<< Предыдущая

стр. 26
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(1) (2) (1)
, Sµ? = Sµ? + Qµ? ,
? [? ? , ? µ ]T
4 O4
(13)
(3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2)
Sµ? = {S01 = S01 , S02 = S02 , S03 = S03 ? 2Q03 , S12 = S12 ,
(3)

(3) (2) (3) (2)
S13 = S13 ? 2Q13 , S23 = S23 ? 2Q23 }
Здесь Qµ? ? AG8 задаются матрицами
? ?
?i? 0 ? 2 ?? 0 ? 2
1 1
O4 O4
Q01 = , Q02 = ,
? ?
?? 0 ? 2
i? 0 ? 2 O4 O4
2 2
? ?
??5
1 i
O4 I4 O4
(14)
Q03 = , Q12 = ,
? ?
O4 ?I4
O4
2 2
?5
? ?
?? 1 ? 3 ?1?3
1 i
O4 O4
Q13 = , Q23 = ,
? ?
?? 1 ? 3 2 ?? 1 ? 3 O4
O4
2
Операторы (12)–(14) действуют в пространстве 8-компонентных функций-столбцов
(?, ?), ? = ?0 ? ? .
??
Инвариантность УД (1) относительно AP (2) (1, 3) позволяет представить его в
виде (2), (6), а относительно AP (3) (1, 3) — в виде
1
?? A? ? ?? A? ? ????? (? ? B ? ? ? ? B ? ) = 0,
(15)
2
?? A? = ?? B ? = 0,
104 В.И. Фущич, В.М.Штелень, С.В. Спичак

где
? ? ? ?
?A2 ?A1
? ?B 0 ? ? ?
3
? + i ? A2
=? ?. (16)
? = ?real + i?imag ? ?B 1 ? ?B ?
?A0
3
B

Рассмотрим три множества операторов симметрии системы (1)

SA(k) = {Pµ , Jµ? , ?4 , I; Qµ? },
(k)
(17)

?
?µ O4
(k)
где Jµ? определены в (12), (13); ?4 = ?0 ?1 ?2 ?3 , ?µ = , Qµ? заданы
? T
O4 ?µ
в (14). Эти множества операторов образуют как алгебры Ли, так и супералгебры.
(k)
Операторы Pµ , Jµ? , ?4 , I являются четными, a Qµ? — нечетными в соответству-
ющих супералгебрах. Для доказательства этого утверждения приведем коммута-
ционные и антикоммутационные соотношения для операторов из SA(k) (17).
(k)
Операторы Pµ , Jµ? удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры
Пуанкаре AP (1, 3); ?4 , I коммутируют со всеми операторами из SA(k) (17). Для
дальнейшего удобно ввести обозначения:

1 1
(18)
Ra = Q0a , Ta = ?abc Qbc , Na = J0a , Ma = ?abc Jbc .
2 2
Нетрудно убедиться, что выполняются соотношения:

1 1
{Ra , Rb } ? Ra Rb + Rb Ra = {Ta , Tb } = ? ?ab , {Ra , Tb } = ?ab ?4 .(19)
?ab ,
2 2
Операторы Ra , Ta из SA(1) коммутируют со всеми четными операторами SA(1) .
Для SA(2) имеем
(2)
[Pµ , Ra ] = [Pµ , Ta ] = 0, [Na , Rb ] = [Ra , Rb ] = ?abc Tc ,
(2) (2)
[Na , Tb ] = [Ra , Tb ] = ??abc Rc , [Ma , Rb ] = [Ta , Rb ] = ??abc Rc , (20)
(2)
[Ma , Tb ] = [Ta , Tb ] = ??abc Tc ,

Супералгебра SA(3) изоморфна SA(2) . Изоморфизм достигается заменой

R3 > R3 = ?R3 , T1 > T1 = ?T1 ; T2 > T2 = ?T2 . (21)

В заключение отметим, что в случае, когда масса частицы m = 0, аналогичный
результат о дуальной пуанкаре-инвариантности УД справедлив для системы из
двух УД с m и ?m, о чем подробно будет изложено в следующей публикации.
Также отметим, что операторы симметрии из AP (2) (1, 3), AP (3) (1, 3) приводят
к принципиально новым анзацам для ?-функции, отличных от анзацев для спи-
норного поля ?, описанных в [3].
Пример. Нетрудно проверить, что вектора E = ? ? x, H = ?2?t, где ? —
произвольные постоянные, являются решением уравнения Максвелла. Выберем
О связи между решениями уравнений Дирака и Максвелла 105

функции F и G в виде F = G = 3t2 + x2 . С помощью (8), (5), (2) находим
решение уравнения Дирака (1):
? ?
?[(? ? x)1 ? 2tx1 ] + i[(? ? x)2 ? 2tx2 ]
? ?
[(? ? x)3 ? 2tx3 ] ? i(3t2 + x2 )
? ?
?=? ?.
? ?
2t(?2 + x2 ) + 2it(?1 + x1 )
?(3t2 + x2 ) ? 2it(?3 + x3 )
?
Отметим, что ?? = ?2 x2 ? (? · x)2 ? 4t2 (?2 + 2? · x).

1. Ljolje K., Some remarks on variational formulations of physical fields, Fortschr. Phys., 1988, 36,
№ 1, 9–32.
2. Ибрагимов Н.X., Об инвариантности уравнения Дирака, Докл. АН СССР, 1969, 185, № 6, 1225–
1228.
3. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
4. Иваненко Д.Д. (ред.), Нелинейная квантовая теория поля, М., Изд-во иностр. лит., 1959, 464 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 106–112.

