<< Предыдущая

стр. 22
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1. Nikitin A.G., Segeda Yu.N., Fushchych W.I., Teor. Mat. Fiz., 29, 1976, 82 (in Russian); Theor.
Math. Phys. 1977, 29, 943.
2. Fushchych W.I., Nikitin A.G., J. Phys. A: Math. Gen., 1979, 747.
3. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cim., 1977, 19, 347.
4. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Kiev, Naukova Dumka, 1983 (in
Russian); Dordrecht, Reidel, 1987 (in English).
5. Danilov Yu.A., Preprint of Kurchatov Atomic Energy Institute IAE-1736, 1968.
6. Ibragimov N.H., Dokl. Akad. Nauk USSR, 1969, 185, 1226.
7. Shapovalov V.N., Ekle G.G., Algebraic properties of the Dirac equation, Elista, 1972.
8. Kalnins E.G., Miller W.Jr., Williams J.G., J. Math. Phys., 1986, 27, 1893.
9. Zdanov R.Z., in Group-theoretical studies of equations of mathematical physics, Kiev, Institute of
Mathematics, 1985, 70.
10. Fushchych W.I., Nikitin A.G., J. Phys. A: Math. Gen., 1987, 20, 537.
11. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of equations of quantum mechanics, Moscow, Nauka,
1990.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 86–88.

On the new constants of motion for two-
and three-particle equations
W.I. FUSHCHYCH, A.G. NIKITIN
The new constants of motion are found for a number of relativistic and quasirelativistic
two-particle equations of the Dirac–Breit and the Bethe–Salpeter type and for the
Krolikowski three-particle equation.

It was first noted by Dirac [1] that the Hamiltonian of a relativistic particle of
spin- 1 in a spherically symmetric field
2
?
H = ?0 ?a pa ? ?0 m + V (x2 ), pa = ?i
?xa
(where ?0 , ?a are the Dirac matrices, a = 1, 2, 3, x2 = x2 + x2 + x2 ) commuted with
1 2 3
the operator
Q = ?0 (2Sa Ja ? 1/2) (1)
where Ja = ?abc xb pc , Sa = 1 i?abc ?b ?c . In other words, besides the obvious motion
4
constant and angular momentum Ja , there is the additional constant of motion (1) for
the Dirac equation with spherical potential.
The Dirac motion constant plays an important role in the solution of the Dirac
equation by separation of variables. It causes the decomposition of the radial equations
onto non-coupled subsystems corresponding to the fixed eigenvalues of operator (1).
In this letter it is demonstrated that the additional constants of motion exist for
a number of relativistic and quasirelativistic two and three-particle equations and the
explicit form of these motion constants is found.
Consider the generalised Breit equation in the CM frame
?
? = (H (1) + H (2) + V )? (2)
i
?t
where H (1) and H (2) are the single-particle Hamiltonians,
(?) (?)
H (?) = ?0 ?a pa ? ?0 m(?) ,
(?)
? = 1, 2,
(1) (1) (2) (2)
{?0 , ?a } and {?0 , ?a } are the commuting sets of the 16 ? 16 matrices defined
by the relations
(1) (2) (1) (2) (2) (1)
[?µ , ?? ]? ? ?µ ?? ? ?? ?µ = 0, µ, ? = 0, 1, 2, 3,
(?) (?) (?) (?) (?) (?)
[?µ , ?? ]+ ? ?µ ?? + ?? ?µ = 2gµ? .
V is the interaction potential of the following general form
(1) (2) (1) (2) (1) (2)
V = V1 ? ?0 ?0 [V2 ?a ?a + V3 ?a xa ?b xb + V4 ] +
(3)
(1) (2) (1) (2)
Vk = Vk (x2 ),
+ V5 ?a ?a + V6 ?a xa ?b xb , k = 1, 2, . . . , 6,
where xa and pa are the internal coordinates and momenta.
J. Phys. A: Math. Gen., 1990, 23, L533–L535.
On the new constants of motion for two- and three-particle equations 87

