<< Предыдущая

стр. 28
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Обобщая результат Коллинза [11], выпишем решение системы (35)
1/2
? = ?1, N = ?2 : u(x) = (ay)2 + (by)2 + (cy)2 ,
1/2
? = ?1, N = ?1 : u(x) = (ay)2 + (by)2 ,
? = ?1, N = 0 : u(x) = ay + F (by + dy),
? = 1, N =0: u(x) = dy,
1/2
u(x) = (dy)2 ? (ay)2
? = 1, N =1: ,
1/2
u(x) = (dy)2 ? (ay)2 ? (by)2
? = 1, N =2: ,
v
u(x) = y? y ? ,
? = 1, N =3:
где yµ = xµ + ?µ ; ?µ , aµ , bµ , cµ , dµ — произвольные постоянные, удовлетворяющие
условиям (25), F — произвольная дифференцируемая функция.
Описание решений уравнения (1) вида (34) будет посвящена отдельная работа.

1. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в сб. Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
2. Фущич В.И., О симметриях и частных решениях некоторых многомерных уравнений математи-
ческой физики, в сб. Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4–23.
3. Фущич В.И., Штелень В.М., Об инвариантных решениях нелинейного уравнения Дирака, ДАН
СССР, 1983, 269, № 1, 88–92.
4. Fushchych W.I., Shtelen V.M., On some exact solutions of the nonlinear Dirac equation, J. Phys.
A, 1983, 16, № 2, 271–277.
5. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continious subgroups of the fundamental groups of physics,
J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1597–1624.
6. Grundland A.M., Harnad I., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Phys., 1984, 25, № 4, 791–806.
112 В.И. Фущич, В.М. Штелень, Р.З. Жданов

7. Фущич В.И., Штелень В.М., О редукции и точных решениях нелинейного уравнения Дирака,
Теор. мат. физика, 1987, 72, № 1, 35–44.
8. Фущич В.И., Жданов Р.З., Точные решения систем нелинейных дифференциальных уравнений
для спинорного и векторного поля, в сб. Теоретико-групповые исследования уравнений матема-
тической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1985, 20–30.
9. Фущич В.И., О пуанкаре-, галилеево-инвариантных нелинейных уравнениях и методах их ре-
шения, в сб. Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики, Киев, Ин-т
математики АН УССР, 1985, 4–19.
10. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
11. Collins C.B., Complex potential equations. I. A technique for solution, Math. Proc. Cambr. Phil.
Soc., 1976, 80, № 1, 165–187.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 113–117.

Точнi розв’язки та принцип суперпозицiї
для нелiнiйного хвильового рiвняння
В.I. ФУЩИЧ, В.А. ТИЧИНIН
Some classes of exact solutions are obtained for a nonlinear wave equation. The method
is suggested to construct a new solution of the nonlinear wave equation from two knows.

Нелiнiйнi хвильовi рiвняння
F (u) ? ux0 x0 ? (C(u)xx1 )x1 = 0 (1)
зустрiчаються при описаннi поперечних коливань струн iз змiнною щiльнiстю, по-
здовжнiх коливань стержнiв iз змiнним модулем пружностi, при описаннi багатьох
iнших процесiв [1–5]. Груповий аналiз цього рiвняння зроблений в [3]. Нижче
одержанi деякi класи точних розв’язкiв рiвняння (1) за допомогою нелокального
перетворення його до лiнiйного. Крiм того, запропонований спосiб побудови нового
розв’язку нелiнiйного рiвняння по двох вiдомих розв’язках.
Нелiнiйне рiвняння (1) зводиться до лiнiйного
L(?) ? ?yy ? C(y)?? ? = 0 (2)
за допомогою нелокального перетворення [6]
x0 = ?? , x1 = ?y (?, ? = ?, y),
(3)
A:
u = y, ? ? det ??? = 0.
Це перетворення переводить (1) в P L(?)
A
F (u) ?> P L(?). (4)
Оператор P має вигляд
P = ?3 + 2?y? ?? ? (?yy ? C(y)?? ? ) ? C(y)?y? ?2 ? ?? +
y? ?
+ C(y)?3 ? ? ?2 ?? ? ?y + (?y? ?? ? ? ? ?? ? ?y? ? )(?yy + C(y)?? ? ) + (5)
? y?
+ 2 C(y)?y? ?? ? ?? ? ? ? ?2 ?y? ? ? C (y)?3 ? .
y? ?

