвертого порядка по пространственным
переменным и второго порядка по t

?u ? ?u a? bµ ?2 ?µ 2 2
? ?2 u + ? ? ? u+ ? ? u = 0. (6)
cv +
?t cv ?t cv ? ?t cv ?

Заданием параметров a, b, µ и ? из (6) можно получить несколько новых уравнений
теплопроводности, содержащих как частный случай классическое уравнение (1).
Для нас наибольший интерес представляет уравнение, следующее из (6) и при-
нимающее вид (3), где ? 2 = ?/cv , причем L1 ? ?/?t ? ? 2 ?2 , L2 ? (?/?t ?
? 2 ?2 )(?/?t ? ? 2 ?2 ). Оно очевидно, соответствует определяющим соотношениям
для энергии и потока

e = e0 + cv (u ? u0 ) + ?L1 u, q = ?? grad u ? µ grad L1 u.
О новой математической модели процессов теплопроводности 73

3. Фундаментальное решение оператора L. Фундаментальным решением би-
параболического уравнения (3) назовем обобщенную функцию G?1 ?2 (R, ? ), удов-
летворяющую уравнению
LG ? ?1 L1 G + ?2 L2 G = 4??(R)?(? ), (7)
где ? — дельта-функция, R = r ? r0 , ? = t ? t0 , x ? En . Представляя G в виде
интеграла Фурье
1
ei(R·?) g(?, ? )d?,
G(R, ? ) =
(2?)n En

где ? = (?1 , ?2 , . . . , ?n ) ? En , из (7) получаем обыкновенное дифференциальное
уравнение
?2 g + (2?2 ? 2 ? 2 + ?1 )g + ? 2 ? 2 (?2 ? 2 ? 2 + ?1 )g = 4??(? ),
решение которого имеет вид
4? ?1 22
1 ? e? ?2 ? e?? ? ? ?(? ),
g(?, ? ) =
?1
где ?(? ) — единичная функция Хевисайда. Следовательно, при ?1 = 0, ?2 < ?
?1
4??(? ) 1 ? e? ?2 ? ? R2
2
v (8)
G?1 ?2 (R, ? ) = e 4? ? ,
?1 (2? ?? )n
а в случае, когда ?1 = 0, ?2 = 1
?R2
4??(? )
v (9)
4? 2 ? .
G0,1 (R, ? ) = ?e
(2? ?? )n
Пусть Q(R, ? ) — фундаментальное решение классического оператора L1 [1].
Сравнивая его с (8) и (9), видим, что
?1
1 ? e? ?2 ?
G?1 ?2 (R, ? ) = Q(R, ? ), G0,1 (R, ? ) = ? Q(R, ? ).
?1
1?e??1 ? /?2
> 1 при > 0, то
?1 ?
Поскольку ?1 ? /?2 ?2

? 1
G?1 ?2 (R, ? ) > Q(R, ? ) = G0,1 (R, ? )
?1 >0 ?2 ?2
и, кроме того,
G?1 ?2 (R, ? ) > G0,1 (R, ? ), G?1 ?2 (R, ? ) > Q(R, ? ).
? >?
? >0

Следовательно, при достаточно малых ? фундаментальное решение операто-
ра L ведет себя по ? как фундаментальное решение оператора L2 , a для достато-
чно больших ? его характер определяется поведением фундаментального решения
оператора L1 . Дальнейший асимптотический анализ фундаментального решения
оператора L при ? > ? показывает, что для R = 0
0, если sgn ?1 = sgn ?2 ,
lim G?1 ?2 (R, ? ) =
?, если
? >? sgn ?1 = sgn ?2 ,
74 В.И. Фущич, А.С. Галицын, А.С. Полубинский

причем
?
?, если ? n = 1,
?
1/?, если n = 2,
lim G0,1 (R, ? ) =
?
? >? ?
0, если n = 3, 4, . . . .

4. Интегральные формулы. Пусть ? ? En — односвязная область с доста-
точно гладкой границей ?, n — орт внешней конормали к ?, ?T = {x ? ?, 0 <
t < T } — цилиндр высоты t > 0 в пространстве En+1 = En ? (?? < t < ?),
? ? ? ?? ?
LP,t ? ?1 1L1 + ?2 L2 , MP,t = ?1 L1 + ?2 L2 , где L2 = L1 L1 , L1 = ??/?t ? ? 2 ?2 ,
т. е. оператор MP,t сопряжен в смысле Лагранжа с оператором LP,t (индекс P
указывает на то, что оператор ?2 действует по координатам точки P ? ?).
?
Обозначим через C 2k,k (?T ), где целое число k ? 1, множество всех непрерыв-
ных в ?T функций u(x, t), x = (x1 , . . . , xn ), у которых существуют непрерывные
? m1 +···+mn +l
в ?T производные ?xm1 ···?xmn ?tl u при всех целых неотрицательных m1 , . . . , mn и
n
1
l, m1 + · · · + mn + 2l ? 2k.
Тогда для любых u, v ? C 4,2 (?T ) при 0 ? t < T имеет место формула
t t
?u ?v
(vLP0 ,? u ? uMP0 ,? v)d?0 = ?1 d?0 ?
d? d? v +u
?? ??
0 ? 0 ?
t t
?2u ?2v
? ?1 ? 2 (v?2 u ? u?2 v)d?0 + ?2 v 2 + u 2 d?0 ?
d? d?
?? ??
0 ? 0 ?
t
?2 ?
? 2?2 ? 2 ? u + u ?2 v d?0 +
d? v
?? ??
0 ?
t
+ ?2 ? 4 v?2 ?2 u ? u?2 ?2 v d?0 .
d?
0 ?

