<< Предыдущая

стр. 2
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


?
Докажем, например, что ?? (P0 ) = ?P0 . Действительно, пусть f (x0 , x, v) — прои-
звольная дифференцируемая функция. Тогда
1 u 1 u
v t+ , x, v t ?
?1 f (x0 , x, v) = f ,
m m
2 2
?
и, значит, P0 · ?1 f (x0 , x, v) = ? ?x0 . Следовательно, ?P0 ?1 = ? ?x0 = ?P0 , а потому
?f ?

?
?? (P0 ) = ?P0 .
?
Пусть H произвольная подалгебра алгебры AC(1, 4), тогда ?? (H) = H явля-
? ?
ется подалгеброй алгебры AC(1, 4), причем ранги алгебр H и H совпадают. Из
предыдущих результатов вытекает, что если ?1 , . . . , ?s — полная система инва-
риантов алгебры H, то ?(?1 ), . . . , ?(?s ) — полная система инвариантов алгебры
?
H. Анзац ?s = ?(?1 , . . . , ?s?1 ), соответствующие подалгебре H, редуцирует урав-
нение (1.1) к дифференциальному уравнению F (?1 , . . . , ?s?1 , ?, ?1 , . . . , ?s?1 ) = 0,
содержащему только переменные ?1 , . . . , ?s?1 , функцию ? и частные производные
?1 , ?2 , . . . , ?s?1 от ? по переменным ?1 , . . . , ?s?1 соответственно. Анзац ?(?s ) =
?
?(?(?1 ), . . . , ?(?s?1 )), соответствующий подалгебре H, редуцирует уравнение (1.2)
к дифференциальному уравнению F (?(?1 ), . . . , ?(?s?1 ), ?, ?1 , . . . , ?s?1 ) = 0, име-
ющему тот же вид, что и предыдущее. Это утверждение вытекает из равенства
4m 1
u2 ? u 2 ? u 2 ? u 2 ? 1 = ? (?v)2
vt +
0 1 2 3
(m + vt )2 2m
и соотношений
v
m ? vt 2
u0 = , ua = va (a = 1, 2, 3),
m + vt m + vt
которые связывают производные функций u = u(x0 , x1 , x2 , x3 ) и v = ?u.
§ 2. Подалгебры конформной алгебры AC(1, 4)
В настоящем параграфе мы проводим классификацию подалгебр алгебры
AC(1, 4) с точностью до C(1, 4)-эквивалентности. Как уже отмечалось в § 1, мы
рассматриваем лишь те подалгебры L ? AC(1, 4), которые с точностью до C(1, 4)-
эквивалентности не содержат P0 и P0 +P4 . При решении этой задачи используется
классификация подалгебр конформной алгебры AC(1, 4) с точностью до C(1, 4)-
сопряженности, изложенная в [5]. Положим Ha = J0a ? Ja4 .
I. Подалгебры ранга 4 алгебры AC(1, 4):
1) P1 , P2 , P3 , P4 ; 2) J04 , P1 , P2 , P3 ; 3) G3 , J04 , P1 , P2 ;
4) J03 , J0,4 , J34 , P1 , P2 ,
5) AO (1, 3) ? P3 , где AO (1, 3) = J?? | ?, ? = 0, 1, 2, 4 ; 6) AO(1, 4);
7) J12 , D, P3 , P4 ; 8) D, P1 , P2 , P3 ; 9) J04 , D, P1 , P2 ;
10) J04 + ?D1 , P1 , P2 , P3 ; 11) J04 , J12 , D, P3 ; 12) G3 , J04 , D, P1 ;
13) G3 + ?D, J04 + ?D, P1 , P2 (?2 + ? 2 = 0); 14) J12 , J14 , J24 , D, P3 ;
15) J03 , J04 , J34 , D, P1 ; 16) AO(4) ? D ; 17) J03 , J04 , J34 , J12 , D ;
18) J12 , J13 , J23 , J04 , D ; 19) AO (1, 3)? D, P3 ; 20) J04 ?D +2T, P1 , P2 , P3 ;
21) J04 ? 2D, G3 + 2T, P1 , P2 ; 22) J04 + D + M, G3 , P1 , P2 ;
23) J04 ? D, G1 , G2 + P2 , P3 ; v v
24) Z1 , S1 + T1 + 2J12 , G1 + P2 + 2P3 , G2 ? P1 ? 2G3 ;
25) AO(3) ? S1 + T1 , Z1 ;
6 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