Побудувавши розв’язки лiнiйного (2), знаходимо розв’язки нелiнiйного рiвнян-
ня (1). Розглянемо декiлька випадкiв.
1. Якщо C(u) = (au + b)?4 , a, b — довiльнi сталi, розв’язок лiнiйного рiвняння
має вигляд [2]
1 1
? a? (6)
?(y, ? ) = (ay + b) f + a? +g .
ay + b ay + b
Розв’язок нелiнiйного рiвняння (1) задається виразом
1
x1 = a f + g ? (7)
x0 = a(au + b)(f + g), (f + g ) .
au + b
Доповiдi АН УРСР. Сер. А, Фiз.-мат. та техн. науки, 1990, № 5, C. 32–36.
114 В.I. Фущич, В.А. Тичинiн

Тут f i g — довiльнi функцiї, штрих означає похiдну за вiдповiдним аргументом.
2. C(u) = u?2 , ki (s) — довiльнi функцiї параметра s (i = 1, 2). За розв’язком
лiнiйного рiвняння (2) [2]
v v
? s(s?1)?
s s(s?1)?
(8)
?(y, ? ) = y k1 (s)e + k2 (s)e

знаходимо розв’язок (1)

s?2 x2 u2(1?s) ? s1 (s ? 1)?1 x2 u?2s = 4k1 (s)k2 (s). (9)
1 0

Аналогiчно будуються розв’язки у випадках, коли C(u) дорiвнюють
?2
uk , u2 + 1
exp u, exp(?4 arctg u),
(1 + u)2(A?1) (1 ? u)?2(A+1) , u?4 exp ?2u?1 .

Скористаємося для побудови розв’язкiв (2) роздiленням змiнних, тобто розв’я-
зок лiнiйного рiвняння шукаємо у виглядi

?(y, ? ) = h(? ) · g(y). (10)

Це призводить до таких результатiв:

g ? ?C(y)g = 0, (11)

h ? ?h = 0, (12)

(? — стала, C(y) — довiльна функцiя),
v v
h1 (? ) = C1 ch ? ? + C2 sh ? ?, ? > 0,
h2 (? ) = C1 + C2 ?, ? = 0, (13)
|?| + C2 sin ? |?|, ? < 0.
h3 (? ) = C1 cos ?

Якщо C(u) = ?uk , де ? — довiльний дiйсний параметр, вiдповiднi розв’язки
лiнiйного рiвняння такi:
1) при k = ?2, r = 1 |4?? + 1|
2
1 1
g 1 (y) = C3 y 2 +r + C4 y 2 ?r , 4?? + 1 > 0,
v v
g 2 (y) = C3 y + C4 y ln y, 4?? + 1 = 0, (14)
v v
g 3 (y) = C3 y cos(r ln y) + C4 y sin(r ln y), 4?? + 1 < 0.

