<< Предыдущая стр. 25(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>

xµ = xµ ? aµ (16)
?II (x) = ?I (x ),

get, letting
bµ ? aµ
(17)
cµ =
(a ? b)2
the solution (5) of equation (2). For the case of Dirac spinor field ?, formulae
analogous to those given in (15), (16) are [4, 8]
1 ? ?x?c xµ ? cµ x2
(18)
?II (x) = 2 ?I (x ), xµ =
? (x, c) ?(c, x)
and

xµ = xµ ? aµ . (19)
?II (x) = ?I (x ),

Having applied formulae (18), (19) and (17) to (12) we get a new solution of equa-
tion (10):
3/4
3/2
(a ? b)2
1 3
?
?=
(x ? a)2 (x ? b)2
4 ?
(20)
1/2
?x ? ?a (?x ? ?a)(?b ? ?a) (a ? b)2
?i + 1? ?, ?? = 1
?
(a ? b)2 (x ? b)2
(x ? a)2
v
and it is the solution which gives rise (by means of (11)) to (5) when ? = 3 ?1 .
2
So, we have shown that one-meron (7), two-meron (8) and instanton (9) solutions
of YM equation (1) are actually generated by the spinor fields (12), (20) and (13),
respectively, which satisfy the Dirac–G?rsey equation (10).
u
The procedure for obtaining a two-meron solution from the one-meron solution
described above can be applied to instanton solutions (6) and (13). So, in this case,
making use of formulae (15), (16), (18) and (19), choosing c? as in (17) and ?2 =
(a ? b)2 we get from (6) and (13) a new solution of equation (2)
1/2
8(a ? b)2 1
(21)
?=
(x ? a)2 + (x ? b)2
?1
100 W.I. Fushchych, W.M. Shtelen

and a new solution of the Dirac–G?rsey equation (10)
u
3/2
4? 1
?
?= 2
[(x ? a)2 + (x ? b)2 ]
?
(22)
(?x ? ?a)(?b ? ?a)
? i(?x ? ?a) + 1 ? (a ? b)2 ?, ?? = 1.
?
(a ? b)2
The corresponding solution of YM equations (1) has the form
(x ? a)i + (x ? b)i
eY0i = ±2 ,
(x ? a)2 + (x ? b)2
(23)
(x ? a)n + (x ? b)n (x ? a)0 + (x ? b)0
= ?2?jin ? 2?ij
eYji .
(x ? a)2 + (x ? b)2 (x ? a)2 + (x ? b)2
This new solution of YM equations is also generated by spinor field ? satisfying the
v
Dirac–G?rsey equation (10); now it is given by (22), according to (11) (? = 2?1 )
u
and (3).
In conclusion we would like to note that all solutions of the Dirac–G?rsey equa-
u
tion (10) considered above (see (12), (13), (20), (22)) are non-analytic in the coupling
constant ?. A great number of solutions of this equation which are analytic in ?
are obtained in [4, 8]. These solutions also generate scalar fields ? which satisfy
equation (2) (and therefore give rise to solutions of YM equations), but in these cases
we lose the connection between coupling constants ? and ?1 , and, generally speaking,
?
? = (??)k , k = 1/3.
It will also be noted that solutions of YM equations can be looked for in the form
?
Yµ = ? a ?µ ? a (no sum over a = 1, 2, 3), where ? a satisfy some nonlinear spinor
a

equation. In the same spirit solutions of other field equations can be constructed.
We would like to express our gratitude to the referees for their useful suggestions.

1. Actor A., Rev. Mod. Phys., 1979, 51, 461–525.
2. de Alfaro V., Fubini S., Furlan G., Phys. Lett. B, 65, 163–166.
3. Belavin A.A., Polyakov A.M., Schwartz A.S., Tyupkin Yu.S., Phys. Lett. B, 1975, 59, 85–87.
4. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov N.I., Symmetry analysis and exact solutions of nonlinear
equations of mathematical physics, Kyiv, Naukova Dumka, 1989.
5. Kortel F., Nuovo Cimento, 1956, 4, 211–215.
6. Merwe P.T., Phys. Lett. B, 1981, 106, 485–486.
7. Heisenberg W., Z. Naturf. A, 1954, 9, 292–303.
8. Fushchych W.I., Shtelen W.M., J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, 271–277.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 101–105.

О связи между решениями
уравнений Дирака и Максвелла.
Суперсимметрия уравнения Дирака
В.И. ФУЩИЧ, В.М. ШТЕЛЕНЬ, С.В. СПИЧАК

Formulae are obtained which allow constructing solutions of the Maxwell equations in
vacuo via solutions of the Dirac equation and vice versa. The Dirac equation is shown
to be invariant with respect to three different representations of the Poincar? algebra
e
and three superalgebras. All the basic elements of these algebras and superalgebras are
local.

В данной работе получены формулы, позволяющие строить по решениям без-
массового уравнения Дирака (УД) решения уравнений Максвелла (УМ) для ва-
куума, и наоборот. Показано, что уравнение Дирака инвариантно относительно
трех различных представлений алгебры Пуанкаре AP (1, 3), соответствующих спи-
нам s = 1 , 1 ; 1, 0; 1, 1, а также относительно трех различных супералгебр. Все
22
базисные элементы этих алгебр и супералгебр локальны, т.е. дифференциальные
операторы первого порядка.
Произвольное решение УД
?
i(?)T ? ? = 0, (1)
i??? = 0,

где ?? ? ? ? ?? , ? ? — матрицы Дирака 4 ? 4; ? = 0, 3; ?? ? ?x? , x ? R(1, 3),
?