P0 + K0 ? 2J12 ? 2J34 , P1 + K1 + 2J02 , P3 + K3 + 2J04 , J13 + J24 ;
26) v v
P2 +K2 + 3(P1 +K1 )+2J03 , ?P3 ?K3 +2J02 ?2 3J01 , P0 +K0 ?4J23 , K4 ?
27)
P4 ;
J12 ? J34 + ?(P0 + K0 ) ? J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 (? > 0);
28)
P0 + K0 ? AO(3) ? K4 ? P4 ;
29) v v
P0 + K0 ? 2J12 + J34 , J13 + J24 ? 23 (K4 ? P4 ), J23 + J14 + 23 (K3 ? P3 ) ;
30)
P0 + K0 ? AO(4);
31)
J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 , K1 ? P1 , K2 ? P2 , K3 ? P3 , K4 ? P4 ;
32)
P1 + K1 , P2 + K2 , J12 ? J03 , J04 , J34 ;
33)
P1 + K1 , P2 + K2 , J12 ? K3 ? P3 , K4 ? P4 , J34 .
34)
II. Подалгебры ранга 3 алгебры AC(1, 4):
1) J04 , P1 , P2 ; 2) J04 , J12 , J3 ; 3) J12 , J13 , J23 , J04 ; 4) J04 + P3 , P1 , P2 ;
5) J04 + ?D, P1 , P2 (? = 0); 6) J04 , D, P1 ; 7) J12 + cJ04 , D, P3 (c > 0);
8) J04 , J12 , D ; 9) J12 , J13 , J23 , J04 + ?D ;
10) J04 + D + M, J12 + ?M, P3 (? ? 0); 11) J04 + D, J12 + M, P3 ;
12) P1 , P2 , P4 ; 13) J12 , P3 , P4 ; 14) G3 , J04 , P1 ; 15) J12 , J13 , J23 , P4 ;
16) G3 , J04 , J12 ; 17) G1 , G2 , J04 ; 18) J03 , J04 , J34 , J12 ;
19) J12 + P0 , P3 , P4 ; 20) J12 + ?D, P3 , P4 (? > 0); 21) J03 , J04 , J34 , D ;
22) J03 , J04 , J34 , J12 + ?D (? > 0); 23) J04 ? D + 2T, P1 , P2 ;
24) J12 , J13 , J23 , J04 ? D + 2T ; 25) AO(3) ? S1 + T1 + ?M1 (? < 0);
26) S1 + T1 , J12 , Z1 ; 27) AO(3) ? S1 + T1 + ?Z1 ;
28) S1 + T1 + J12 , Z1 , H1 + P2 ; v v
29) S1 + T1 + 2J12 + ?M1 , H1 + P2 + v 2P3 , H2 ? P1 ? v 2H3 (? < 0);
30) ?Z1 + S1 + T1 + 2J12 , H1 + P2 + 2P3 , H2 ? P1 ? 2H3 (? ? R);
31) J04 + D, H1 + P3 , H2 + ?P2 + ?P3 (? > 0, ? ? 0); 32) G3 , P1 , P2 ;
33) G1 , G2 , G3 ? J12 ; 34) J01 , J02 , J03 , J12 , J13 , J23 ; 35) G3 + 2T, P1 , P2 ;
36) G1 , G2 ? P2 , P3 ; 37) G3 , J04 + P2 , P1 ; 38) G1 , G2 , J04 + P3 ;
39) J04 + ?D, J12 + ?D, P3 (?2 + ? 2 = 0); 40) G3 , J04 + ?D, P1 ;
41) J12 , J34 , D ; 42) J04 ? 2D, G3 + 2T, P1 ; 43) J04 + D + M, G3 , P1 ;
44) J12 , J04 ? 2D, G3 + 2T ; 45) J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 ;
46) P1 + K1 + 2J03 , P2 + K2 + 2J04 , J12 + J34 ; 47) P0 + K0 , J12 , J34 ;
48) AO(3) ? P0v K0 ; 49) P0 ? K0 ? ?(K4 ? P4 ), J12 , J13 , J23 (? > 0, ? = 1);
+ v
50) P2 + K2 + 3(P1 + K1 ) + 2J03 , ?P3 ? K3 + 2J02 ? 2 3J01 , Pv+ K0 ? 4J23 ;
v 0
51) 2J12 + J34 , 2J13 + 2J13 + 2J24 ? 3(K4 ? P4 ), 2J23 ? 2J14 + 3(K3 ? P3 ) .
III. Подалгебры ранга 2 алгебры AC(1, 4):
1) P2 , P3 ; 2) J12 , P3 ; 3) J04 , P1 ; 4) J12 + cJ04 , P3 (c > 0);
5) G3 , P1 ; 6) J12 , J34 ; 7) J04 , J12 ; 8) G3 , J12 + cJ04 (c > 0);
9) J12 , J13 , J23 ; 10) J03 , J04 , J34 ; 11) J12 + P0 , P3 ; 12) J14 + P3 , P2 ;
13) J12 + M, P3 ; 14) J04 + P2 , P1 ; 15) G3 + P2 , P1 ; 16) G3 + 2T, P1 ;
17) J12 + P0 , J34 + ?P0 (? ? 0); 18) J04 + P3 , J12 + ?P3 (? ? 0);
19) J04 , J12 + P3 ; 20) J12 + M, G3 + ?T (? = 0; 2); 21) J12 , G3 + 2T ;
22) G1 + P3 , G2 + µP2 + ?P2 + ?P3 (µ > 0, ? ? 0); 23) G3 , J04 + P1 ;
24) J12 + J34 , D ; 25) J12 + cJ34 , D (0 < c < 1); 26) J04 , D ;
27) J12 + cJ04 , D (c > 0); 28) J04 + ?D, P1 (? > 0);
29) J12 + cJ04 (c > 0, ? > 0); 30) J12 + ?D, J34 + ?D (? > 0, ? ? 0);
31) J04 + ?D, J12 + ?D (? > 0, ? ? 0); 32) J04 , J12 + ?D ;
Редукция и точные решения уравнения Гамильтона–Якоби 7

