<< Предыдущая

стр. 23
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


v 3 3
1. ?(?) = ?2 arcth c1 e? +1+c2 , 2. ln c1 ? (?+2?) = ln c2 ? (???),
2 2 (11)
v?
v
3. ?(?) = 2 c1 ? ? + c2 , 4. ?(?) = 2 arctg c1 e ? 1 + c2 ,
где c1 , c2 — постоянные интегрирования.
Условная инвариантность и редукция уравнения теплопроводности 91

Используя формулы (9) и (11), находим решения уравнений (8) соответственно:
v
u2 1
3?x0 + 1 = (c ?
1. arcth u + arcth c1 e 2?x1 );
2
u2 ? 1 2
v v
2c2 exp ? 2 ?x0 + 3 2?x1 + 9?x0 + 3 2?x1 + c1 ? 3
9
2 2
2. u = ? v v ;
c2 exp ? 9 ?x0 + 3 2?x1 ? 9?x0 ? 3 2?x1 ? c1
2 2 2 (12)
2/?(x1 + c1 )
3. u = ;
3(x0 + c2 ) ? 1 (x1 + c1 )2
2
v
u2 1
c1 e?3?x0 ? 1 = (c2 + 2?x1 ).
4. arctg u ? arctg
u2 ? 1 2
Отметим также, что и в предположении Bu = 0 для уравнения (1) можно найти
операторы вида (3), не входящие в алгебру (2). Эти результаты представим в виде
таблицы.
Таблица 1
F — решение
F — решение
Вид функции
F (u) = ?u3
уравнения
уравнения
F (u)
F F = 2(F ? 1)
F F =2
v
x2 ?0 + 3x1 ?1 + 3u?u
2 x0 ?1 + F (u)?u x1 ?1 + F (u)?u
Оператор Q 1

F (u) = x2 ?(x0 ) + 1
x
F (u) = ?(x0 ) + u = x1 ?(?),
v1
Анзац 1
x0
x2
? = x0 ? 1
6
1
? ? 2? + 2?2 = 0 ? = 9??3
?+ =2
Редуцирован- ?
2x0
ное уравнение
+ 4 x0 1 v
?
c
?= ?= =
d?
v1
Решение реду-
1+c1 e?2x0 0
3 c1 +? 4
x0
цированного
уравнения v
3
= 2?(? + c2 )
2
x2
x1 +c1
+ 4 x0 v
u/x1
F (u) = F (u) = +1 =
d?
1
v
Решение
1+c1 e?2x0 0
3 c1 +? 4
x0
уравнения (1)
v x2
3
= 2? x0 ? +c2
1
2 6




Замечание. Полученные результаты легко переносятся на случай произвольного
количества переменных x = (x0 , x) ? R1+n в уравнений (1).
В заключение приведем некоторые результаты, полученные нами для уравнения

(13)
u0 + u11 = F (u, u1 ).

Теорема 3. Уравнение

u0 + uu1 + u11 = ?(u)u3 , (14)
1

где ?(u) — произвольная дифференцируемая функция, Q-условно инвариантно
относительно оператора

(15)
Q = ?0 + u?1 .
92 В.И. Фущич, Н.И. Серов

Теорема 4. Уравнение

u0 + u11 = uu1 (1 ? uu1 )(2 ? uu1 ) (16)

Q-условно инвариантно относительно оператора

(17)
Q = ?0 + u?1 + ?u .

При ?(u) = 0 уравнение (14) является уравнением Бюргерса. Анзац, получае-
мый при помощи оператора (15),

x0 u ? x1 = ?(u), (18)

редуцирует уравнение (14) к уравнению

(19)
? = ?(u).
?

Анзац
12
u ? x1 = ?(?), ? = u ? x0 , (20)
2
полученный при помощи оператора (17), редуцирует уравнение (16) к уравнению

? = ?3 + 1. (21)
? ?

Общее решение уравнения (21) имеет вид
v
3 3
(? + ? + c2 ) = ? (? ? ? ? c1 ). (22)
ln sin
2 2

Из формул (20) и (22) находим решение уравнения (16)
v
3 3
(u+1)2 ?2(x0 +x1 )+c2 = ? (u?1)2 +2(x0 ?x1 )+c1 . (23)
ln sin
4 4


1. Овсянников Л.В., Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности, Докл. АН СС-
СР, 1959, 125, № 3, 492–495.
2. Дородницын В.А., Князева И.В, Свирщевский С.Р., Групповые свойства уравнения теплопро-
водности с источником в двумерном и трехмерном случаях, Дифференц. уравнения, 1983, 19,
№ 7, 1215–1224.
3. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
4. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 93–96.

