<< Предыдущая

стр. 27
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

J12 ? ?P3 x1 x1
10 , x3 + ?arctg , x0 ?(x)
1 2 2
x2 x2
1/2
x2 ? x2 1
J01 ? ?P2
11 , x2 + ? ln(x0 + x1 ), x3 ?(x) = exp ?? ln(x0 + x1 ) ?(x)
201
0 1

12 J02 + J12 + x0 ? x1 + (x0 + x1 )x2 + 1 (x0 + x1 )3 , 1
+ x1 ) ?
?(x) = exp (x0
6 4

x2 + 1 (x0 + x1 )2 , x3
+ P0 ? P1 ? ?2 (?0 + ?1 ) ?(x)
4
1/2
x0 + x1 , x2 ? x2 ? x2
13 J02 + J12 ? ? ?
x2
, ?(x) = exp
0 1 2 2(x0 +x1 )

? ?P3 ? ?2 (?0 + ?1 ) ?(x)
x2 + ?(x0 + x1 )x3

При ее составлении мы воспользовались тем, что алгебра Пуанкаре P (1, 3)
имеет только 13 одномерных неэквивалентных подалгебр [5, 6]. Кроме того, в [6]
108 В.И. Фущич, В.М. Штелень, Р.З. Жданов

построены соответствующие инвариантные переменные. В таблице 1 [7] приведены
P (1, 3)-неэквивалентные анзатцы для спинорного поля.
Здесь ? = 0 — произвольная постоянная; ? = ±1.
Выписанные в таблице 1 анзатцы 1–13 представляют собой полный набор
P (1, 3)-неэквивалентных анзатцев для спинорного поля. Они непереводимы в друг
друга с помощью операции группового размножения решений.
Подстановка анзатцев 1–13 из таблицы в уравнение (1) редуцирует его к систе-
мам ДУЧП для функции ?(?), зависящей уже от 3-х переменных ?1 , ?2 , ?3 . В
этих уравнениях можно совершить прямую редукцию к системам обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ) или к системам ДУЧП с двумя независи-
мыми переменными. Результат имеет вид (выписаны только некоторые из систем):
(1) ?1 ??1 + iF ? = 0,
(3) (?0 + ?1 )??1 + ?2 ??2 + iF ? = 0,
1
(4) ?2 ??1 + ? + iF ? = 0,
2?1
1
(5) (?0 + ?3 )? + ?1 ??2 + iF ? = 0,
2
1
(6) (?0 + ?1 ) ??1 + ? + ?3 ??3 + iF ? = 0,
(13)
2?1
1 1
(7) (?0 + ?1 )? + ?3 ? + ??3 + iF ? = 0,
2 2?3
?2 1
?(?0 ? ?1 ) +
(8) ??2 + ?3 ? + ??3 + iF ? = 0,
?3 2?3
1
(11) (?0 + ?1 )? + [?2 + ?(?0 + ?1 )]??2 + iF ? = 0,
2
(12) ?2 ??2 + iF ? = 0.
В (13) уравнению n (нумерация слева) соответствует анзатц № n из таблицы 1.
Для уравнений (13) нетрудно найти некоторые частные решения. Применяя к
ним операцию группового размножения решений [1–4], в итоге получим следую-
щие семейства многопараметрических решений система (1) [7]:
?(x) = exp {i?(? · a)(a · y)} ?, (14)
?(x) = exp {?i?(? · d)(d · y)} ?, (15)
?(x) = exp {i?(? · b)(b · y)} exp {i(? · a + ? · d)f (a · y + d · y)} ?, (16)
?(x) = (? · a + ? · d) exp {?[m(? · b)(b · y) + f (a · y + d · y)]} ?, (17)
a·y
1 1
?(x) = v exp ? (? · a)(? · b) arctg exp {i(? · b)g(?)} ?,
b·y
2
? (18)
2 1/2
? = (a · y) + (b · y)
2
,
1
?(x) = exp ? (? · c)(? · d) ln(c · y + d · y) ?
2
(19)
1
? exp ? · a i? + (? · c + ? · d)a · y ?,
2
О точных решениях нелинейного уравнения для спинорного поля 109

b·y
?(x) = exp ? (? · b)(? · a + ? · d) (? · a + ? · d) ?
2(a · y + d · y) (20)
? exp {?i[m(? · c)c · y + f (a · y + d · y)]} ?,

b·y
1 1
?(x) = exp ? (? · b)(? · c) arctg ? (? · a)(? · d) ln(a · y + d · y) ?
c·y 2
2
(21)
1 2 1/2
? v (? · a + ? · d) exp {?im(? · c)?} ?, ? = (b · y) + (c · y)
2
,
?

b·y
1 1
?(x) = v exp ? (? · b)(? · c) arctg exp {i? · cg(?)} ?
c·y
2
? (22)
2 1/2
? exp {i(? · a + ? · d)f (a · y + d · y} ?, ? = (b · y)2 + (c · y) ,

1
(? · d)(? · a) ln(a · y + d · y) exp i[(? · b) + ?(? · a + ? · d)] ?
?(x) = exp
2 (23)
i
? ? ? (? · a + ? · d) [b · y + ? ln(a · y + d · y)] ?,
2
1
?(x) = exp ? (? · a + ? · d)(? · b)(a · y + d · y) ?
4
(24)
1
? exp i?(? · b) b · y + (a · y + d · y)2 ?.
4