J04 ? D + 2T, P1 ; 34) J12 + c(J04 ? D + 2T ), P3 (c > 0);
33)
J04 + D + M, J12 + ?M (? ? 0); 36) J04 + D, J12 + M ;
35)
J04 ? 2D, G3 + 2T ; 38) J04 ? D, G3 + P1 ;
37)
J12 + c(J04 ? 2D), G3 + 2T (c > 0); 40) S1 + T1 + J12 , G1 + P2 ;
39)
41) J12 , S + T ; 42) S1 + T1 + J12 + M, G1 + P2 ; 43) S1 + T1 , Z1 ;
44) S1 + T1 + ?J12 , Z1 (? > 0); 45) S1 + T1 + J12 + ?Z1 , G1 + P2 (? > 0);
46) J12 + ?Z1 , S1 + T1 + ?Z1 (? > 0); 47) J12 , S1 + T1 + ?Z1 (? > 0);
48) J12 + M, S1 + T1 + ?M ; 49) J12 , S1 + T1 + M ; 50) P0 + K0 , J12 ;
P0 + K0 , J12 + ?J34 (0 < ? ? 1);
51)
J12 + ?(P0 + K0 ), J34 + ?(P0 + K0 ) (? > 0, ? ? 0, 2? = 1 при ? = 0).
52)

IV. Подалгебры ранга 1 алгебры AC(1, 4):
1) P1 ; 2) J12 ; 3) J12 + cJ34 (0 < c ? 1); 4) J04 ;
5) J12 + cJ04 (c > 0); 6) J12 + P0 ; 7) J12 + P3 ; 8) J12 + M ;
9) J12 + J34 + P0 ; 10) J12 + cJ34 + P0 (0 < c < 1); 11) J04 + P1 ;
12) J12 +cJ04 +P3 (c > 0); 13) G3 +P1 ; 14) G3 +2T ; 15) G3 ?J12 +2T ;
16) J12 + cJ34 + ?D (0 < c ? 1, ? > 0); 17) J04 + ?D (0 < ? ? 1);
18) J12 + cJ04 + ?D (0 < c ? ?); 19) J04 ? D + 2T ;
20) J12 + c(J04 ? D + 2T ) ; 21) S + T ; 22) S + T + M ;
23) S + T + ?J12 , M (? > 0); 24) S1 + T1 + ?J12 (? > 0);
25) S1 + T1 + J12 + G1 + P2 ; 26) S1 + T1 + ?Z1 (? = 0);
27) S1 + T1 + ?J12 + ?Z1 (? > 0, ? = 0); 28) P0 + K0 + ?J12 (? > 0, ? = 2);
29) P0 + K0 + ?J12 + ?J34 (0 < ? ? ?; ?, ? = 2); 30) P0 + K0 .