Условная инвариантность нелинейного
уравнения теплопроводности
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ, Т.К. АМЕРОВ
The conditional invariance of the nonlinear heat equation is investigated and its exact
solutions are constructed.

Рассмотрим нелинейное уравнение теплопроводности

(1)
u0 + uu11 = 0,
2
где u = u(x) ? R1 , x = (x0 , x1 ) ? R2 , u0 = ?0 u = ?x0 , u11 = ? u .
?u
?x2
1
Известно, что максимальной алгеброй инвариантности уравнения (1) является
алгебра с базисными операторами: P0 = ?0 , P1 = ?1 , D1 = 2x0 ?0 + x1 ?1 , D2 =
x1 ?1 + 2u?u .
В работе, следуя методам [1–3], изучена условная инвариантность уравне-
ния (1). Операторы условной инвариантности используются для нахождения анза-
цев, редуцирующих уравнение (1) к обыкновенным дифференциальным уравнени-
ям (ОДУ), а также для построения его точных решений.
Рассмотрим дифференциальный оператор первого порядка

(2)
Q = A(x, u)?0 + B(x, u)?1 + C(x, u)?u ,

действующий в пространстве (x0 , x1 , u) ? R3 .
Теорема 1. Уравнение (1) Q-условно инвариантно относительно оператора (2)
при A = 0 (не теряя общности, положим A = 1), если функции B, C удовле-
творяют системе дифференциальных уравнений:

(3)
Buu = 0,
(4)
uCuu = 2(BBu + uBu1 ),
B0 + uB11 ? CBu?1 ? 2uCu1 + 2BB1 ? 2Bu C = 0, (5)
C0 + uC11 ? C 2 u?1 + 2B1 C = 0. (6)

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 5.7.2 из [2].
Решая систему уравнений (3)–(6), находим явный вид оператора Q:

Q = b1 Q1 + b2 Q2 + b3 D1 + b4 D2 + b5 P0 + b6 P1 ,

где bi = const, i = 1, 6; Q1 = x1 ?0 + u?1 , Q2 = x2 ?0 + 2x1 u?1 + 2u2 ?u .
1
Теорема 2. Уравнение (1) Q-условно инвариантно относительно оператора
Q = ?1 + C(x, u)?u , если C(x, u) удовлетворяет условию

C0 + u(C11 + 2CC1u + C 2 Cuu ) + C1 C + C 2 Cu = 0. (7)
Доклады АН УССР, Сер. А, Физ.-мат. и тех. науки, 1990, № 11, C. 16–18.
94 В.И. Фущич, Н.И. Серов, Т.К. Амеров

Для того чтобы выписать оператор Q в явном виде, необходимо решить нели-
нейное уравнение (7). Решить это уравнение в общем случае трудно. Нам удалось
найти некоторые его частные решения и, таким образом, имеем следующие опера-
торы:
v v
v
Q3 = x0 ?1 + 2u?u , Q4 = 2x0 ?1 + L(u)?u ,
Q5 = ?1 + ln u?u , Q6 = x0 ?1 + x1 ?u ,

где Lu — решение уравнения uL + L = L?1 .
Теперь по операторам Qi , i = 1, 6 построим анзацы, с помощью которых реду-
цируем уравнение (1) и найдем его точные решения (табл. 1).

Таблица 1
Операторы Редуцированные ОДУ
Анзацы
x0 u ? 1 x2 = ?(u) ? =0
Q1 21
2ux0
? x1 = ?( x ) ? =0
u
Q2 x1 1
2
1 ?
x
u= + ?(x0 ) ?+ =0
v1
Q3 2 2x0
x0

L?1 (u)du = ?
vx1 + ?(x0 ) ?+ =0
Q4 2x0
2x0

= x1 + ?(x0 ) ? +1=0
du
Q5 ln u
x2 ?
u? = ?(x0 ) ?+ =0
1

<< Предыдущая

стр. 23
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>