? = ?(x) — 4-компонентная комплекснозначная функция (столбец), ? = ?0 ? ? ,
?
представим, воспользовавшись обозначениями [1], в виде
? ? ? ?
?D1 D2
? D3 ? ? ?
? + i ? ?F ? .
? = ?real + i?imag = ? (2)
? B2 ? ? ?B1 ?
?G B3

Установим связь между решениями системы (1) и решениями УМ
?E
= rot H, div E = 0,
?t (3)
?H
= ?rot E, div H = 0.
?t
Теорема 1. Решения уравнения Максвелла (3) строятся по решениям (1) согла-
сно следующим формулам:
t t
? ?
E = D+? G(?, x)d? +?G(t0 , x), H = B+? F (?, x)d? +?F (t0 , x),(4)
t0 t0

Доклады АН УССР. Сер. А, Физ.-мат. и техн. науки, 1990, № 3, C. 36–40.
102 В.И. Фущич, В.М.Штелень, С.В. Спичак

? ?
где G(t0 , x), F (t0 , x) — решения уравнений Пуассона
?G ?F
? ? (5)
?G = , ?F = ,
?? ??
? =t0 ? =t0

t0 — произвольная фиксированная точка, D = {D1 , D2 , D3 }, B = {B1 , B2 , B3 }.
Доказательство. Прежде всего отметим, что УД (1) в обозначениях (2) принимает
вид УМ с токами
?D
? rot B = ??G, div D = ??t G,
?t (6)
?B
+ rot D = ??F, div B = ??t F.
?t
Подставляя (4) в (3), получаем, учитывая (6),
?E ?D
? rot H = + ?G ? rot B ? 0,
?t ?t
t
?
div E = div D + ?G(?, x)d? + ?G(t0 , x) = div D +
t0
t 2
?G ?G ?G
? ?
? +?G(t0 , x) ? 0.
+ d? + ?G(t0 , x) = div D +
?? 2 ?t ?? ? =t0
t0

Здесь мы воспользовались тем, что каждая компонента УД (1) удовлетворяет вол-
2
новому уравнению ?G(?, x) = ? G , а также равенствами (5). Аналогично дока-
?? 2
зывается справедливость теоремы для второй пары УМ (3). Теорема доказана.
Справедливо также обратное утверждение.
Теорема 2. Пусть E, H — произвольные решения УМ (3), F , G — произвольные
скалярные функции, удовлетворяющие волновому уравнению

2F = 2G = 0. (7)

Тогда функция (2) с компонентами F , G
t t
? ?
G(?, x)d? ??G(t0 , x), B = H ?? F (?, x)d? ??F (t0 , x),(8)
D = E??
t0 t0

? ?
где G(t0 , x) и F (t0 , x) находятся из уравнений (5), является решением УД (1).
Доказательство. Воспользуемся эквивалентностью УД (1) и системы (6). Подста-
вив (8) в (6) и учитывая (3), (7), (5), находим
?D ?E
? rot B + ?G = ? ?G ? rot H + ?G ? 0,
?t ?t
t
?G ? ?G ? 0.
= div E ? ?G(?, x)d? ? ?G +
div D +
?t ?t
t0

Аналогично проверяется выполнимость второй пары уравнений системы (6). Тео-
рема доказана.
Замечание. При F = G = 0 из (8) следует D = E, B = H и в этом случае
решения УД (1) строятся по формуле (2) исключительно по решениям УМ (3).
О связи между решениями уравнений Дирака и Максвелла 103

Известно [2], что максимальной в смысле Ли группой инвариантности УД
(1) является 23-параметрическая группа Ли G23 , содержащая 15-параметрическую
конформную группу C(1, 3) ? P (1, 3) (подробно о конформной симметрии см. [3])
и 8-параметрическую группу G8 матричных преобразований. (Отметим, что инва-
риантность УД (1) относительно группы C(1, 3) была установлена еще Дираком, а
относительно G8 — Паули и Тушеком (см., например, [4]).) Здесь уместно подчер-
кнуть, что когда говорят о релятивистской инвариантности (т.е. об инвариантно-
сти относительно алгебры Пуанкаре AP (1, 3)) системы (1), то имеют в виду, что
?-функция преобразуется по спинорному представлению
1 1 1 1
, 0 ? D 0, ?D , 0 ? D 0, (9)
D .
2 2 2 2
Однако оказывается, что инвариантность системы (1) относительно алгебры
матричных преобразований AG8 позволяет выделить еще два представления
AP (1, 3), реализуемые на множестве решений этой системы:
D(1, 0) ? D(0, 1) ? D(0, 0) ? D(0, 0), (10)
11 11
?D (11)
D , , .
22 22
Явный вид базисных элементов AP (1, 3) для представлений (9)–(11) соответствен-
но, таков:
AP (k) (1, 3) = Pµ = ?µ , Jµ? = xµ P? ? x? Pµ + Sµ? ,
(k) (k)
(12)
k = 1, 2, 3,
где
?
[? µ , ? ? ]
1 O4
Sµ? = ?
 << Предыдущая стр. 25(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>