3. Инварианты подалгебр ранга 3 конформной алгебры AC(1, 4)
В настоящем параграфе мы находим инварианты подалгебр ранга 3 конформ-
ной алгебры AC(1, 4), представленных в § 2. Запись L : f1 , . . . , fs будет означать,
что функции f1 , . . . , fs образуют полную систему инвариантов алгебры L. Будем
предполагать, что AC(1, 4) реализуется дифференциальными операторами на мно-
жестве решений уравнения Гамильтона–Якоби.

J04 , P1 , P2 : tu, x3 .
1/2
J04 , J12 , P3 : tu, x2 + x2 .
1 2
1/2
J12 , J13 , J23 , J04 : tu, x2 + x2 + x2 .
1 2 3
?x3
J04 + P3 , P1 , P2 : tu, te .
1??
1+?
J04 + ?D, P1 , P2 (? = 0; 1) : ut 1?? , tx3 ? .
u
J04 + D, P1 , P2 : 2 , t.
x3
tu x2
J04 , D, P1 : 2 , .
x3 x3
tu x2
2 , 2 ln t ? ln(x1 + x2 ) + 2c arctg x .
2 2
J12 + cJ04 , D, P3 (c > 0) : 2
x1 + x2 1
2 2
tu x +x
, 1 2 2.
J04 , J12 , D : 2
x1 + x2 x3
2
8 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

tu 2?
, x2 + x2 + x2 t 1?? .
J12 , J13 , J23 , J04 + ?D (? = 1) : 1 2 3
x2 + x2 + x2
1 2 3
u
J12 , J13 , J23 , J04 + D : , t.
x2 + x2 + x2
1 2 3 v
u x
2? arctg x2 ? 2t
J04 + D + M, J12 + ?M, P3 (? ? 0) : 2 2 2
, x1 + x2 e .
1
x1 + x2
2
v
u x2
? t.
J04 + D, J12 + M, P3 : 2 , 2 arctg
x1 + x2 x1
2
P1 , P2 , P4 : u + mt, x3 .
1/2
J12 , P3 , P4 : u + mt, x2 + x2 .
1 2
m2
G3 , J04 , P1 : ut ? x3 , x2 .
2
1/2
J12 , J13 , J23 , P4 : u + mt, x2 + x2 + x2 .
1 2 3
m2 1/2
G3 , J04 , J12 : ut ? x3 , x2 + x2 .
1 2
2
m2
G1 , G2 , J04 : ut ? x1 + x2 , x3 .
2
2
v x2 1/2
J12 + P0 , P3 , P4 : u + mt ? 2m arctg , x2 + x2 .
1 2
x1
x2
x2
J12 + ?D, P3 , P4 (? > 0) : (u + mt)e?? arctg x1 , ln x2 + x2 ? 2? arctg . 1 2
x1
2ut ? mx3 x1
2
J03 , J04 , J34 , D : , .
x2 x2
1
2ut ? mx2 x2
3
ln x2 + x2 .
J03 , J04 , J34 , J12 + ?D (? > 0) : , 2? arctg 1 2
2 + x2
x1 x1
2
t1/2
m
J04 ? D + 2T, P1 , P2 : u + v ln t, .
x3
2
x2 + x2 + x2
m
J12 , J13 , J23 , J04 ? D + 2T : u + v ln t, 1 2 3
.
t
2
v v
x2 mtx 2
AO(3) ? S1 + T1 + ?M1 (? < 0) : , u? 2 ? 2?m arctg ( 2t).
2t2 + 1 2t +1
2t + 1 u ? mtx
2 2 2 2
x +x
, 1 2 2.
S1 + T1 , J12 , Z1 :

<< Предыдущая

стр. 2
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>