For V1 = V2 = x2 V3 = 1/x and V4 = V5 = V6 = 0 formula (3) defines the Breit
potential [2, 3]. If Vk are arbitrary functions of x2 this formula gives the generalised
potential of two-particle interaction including various potentials of quark models of
mesons [4–7].
?
The obvious motion constant of equation (2) is the angular momentum operator Ja
1 (?) (?)
? ? ? (1) (2) (?)
(4)
Ja = ?abc xb pc + Sa , Sa = Sa + Sa , Sa = i?abc ?b ?c .
4
It happens, however, that as in the case of Dirac equation with spherically sym-
metric potential one can show the additional constant of motion for the generalised
Breit equation. This motion constant has the form
(1) (2) ? ?
? ?? ??
Q = ?0 ?0 [(Sa Ja )2 ? Sa Ja ? Ja Ja ], (5)
?
where Ja and Sa are given in (4). Actually one can make sure by direct verification
that the operator (5) commutes with the Hamiltonian (2). For this purpose it is
?
convenient to represent Q in the form
1 (1) (2)
?
Q = [Q(1) , Q(2) ]+ ? ?0 ?0 ,
2
(?)
where Q(?) are the operators obtained from (1) by the substitution ?0 > ?0 , Sa >
(?) ?
Sa , Ja > Ja , These operators satisfy the conditions
(?) (?) (? )
[Q(?) , Sa pa ]+ = ?0 Sa pa ,
(?) (?) (? )
[Q(?) , Sa xa ]+ = ?0 Sa xa ,
(? ) (? )
[Q(?) , Sa pa ]? = [Q(?) , Sa xa ]? = 0, ? = ?.

So we have found a new constant of motion for the generalised Breit equation in
the form (5). This motion is also admitted by the Bethe–Salpeter equation in first
approximation by e2 and by the relativistic Barut–Komy equation [8]. Apparently it
is possible to continue the list of the equations for which operator (5) is the motion
constant (for instance it is the case for equation (2) with arbitrary O(3) and P -
invariant potential V ).
One can demonstrate that the spectrum of the operator (4) is discrete and is given
by the formula

? = ±1, ? ? L2 (R4 ).
Q? = ?j(j + 1)?, j = 0, 1, 2, . . . ,

In conclusion we give the new constants of motion for the equation describing
two interacting particles with spins 1 and 1 [9] and for the three-particle equation of
2
Krolikowski [10]. They have the form

Q = r[q 3 ? q 2 ? (7Ja Ja + Sa Sa )q + (4Sa Sa ? 6)Jb Jb + 9/4]
? ?
where q = 2Sa Ja ? 3 , Ja = ?abc xb pc + Sa . For the two-particle equation [9]
2

1
?
r = ?0 (1 ? 2?0 ), Sa = i?abc ?b ?c + ?b ?c ,
4
88 W.I. Fushchych, A.G. Nikitin

{?µ } and {?µ } are the commuting sets of the Dirac and of the Kemmer–Duffin–Petiau
matrices. For the three-particle equation [10]
1
(1) (2) (3) (1) (1) (2) (2) (3) (3)
?
r = ?0 ?0 ?0 , Sa = i?abc ?b ?c + ?b ?c + ?b ?c ,
4
(1) (2) (3)
{?µ }, {?µ } and {?µ } are the commuting sets of the Dirac matrices.
Constants of motion for arbitrary spin particles are discussed in [11].

1. Dirac P.A.M., Principles of quantum mechanics, Oxford, Oxford University Press, 1958.
2. Breit G., Phys. Rev., 1929, 34, 553.
3. Bethe H.A., Salpeter E.E., Quantum mechanics of one- and two-electron atoms, Berlin, Springer,
1957.
4. Childers R.F., Phys. Rev. D, 1982, 26, 2902.
5. Helashvili A.A., Teor. Mat. Fiz., 1982, 51, 201.
6. Krolikowski W., Rzewuski I., Acta Phys. Pol. B, 1976, 7, 487.
7. Feinberg G., Sucher J., Phys. Rev. Lett., 1975, 35, 1714.
8. Barut A.O., Komy S., Fortschr. Phys., 1985, 33, 310.
9. Krolikowski W., and Turski A., Acta Phys. Pol. B, 1986, 17, 75.
10. Krolikowski W., Acta Phys. Pol. B, 1984, 15, 927.
11. Fushchich W.I., Nikitin A.G., Symmetries оf equations of quantum mechanics, Moscow, Nauka,
1990.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 89–92.

Условная инвариантность и редукция
нелинейного уравнения теплопроводности
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ
The conditional symmetry of the nonlinear heat conduction equation has been studied.
Some exact solutions of the equations are obtained.