? > 0, ? < 0,
?1 (y, ? ) = h3 (? )g 1 (y), (14а)

? < 0, ? > 0,
?2 (y, ? ) = h1 (? )g 3 (y), (14б)

?? < ? < +?, ? = 0,
?3 (y, ? ) = h2 (? )g 1 (y), (14в)

? > 0, ? = ?(4?)?1 ,
?4 (y, ? ) = h3 (? )g 2 (y), (14г)

? < 0, ? = ?(4?)?1 ,
?5 (y, ? ) = h1 (? )g 2 (y), (14д)
Точнi розв’язки та принцип суперпозицiї 115

2) при k = ?2 розв’язки рiвняння (11) можуть бути вираженi через функцiї
Бесселя [7] (i2 = ?1):
2i v
v 1
k+2
?? · y 2 (15)
g(y) = yZ? , ?= ,
k+2 k+2
C3 , C4 — довiльнi сталi, Z? (x) = C3 J? + C4 Y? — цилiндричнi функцiї, J? , Y? —
Бесселевi функцiї першого та другого роду вiдповiдно. Розв’язки лiнiйного рiвня-
ння (2) мають вигляд
2i v
v k+2
?6 (y, ? ) = h1 (? ) yZ? (? + ), ? + ? ?? · y 2 , (16а)
k+2
?2 v
v k+2
?7 (y, ? ) = h3 (? ) yZ? (? ? ), ? ? ? ?? · y 2 , (16б)
k+2
З (14a) одержуємо такий розв’язок рiвняння (1):
1
?1
1 1
2
= C1 x0 |?|? 2 g 1 (u) ? C2 x1 C3
2 2
+ r ur? 2 +
C1 + C2
2
?1 2
1 ?1
1 1
? r u?r? 2 + C2 x0 |?|? 2 g 1 (u)
+ C4 + (17а)
2
2
?1
1 1
1 1
? r u?r? 2
+ r ur? 2 + C4
+ C1 x1 C3 .
2 2
Аналогiчно будуються розв’язки (1) з (14б–д). За розв’язками (16а,б) лiнiйного
рiвняння (2) знаходимо такi розв’язки рiвняння (1):
?1
2
|?|uZ? (? ± )
C2 ? C1 ?
2 2
= C2 x0
2
?1
v
1
v Z? (? ± ) + uZ? (? ± )
? C1 x1 ? (18а,б)
2u
2
?1
v
?1 1
±
v Z? (? ± ) + uZ? (? ± )
? |?|uZ? (? ) ? C2 x1
C1 x0 .
2u
Верхнiй знак вiдповiдає (16а), нижнiй — (16б).
Нехай g(y) = F (y, C3 , C4 ) — деякий розв’язок рiвняння (11) з визначеним C(y),
тодi розв’язки вiдповiдного нелiнiйного рiвняння (1) будуються за формулою
2 2
C2 x0 C1 x1 C1 x0 C2 x1
22
C1 ± ? ? ?
2
(19)
C2 = ,
|?|F (u) F (u) |?|F (u) F (u)
де верхнiй знак вiдповiдає ? > 0, нижнiй — значенням ? < 0. Якщо пiдставити
y = u в розв’язок лiнiйного рiвняння (2)
v v
?1 (y, ? ) = [C1 ch ? ? + C2 sh ? ? ] · F (y, C3 , C4 ),
|?| + C2 sin ? |?| · F (y, C3 , C4 ),
?2 (y, ? ) = C1 cos ?

i виключити потiм параметр ? з одержаних рiвнянь, приходимо до розв’язкiв (19).
116 В.I. Фущич, В.А. Тичинiн

Побудуємо новий розв’язок нелiнiйного рiвняння (1) з вiдомих розв’язкiв u1 , u2 .
Скористаємося для цього принципом суперпозицiї розв’язкiв лiнiйного рiвняння
(2). В одному з простих розв’язкiв рiвняння (1) з C(u) = ?u?4 надамо параметру
C значення C1 , C2 = C1 . Одержуємо два рiзних розв’язки (1)
1
x? 2
1 1
?1 ?
u? = ?? ? 1 ? ? C? x0
0
(20)
(? = 1, 2).
4 2
x1

Для (20) будуємо розв’язки лiнiйного рiвняння (2)

1 1
C? ?? 2 y? + 1 . (21)
?? (y, ? ) =

<< Предыдущая

стр. 28
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>