О точных решениях нелинейного уравнения
для спинорного поля
В.И. ФУЩИЧ, В.М. ШТЕЛЕНЬ, Р.З. ЖДАНОВ

1. В настоящей работе построены широкие классы точных решений нелиней-
ной системы дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) для
спинорного поля
?
[i? · ? ? m ? ?(??)k ]? = 0, (1)
где ? · ? = ?0 ?0 + ?1 ?1 + ?2 ?2 + ?3 ?3 , ?? = ?/?x? , ? = 0, 3, ? = ?(x) — 4-х ком-
?
понентная функция-столбец; ? = ? + ?0 ; m, k, ? — произвольные действительные
постоянные; ?µ — матрицы Дирака 4 ? 4
1 0 0 ?a
(2)
?0 = , ?a = , a = 1, 3
?1 ??a
0 0
?a — матрицы Паули 2 ? 2
0 ?i
01 10
(3)
?1 = , ?2 = , ?3 = .
0 ?1
10 i0
Для построения многопараметрических семейств точных решений системы (1)
существенно используются ее симметрийные свойства и анзатц
(4)
?(x) = A(x)?(?),
предложенный в [1, 2]. A(x) — 4 ? 4 матрица, ?(?) — 4-х компонентная функ-
ция-столбец, зависящая от инвариантных переменных ? = {?1 (x), ?2 (x), ?3 (x)}.
Явный вид матрицы A(x) в новых переменных ? находится из условий [1–4]
QA(x) ? (? µ (x)?µ + ?(x))A(x) = 0, (5)
? µ (x)?µ ?(x) = 0, (6)
где
Q = ? µ (x)?µ + ?(x) (7)
(? µ (x) — скалярные функции, ?(x) — матрицы размерности 4 ? 4) суть операторы
симметрии уравнения (1).
Как известно, максимальной в смысле Ли группой инвариантности уравне-
ния (1) при m = 0 является группа Пуанкаре P (1, 3), генераторы которой имеют
вид
Pa = ?i?a ,
P0 = i?0 ,
i (8)
Jµ? = xµ P? ? x? Pµ + Sµ? , Sµ? ? (?µ ?? ? ?? ?µ ) .
4
Современный групповой анализ: методы и приложения. Некоторые задачи современной физики, под
ред. А.В. Флегонтова, Ленинград, Ленинградский институт информатики и автоматизации Академии
наук СССР, 1990, C. 22–30.
О точных решениях нелинейного уравнения для спинорного поля 107

При m = 0 и k = 1/3 система (1) допускает кроме операторов (8) еще и генератор
масштабных преобразований
i
D = xµ Pµ + (9)
.
2k
А при m = 0, k = 1/3 уравнение (1) инвариантно относительно конформной группы
C(1, 3) ? {P (1, 3), D}. Генераторы конформных преобразований имеют вид

Kµ = 2xµ D ? x2 Pµ + 2Sµ? x? . (10)

2. Описание анзатцов (4) для спинорного поля ?(x) с алгеброй инвариантности
(8) сводится согласно (5), (6) к решению систем

(aµ Pµ + cµ? Jµ? )A(x) = 0, (11)

[Aµ Pµ + cµ? (xµ P? ? x? Pµ )]?(x) = 0, (12)

aµ , cµ? = ?c?µ — произвольные постоянные.
Нe вдаваясь в подробности этих довольно громоздких вычислений, приведем
сразу окончательный результат в виде таблицы.

Таблица 1
№ Алгебра Инвариантные переменные Анзац
1 x1 , x2 , x3
P0 ?(x) = ?(x)
2 x0 , x1 , x2
P3 ?(x) = ?(x)
3 x0 + x1 , x2 , x3
P0 + P3 ?(x) = ?(x)
1/2
x2 + x2 ?(x) = exp ? 1 ?1 ?2 arctg x1
4 , x0 , x3
J12 ?(x)
1 2 2 x2
1/2
x2 ? x2 1
5 , x1 , x2
J03 ?(x) = exp ?? ln(x0 + x3 ) ?(x)
203
0 3
1/2
x0 + x1 , x2 ? x2 ? x2 ?(x) = exp ? x0x2 1 ?2 (?0 + ?1 ) ?(x)
6 , x3
J02 + J12 0 1 2 +x
1/2
x2 ? x2 1
?J23 ? J01 ln(x0 + x1 ) ?
7 , ? ln(x0 + x1 ) + ?(x) = exp ??
201
0 1
1/2
x2 + x2 ? 1 ?2 ?3 arctg
x2 x2
,
+ arctg ?(x)
2 3 2
x3 x3

?(x) = exp ? 1 ?2 ?3 arctg
J23 ? x0 + x1 , ?(x0 ? x1 )+ arctg x2 x2
8 , ?(x)
2
x3 x3
1/2
x2 + x2
? 2 (P0 + P1 ) 2 3
1/2
x2 + x2 ?(x) = exp ? 1 ?1 ?2 arctg
x1 x1
9 , x0 + ?arctg ,
J12 + ?P0 x3 ?(x)
1 2 2
x2 x2
1/2
x2 + x2 ?(x) = exp ? 1 ?1 ?2 arctg

<< Предыдущая

стр. 26
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>