Рассмотрим нелинейное уравнение теплопроводности

(1)
u0 + u11 = F (u),

где u = u(x) ? R1 , x = (x0 , x1 ) ? R2 , u0 = ?u/?x0 , u11 = ? 2 u/?x2 , F (u) — гладкая
1
функция, нелинейно зависящая от u.
В работах [1, 2] при помощи метода С. Ли [3] исследована инвариантность
нелинейного уравнения теплопроводности. Из результатов этих работ следует, что
уравнение (1) может быть инвариантно только относительно следующих операто-
ров:

?0 , ?1 , G = ex0 (?1 +mx1 u?u ), D = 2x0 ?0 +x1 ?1 +M (u)?u , X = ex0 u?u , (2)

где m = const, M (u) — некоторая заданная функция.
В настоящей работе исследована условная инвариантность (более подробно
см. [4]) уравнения (1). Операторы условной инвариантности использованы для
редукции исходного уравнения к обыкновенным дифференциальным уравнениям,
а также для нахождения его точных решений.
Пусть

(3)
Q = A(x, u)?0 + B(x, u)?1 + C(x, u)?u ,

где A, B, C — гладкие функции своих аргументов, дифференциальный оператор
первого порядка, действующий на многообразии (x, u).
Теорема 1. Уравнение (1) Q-условно инвариантно (см. [4]) относительно опе-
ратора (3), если функции A, B, C удовлетворяют следующей системе диффе-
ренциальных уравнений:
Случай I. A = 0 (не умаляя общности, можно положить A = 1).

Buu = 0, Cuu = 2(B1u +BBu ), 3Bu F = 2(C1u +Bu C)?(B0 +B11 +2BB1 ),
(4)
CFu ? (Cu ? 2B1 )F = C0 + C11 + 2CB1 .

Здесь и везде ниже индекс внизу возле функции означает дифференцирова-
ние по соответствующему аргументу.
Случай II. A = 0, B = 1.

CFu ? Cu F = C0 + C11 + 2CC1u + C 2 Cuu . (5)
Доклады АН УССР, Сер. А, Физ.-мат. и тех. науки, 1990, № 7, С. 24–27.
90 В.И. Фущич, Н.И. Серов

Теорема 2. Уравнение (1) Q-условно инвариантно относительно оператора (3)
в предположении, что A = 1, Bu = 0 тогда и только тогда, когда оно локально
эквивалентно уравнению

u0 + u11 = ?u3 + ?1 u + ?2 , (6)
?, ?1 , ?2 = const.

При этом оператор (3) имеет вид
3v 3
2?u?1 + (?u3 + ?1 u + ?2 )?u . (7)
Q = ?0 +
2 2
Доказательство теоремы 1 аналогично доказательству теоремы 5.7.2 из [4],
а теорема 2 является результатом решения системы (4) при Bu = 0.
Используем оператор (7) для нахождения анзацев, редуцирующих уравнение (6)
к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Уравнение (6) локальными преобразованиями можно свести к одному из сле-
дующих “канонических” уравнений:

u0 + u11 = ?(u3 ? u), u0 + u11 = ?(u3 ? 3u + 2),
1. 2.
(8)
u0 + u11 = ?u3 , u0 + u11 = ?(u3 + u).
3. 4.

Анзацы, полученные при помощи оператора (7), для каждого на уравнений (8)
соответственно имеют вид
v
1. 2 arcth u + 2?x1 = ?(?), ? = ? ln(1 ? u?2 ) + 3?x0 ;
v
4 u+2 2 ?1
2. ? ln ? (u ? 1) ? 2?x1 = ?(?),
9 u?1 3
2 u+2 2
? ? (u ? 1)?1 ? 3?x0 ; (9)
? = ln
9 u?1 3
2v 1
+ 2?x1 = ?(?), ? = ? 2 ? 3?x0 ;
3.
u u
v
4. 2 arctg u ? 2?x1 = ?(?), ? = ? ln(1 + u?2 ) ? 3?x0 .

Анзацы (9) редуцируют соответствующие уравнения (8) к следующим обыкновен-
ным дифференциальным уравнениям:

1. 2? = ?3 ? ?, 2. 2? = ?3 ? 3? + 2, 3. 2? = ?3 , 4. 2? = ?3 + ?. (10)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Обратим внимание на нелинейности в правых частях уравнений (10) и срав-
ним их с нелинейностями исходных уравнений (8). Мы видим, что анзацы (9)
позволили не только редуцировать уравнения (8), но и существенно изменили их
нелинейные правые части, когда вместо функции u появилась функция ?. Это
?
позволяет проинтегрировать уравнения (10) и представить их общие решения при
помощи элементарных функций:

<< Предыдущая

стр. 22
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>