Интегрируя по частям и используя формулы Грина–Остроградского, получаем
t
?u ?v
(vLP0 ,? u ? uMP0 ,? v)d?0 = ?u
d? ?1 uv + ?2 v +
?t ?t
0 ? ?
t
? =t ?u ?v
+ 2?2 ? (?u · ?v) d?0 ? ?1 ? ?u d?0 ?
2 2
d? v
?n0 ?n0
? =0 0 ?
(10)
t
?u ?v
? ?? ? v? ? u? d?0 ?
4
d?
?n0 ?n0
0 ?
t
? ?u ? ?v
? 2?? ? ? 2 ?2 u + u + ? 2 ?2 v
2
d? v d?0 ,
? ?
?n0 ?? ?n0 ??
0 ?

где ? — оператор Гамильтона, ?2 — сужение ?2 на границу.
?
Формулу (10) будем называть интегральной формулой типа Грина для бипара-
болического оператора L. При решении начально-граничных задач для уравнения
(3) она играет ту же роль, что и аналогичная формула для оператора теплопро-
водности L1 [7], к которой она сводится при ?1 = 1, ?2 = 0. В частности, (10)
позволяет указать корректные для оператора L граничные и начальные условия.
Из формулы (10) при ?1 = 0, ?2 = 1 сразу же вытекает соответствующая формула
для оператора L2 .
О новой математической модели процессов теплопроводности 75

5. Интегральное представление решения краевой задачи. Рассмотрим нео-
днородное уравнение
(11)
Lu(x, t) = f (x, t),
и используем формулу (10), полагая v = G?1 ?2 (R, t ? ? ) (индексы при G в даль-
нейшем опускаем). Поскольку фундаментальное решение удовлетворяет условию
причинности G(R, t ? ? ) = 0 при t < ? , то LG(R, t ? ? ) = 0 и M G(R, t ? ? ) = 0
при t < ? . Кроме того, можно показать, что
?u(P0 , t)
G(R, 0)u(P0 , t)d?0 = G(R, 0) d?0 =
??
? ?

= (?G(R, 0)?u(P0 , t))d?0 = 0,
?
?G(R, 0) 4?
u(P0 , t)d?0 = ? u(x, t).
?? ?2
?
В результате интегральное представление начально-граничной задачи для
уравнения (11) принимает вид
?G(R, t)
?1 G(R, t)u(P0 , 0) ? ?2
4?u(x, t) = u(P0 , 0) +
??
?
?u(P0 , 0)
? 2?2 ? 2 G(R, t)?2 u(P0 , 0) d?0 +
+ ?2 G(R, t)
??
t
?u(P0 , 0) ?u ?G
+ 2a2 ? d?0 + ?1 ? ?u
2 2
G(R, t) d? G d?0 +
?n0 ?n0 ?n0 (12)
? 0 ?
t
?u ?G
+ ?2 ? 4 ? G? ? u?
d? d?0 +
?n0 ?n0
0 ?
t
? ?u ? ?G
+ 2?2 ? ?? 2 ?2 u + u +? 2 ?2 G d?0 +
2
d? G ? ?
?n0 ?? ?n0 ??
0 ?
t
f (P0 , ? )G(R, t ? ? )d?0 .
+ d?
0 ?

Из представления (12) следует, что в задаче типа Коши начальные условия для
уравнения (3) задаются в виде
?u/?t ? 2? 2 ?2 u = ?1 (x), x ? En . (13)
u = ?0 (x), t = 0,
6. Одномерная задача типа Коши. Приняв во внимание (13), рассмотрим
задачу
?2u ?2 ?2u
?u ? ?u
Lu ? ?1 ? ?2 2 ? ?2 2 ? ?2 2
+ ?2 = 0,
?t ?x ?t ?x ?t ?x
(14)
? 2 u(x, 0)
?u(x, 0)
? 2? 2 = ?(x), ?? < x < ?.

<< Предыдущая

стр. 19
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>