<< Предыдущая

стр. 20
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u(x, 0) = ?(x),
?x2
?t
Применив к ней преобразование Фурье, получим обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка
d2 u
? d?
u
+ (2?2 ? 2 ? 2 + ?1 ) + (?2 ? 2 ? 2 + ?1 )? 2 ? 2 u = 0,
?2 ? t > 0,
2
dt dt
76 В.И. Фущич, А.С. Галицын, А.С. Полубинский

?
с начальными данными u(?, 0) = ?(?), d?(?, 0)/dt + 2? 2 ? 2 u(?, 0) = ?(?), где зна-
? u ? ?
ком “ ? ” обозначается образ Фурье, ? — вещественный параметр преобразования.
Решение этой задачи получено в виде
?2 ?2
?1 ?1 22
1 ? e? ?2 t ? 2 ? 2 ?(?) + 1 ? e? ?2 t ?(?) e?? ? t .
?
1?
u(?, t) =
? ?
?1 ?1
?
Поскольку u(x, t) = 2? ?? e?i?x u(?, t)d?, то после соответствующих вычислений
1
?
получаем окончательный результат
?1
?2 1?e? ?2 t
? ?
(x?x )2 (x?x )2
1 ? 4? 2 t
?(x )e?
v v dx ?
4? 2 t
u(x, t) = ?(x )e dx +
?1 2? ?t
2? ?t ?? ??
(15)
?1
?? t ?
?2 1 ? e 2 (x ? x )2 ? (x?x )2
v
? ?(x ) 1 ? e 4?2 t dx .
2? 2 t
?1 4?t ?t ??

Если ?1 = 1 и ?2 = 0, то из (15) следует известное [1, 2] решение задачи Коши
для уравнения L1 u = 0 при условии u(x, 0) = ?(x)
? (x?x )2
1 ?
v (16)
4? 2 t
u1 (x, t) = ?(x )e dx .
2? ?t ??

Если ?1 = 0 и ?2 = 1, то аналогично (15) получается решение задачи типа
Коши для уравнения L2 u = 0 при условиях (14)
v
? ?
(x?x )2 (x?x )2
1 t
? 4? 2 t
?(x )e? 4?2 t dx ?
v v
u2 (x, t) = ?(x )e dx +
2? ? ??
2? ?t ??
(17)
?
(x ? x )2 ? (x?x )2
1
v
? ?(x ) 1 ? e 4?2 t dx .
2? 2 t
4? ?t ??
V, |x| < a,
Пусть ?(x) = 0, ?(x) = V = const. Тогда точные решения,
0, |x| > a,
соответствующие формулам (15)–(17), примут соответственно вид
?1
?2 1 ? e? ?2 t (a?x)2 (a+x)2
(a ? x)e? 4?2 t + (a + x)e? 4?2 t , (18)
v
u(x, t) = u1 (x, t) ? V
?1 4?t ?t
a?x
V a+x
v + erf v, (19)
u1 (x, t) = erf
2 2? t 2? t
(a?x)2 (a+x)2
V
(a ? x)e? 4?2 t + (a + x)e? 4?2 t ,
v
u2 (x, t) = u1 (x, t) ? (20)
2? ?t
где erf z — функция ошибок [1, 2]. Сравнение результатов вычислений по этим
формулам показало, что решения до некоторого фиксированого t0 являются мо-
нотонно убывающими функциями по x; при t > t0 для решений (18) и (20), в
отличие от классического случая (19), характерно образование уединенной волны,
движущейся в направлении оси x с монотонно убывающей по t амплитудой.
Отметим один новый момент, связанный с заданием начальных условий для
оператора L. Решение (18) удовлетворяет неравенству 0 ? u(x, t) ? V . Если же
в (14) задать вместо второго условия условие ?u(x, 0)/?t = 0, то решение такой
О новой математической модели процессов теплопроводности 77