В формулах (14)–(24) введены обозначения: ? — постоянный спинор, ? =
?(??)k + m, yµ = xµ + ?µ ; ?µ , aµ , bµ , cµ , dµ — произвольные постоянные, причем
?
a2 ? aµ aµ = b2 = c2 = ?d2 = ?1, a·b = b·c = c·d = d·a = a·c = b·d = 0,(25)
f (?) — произвольная дифференциальная функция,
?
? ? (??)k ? 1?k + m?, k = 1,
?
k?1 (26)
g(?) =
?
?(??) ln ? + m?,
? k = 1.
Отметим, что решения (14)–(24) аналитичны по m.
3. Как уже было сказано, при m = 0 симметрия уравнения (1) расширяется
? ?
до P (1, 3) = {P (1, 3), D}. P (1, 3)-неэквивалентные анзатцы (4) для спинорного
поля ? построены в [8], и с их помощью найдены многопараметрические семейства
решений уравнения (1) с m = 0. Выпишем некоторые из них:
?
(? · a)(? · b + ? · d)(b · y + d · y) ?
?(x) = exp
2
(27)
i?
? exp (??)k (? · a) 2a · y + ?(b · y + d · y)2
? ?,
2

a·y
1
?1/4
?(x) = (a · y)2 + (b · y)2 exp ? (? · a)(? · b) arctg ?
b·y
2
(28)
k?1
?
? exp i? · b (??)k (a · y)2 + (b · y)2 2
? ?, k = 1,
k?1
110 В.И. Фущич, В.М. Штелень, Р.З. Жданов

a·y
1
?1/4
?(x) = (a · y)2 + (b · y)2 exp ? (? · a)(? · b) arctg ?
b·y
2
(29)
a·y
? exp i?(? · b + ?? · a) ln (a · y)2 + (b · y)2 + 2? arctg ?, k = 1.
b·y

В формулах (27)–(29) yµ = xµ + ?µ , ?µ , ? — произвольные постоянные; aµ , bµ , cµ ,
dµ — постоянные, удовлетворяющие условиям (25).
Отметим следующую особенность семейств решений (14)–(24) и (27)–(29): они
?
являются соответственно P (1, 3)-, P (1, 3)-неразмножаемыми (понятие неразмно-
жаемых решений введено в работе [9]), т.е. такими, размножение которых с по-
мощью преобразований группы симметрии не выводит из данного семейства.
4. При k = 1/3 и m = 0 решения уравнения (1) можно искать не только с
помощью операторов (8), (9), но и с помощью операторов Kµ (10). Конформно
инвариантный анзатц (4) имеет вид [3, 4]
?·x b·x
(30)
?(x) = ? .
x·x
2
(x2 )
Подстановка (30) в (1) с m = 0 и k = 1/3 приводит к системе ОДУ, для
которой находится общее решение. Размножив его с помощью трансляций, придем
к C(1, 3)-неразмножаемому семейству решений

?·y ?·y
(??)1/3
?
? ? ?? = 0, (31)
?(x) = exp i? ? +? ,
(y ? y? )2 y ? y?
? ??
где y? = x? + ?? ; ?? , ?? , ? — произвольные постоянные.
Другие решения конформно инвариантного спинорного уравнения (1) можно
получить, например, из (27), (28) при k = 1/3 с помощью формул размножения [3,
4]
1 ? (? · x)(? · c)
?II (x) = ?I (x),
? 2 (x, c)
(32)
xµ ? cµ x2
, ?(x, c) = 1 ? 2cx + c2 x2 .
xµ =
?(x, c)
Эти формулы означают, что ?II (x) будет решением нашего уравнения, если
только ?I (x) является его решением.
Приведем еще одну формулу размножения решений уравнения (1) с m = 0 и
k = 1/2. Для этого воспользуемся тем фактом, что редуцированное уравнение (1)
(?0 + ?3 )??1 + ?1 ??2 + ?2 ??3 + i?(??)1/2 ? = 0 (33)
?
обладает бесконечной симметрией. Тогда для него получаем
1?
?II (?) = ??1 (?1 ) exp ?3 (?1 )?4 (?0 + ?3 ) ? ?2 (?1 )?2 (?0 + ?3 ) ?
0
2
1?
? ?0 (?1 )?0 (?1 )[?1 (?2 + ?1 (?1 )) + ?2 (?3 + ?2 (?1 ))](?0 + ?3 ) ?
2
?0 (?1 )d?1 , ??1 (?1 )(?2 + ?1 (?1 )), ??1 (?1 )(?3 + ?3 (?1 )) ,
? ?1 0 0
О точных решениях нелинейного уравнения для спинорного поля 111

где ?1 = x0 + x3 , ?2 = x1 , ?3 = x2 ; ?0 , ?1 , ?2 — произвольные дифференцируемые
функции.
В заключение отметим, что приведенные в таблице 1 анзатцы не исчерпывают
всех возможных анзатцев, редуцирующих уравнение (1) по независимым и зави-
симым переменным [10]. Так, анзатц
?u
(34)
?(x) = f (u) + ig(u) ?? ?,
?x?
где f , g и u = u(x) скалярные дифференцируемые функции, ? — постоянный
спинор, приводит (1) к следующей системе ДУЧП:
df k
= gF, F ? ? f 2 + ?g 2 + m,
du
dg N
= ?f F ? g, ? = ±1,
?
du u
при этом функция u удовлетворяет системе
?u ?u N
2u = (35)
= ?, ,
?x? ?x? u
где ? = ±1, N = ?2, ?1, 0, . . . , 3.

<< Предыдущая

стр. 27
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>