задачи будет отличаться от вида (18) лишь знаком при втором члене. В этом
случае указанное неравенство не будет выполняться: существует такое t0 , что при
t > t0 на полуоси Ox решение принимает как положительные, так и отрицательные
значения, причем u(x, t) > ?0 при x > ?. Это справедливо для любых сколь
угодно малых значений ?2 > 0.
7. Решения типа бегущей волны. Рассмотрим вначале одномерный вариант
уравнения (3) при ?1 = 0, ?2 = 1
L2 u ? (?/?t ? ? 2 ? 2 /?x2 )(?u/?t ? ? 2 ? 2 u/?x2 ) = 0 (21)
и будем искать его автомодельные решения вида
? = x ? vt,
uA (x, t) = e?t ?(?), (22)
где v — скорость волны, ? — коэффициент затухания. Функция ?(?) определяется,
очевидно, из обыкновенного дифференциального уравнения
? 4 ?IV + 2? 2 v?III + (v 2 ? 2? 2 ?)?II ? 2?v?I + ? 2 ? = 0,
общее решение которого имеет вид
?(?) = c1 er1 ? + c2 er2 ? + c3 ?er1 ? + c4 ?er2 ? , (23)
где cj , j = 1, 4 — произвольные постоянные, r1 , r2 вычисляются по формуле
?v ± v 2 + 4?? 2
(24)
r1,2 = .
2? 2
Тепловой поток в рассматриваемом случае задается в виде
q(?, t) = µe?t [? 2 ?III (?) + v?II (?) ? ??I (?)].
Среди множества функций (23) содержатся автомодельные решения, удовле-
творяющие условиям ?(?) > 0, ? < 0; ?(0) = 0; ??(0) ? v?I (0) ? 2x2 ?II (0) = 0;
q(0, t) = 0. Они обеспечивают непрерывность начальных условий, следующих
из (14), и потока в точке ? = 0. Поэтому существуют решения уравнения (21)
со всюду непрерывным тепловым потоком, которые при каждом t ? (0, T ) являю-
тся финитными по x: uA (x, t) = 0 при x ? vt. Это означает, что уравнение (21)
пригодно для описания процессов с конечной скоростью распространения возму-
щений. Опуская громоздкие выкладки, приводим их окончательный вид
v
v
c1 e? ?2 ? ? 1 ? 2 ? , ? < 0,
? (25)
?(?) =
? ? 0, ? = 0,
0,
?
? c ? 4r2 ? + v er1 ? ? er2 ? , ? < 0,
2
?2
4r1 ? 2 + v (26)
?(?) =
? v2
? 0, ? ? 0, ? = ? 2 ,
8?
?
? c3 er2 ? ?er1 ? + v(r2 ?r1 ) ?er1 ? + v v +4?? ( v 2 +4?? 2 ?v)? ?
? 2 2
?
?
? 4r1 ? 2 +v 2? 2 (v 2 +8?? 2 )
?
?
4r2 ? 2 + v r1 ? (27)
?(?) = ?e ? r2 ?
? e , ? < 0,
? 4r1 ?
? 2+v
?
?
? v2
? 0, ? ? 0, ? 2 < ? < 0.
8?
78 В.И. Фущич, А.С. Галицын, А.С. Полубинский

Здесь cs , s = 1, 3 — произвольные постоянные, r1,2 определяются по формуле (24).
При ? < 0 решения uA (x, t), построенные в виде (22) с помощью (25)–(27), яв-
ляются классическими, но они могут не иметь достаточную гладкость в точках
фронта волны X(t) = vt, где обращаются в нуль.
Аналогичным образом можно показать, что среди решений общего бипарабо-
лического уравнения (3) содержится в точности три финитных решения, описыва-
ющих распространение возмущений с конечной скоростью.
Примеры финитных решений классических нелинейных уравнений теплопро-
водности второго порядка, обладающих подобными свойствами, рассмотрены в
[8, 9].
8. Степенной граничный режим. Будем искать решения уравнения (21) при
граничном условии [8] u(0, t) = (1 + t)? , ? = const > 0, вида uA (x, t) = (1 +
x
t? )?(?), ? = v1+t . Нетрудно показать, что функция ?(?) должна определяться из
дифференциального уравнения
d2 d2 ? ? d?
?d
?2 ? (? ? 1) ?2 ? ??
+ + = 0,
d? 2 d? 2
2 d? 2 d?
общее решение которого выражается через функции Эрмита и имеет вид
2
/4? 2
?(?) = c1 H2? (i?/2?) + c2 H2??2 (i?/2?) + c3 e?? H?2??1 (?/2?) +
(28)
2 2
+ c4 e?? /4?
H?2?+1 (?/2?).
Используя асимптотические представления функций Эрмита [10] и требуя огра-
ниченности ?(?) при ? > ?, устанавливаем, что c1 = c2 = 0 при ? > 1 и c1 = 0 при
0 < ? < 1. При выполнении этих условий имеют место два случая: 1) ?(?) = 0,
если ? = 1; 2) ?(?) = 1, если ? = 1.
Если, следуя [8], ввести координату фронта тепловой волны ?? (t) = ?? (t)(1 +
1/2
t) , то для финитности решения уравнения (21) необходимо, чтобы
(29)
?(?? ) = q(?? , t) = 0,
где тепловой поток определяется формулой
?
q(?, t) = ?µ(1 + t)??3/2 (? ? 1/2)? (?) ? ? (?) ? ? 2 ? (?) .
2
Рассмотрим указанные выше случаи отдельно.
А) Пусть ? > 1. Зафиксировав в (28) ? = ?? при c1 = c2 = 0, для определения
постоянных c3 и c4 получим однородную алгебраическую систему, определитель
которой
? ? 1/2?(?? /?)?4??3 [(?? /?)4 + 4(? + 1)(?? /?)2 + 12(2? + 1)2 ] (30)
отличен от нуля, что следует из асимптотического представления функций Эрми-
та для достаточно больших ?? /2?. Следовательно, для принятых условий фронт
волны не может находиться в конечной точке, и уравнение (21) описывает распро-
странение возмущений с бесконечной скоростью.
Б) Пусть 0 < ? < 1. Здесь для определения постоянных c3 и c4 в (28) при
произвольном фиксированном c2 получается неоднородная алгебраическая систе-
ма, определитель которой при достаточно больших ?? /2? имеет вид (30) и отли-
чен от нуля. Следовательно, постоянные cs , s = 2, 4, можно выбрать так, чтобы
О новой математической модели процессов теплопроводности 79

удовлетворялись равенства (29), и, таким образом, построить финитное решение
уравнения (21), описывающее тепловую волну с конечной скоростью распростра-
нения возмущений.
9. Степенной граничный режим с обострением. Если граничная функция
неограниченно возрастает за конечный промежуток времени (u(0, t) > ? при t >
T ? ), то тепловой режим называется режимом с обострением [8]. Ему, например,
соответствует граничное условие

u(0, t) = (T ? t)?? , (31)
? = const > 0.

Будем искать решение уравнения (21) в виде
x
uA (x, t) = (T ? t)?? ?(?), ?=v (32)
.
T ?t
Можно показать, что функция ?(?) должна удовлетворять дифференциальному
уравнению
d2 2
?d 2d ? ? d?
? ? ? (? + 1) ? ? ? ??
2
= 0,
2 d? 2
d? 2 d? 2 d?
общее решение которого имеет вид
2
/4? 2
?(?) = c1 H?2? (?/2?) + c2 H?2??2 (?/2?) + c3 e ? H2??1 (i?/2?) +
(33)
2
/4? 2
+ c4 e? H2?+1 (i?/2?),

<< Предыдущая

стр. 20
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>