<< Предыдущая

стр. 29
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

4
Тодi
1 1
(k? C? ) ?? 2 y? + 1 , (22)
?3 (y, ? ) = k1 ?1 (y, ? ) + k2 ?2 (y, ? ) =
4
k? (? = 1, 2) — довiльнi сталi. При цьому

11 1
x? = ??,? (y, ? ) = ? ?? 2 C? ?? 2 y? + 1 ,
0
2
(23)
1
x? = ??,y (y, ? ) = ? C? y ?2 ? ??1 ? 2 ,
1
4

11 1
x3 = ? ?? 2 (k? C? ) ?? 2 y? + 1 ,
0
2
(24)
1
x3 = ? (k? C? ) y ?2 ? ??1 ? 2 .
1
4

Внаслiдок (3) з (24) будуємо розв’язок (1)
1
x3 2
1 1
?1 3
u3 = ?? 0
3 1 + ? (k? C? ) x0 =
4 2
x1
(25)
1
k1 x1 + k2 x2
1 1 2
?1
= ?? 0 0
1 + ? 2 (k? C? k1 x1 + k2 x2 .
4
0 0
1 + k x2
k1 x1 21

Продиференцiювавши розв’язок (20) по x? та розв’язавши одержану систему вiд-
1
носно x? та x? , знаходимо
0 1

1
x? = ? u? · (u?,x? )?1 ,
1 1
2
(26)
1
2
11 1 1
x? = ?? 2 C? ± ??1 C? ? ??1 C? u3 (u?,x? )?1
2
.
0 ? 1
2 4 2

Тут u?,x? ? ?u?
(пiдсумовування по ? немає) та
?x?
1 1


?1 ?1
x2 = C2 C1 x1 ? ? x1 , x2 = C2 C1 x1 ? ? x1 . (27)
0 0 0 1 1 1
Точнi розв’язки та принцип суперпозицiї 117

Пiдставляючи (26), (27) у праву частину (25), будуємо u3
1
1 1 1 1
2
?1
= ?? ? ·? · (?2) 2 ?
u3 x1 , x1 1 + ? (k? C? )
4 2 2
0 1

?1
2
u?1 1 u?1 2
? k1 u1 x1 , x1 x1 , x1 x1 x1 x1 x1
+ k2 u2 ? ,? ? ,? ,
0 1 0 1 0 1 0 1
1,x1 2,x1
(28)
11 12 1
C1 ? C1 u3 (x1 , x1 )u?1 1 (x1 , x1 )
? x1 , x1 = ??1 k1 ? 2 C1 ± +
0 1 10 1 1,x1 0 1
2 4 2
11 12 1
u?1 2 ? x1 , ? x1
+ ??1 k2 ? 2 C2 ± C2 ? C2 u3 ? x1 , ? x1 .
2 0 1 0 1
2,x
2 4 2 1




1. Ames W.F., Nonlinear partial differential equations in engineering, Vol. 1, New York, Acad. Press,
1965, 301 р.
2. Bluman G., Kumei S., On invariance properties of wave equations, J. Math. Phys., 1987, 28, № 2,
307–318.
3. Ames W.F. Lohner R.J., Adams E., Group properties of utt = (f (u)ux )x , in Nonlinear Phenomena
in Mathematical Sciences, Editor V. Lakshmikanthan, New York, Acad. Press, 1982, 1–6
4. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 399 с.
5. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н., Метод дифференциальных связей и его приложения
в газовой динамике, Новосибирск, Наука, 1984, 272 с.
6. Фущич В.И., Тычинин В.А. О линеаризации некоторых нелинейных уравнений с помощью
нелокальных преобразований, Препринт 82.33, Киев, Институт математики АН УССР, 1982,
48 c.
7. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1971,
576 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 118–120.

Про редукцiю багатовимiрного
нелiнiйного хвильового рiвняння
до двовимiрних рiвнянь
В.I. ФУЩИЧ, I.А. ЄГОРЧЕНКО
The condition of reduction of multidimensional wave equations to the two-dimensional
equation is studied and the necessary conditions of compatibility and exact solutions of
the resulting d’Alembert–Hamilton system are obtained.

1. Розв’язки нелiнiйного хвильового рiвняння
2u = F (u),
(1)
2 ? ?x0 ? ?x1 ? · · · ? ?xn ,
2 2 2
u = u(x0 , x1 , . . . , xn )
будемо шукати за допомогою анзаца [1–4]
(2)
u = ?(y, z),
де y, z — новi змiннi. Пiдстановка (2) в (1) приводить до рiвняння
?yy yµ yµ + 2?yz zµ yµ + ?zz zµ zµ + ?y 2y + ?z 2z = F (?)
(3)
?y ??
yµ = , ?y = ,
?xµ ?y
звiдки одержуємо систему рiвнянь:
yµ yµ = r(y, z), yµ zµ = q(y, z), zµ zµ = s(y, z),
(4)
2y = R(y, z), 2z = S(y, z).
Система (4) є умовою редукцiї багатовимiрного хвильового рiвняння (1) до
двовимiрного рiвняння (3) за допомогою анзаца (2).
Така редукцiя становить iнтерес, тому що розв’язки двовимiрних рiвнянь в ча-
стинних похiдних, в тому числi i нелiнiйних, можуть бути дослiдженi бiльш повно,
нiж розв’язки багатовимiрних рiвнянь.
Наприклад, нехай yµ yµ = ?zµ zµ = ?1, zµ yµ = 2y = 2z = 0. Тодi (3) має
вигляд
?yy ? ?zz = F (?).
Якщо F (?) = sin ?, то редуковане рiвняння має солiтоннi розв’язки. Якщо
F (?) = exp ?, воно має загальний розв’язок.
2. Сформулюємо необхiднi умови сумiсностi системи рiвнянь Даламбера–Га-
мiльтона для двох функцiй.
Систему рiвнянь (4), в залежностi вiд знаку виразу rs ? q 2 , локальними пере-
твореннями можна звести до одного з чотирьох типiв:
Доповiдi АН УРСР. Сер. А, Фiз.-мат. та техн. науки, 1990, № 8, C. 31–33.
Про редукцiю багатовимiрного нелiнiйного хвильового рiвняння 119

1) елiптичний випадок: rs ? q 2 > 0, v = v(y, z) — комплекснозначна функцiя,

2v = V (v, v ? ), 2v ? = V ? (v, v ? ),
(5)
vµ vµ = h(v, v ? ), vµ vµ = 0, vµ vµ = 0
? ??


(редуковане рiвняння елiптичного типу);
2) гiперболiчний випадок: rs ? q 2 < 0, v = v(y, z), ? = ?(y, z) — дiйснi функцiї,

2v = V (v, ?), 2? = W (v, ?),
(6)
?µ ?µ = h(v, ?), vµ vµ = 0, ?µ ?µ = 0

(редуковане рiвняння гiперболiчного типу);
3) параболiчний випадок: rs ? q 2 = 0, r2 + s2 + q 2 = 0, v(y, z), ?(y, z) — дiйснi
функцiї,

2v = V (v, ?), 2? = W (v, ?),
(7)
vµ ?µ = 0, vµ vµ = ? (? = ±1), ?µ ? µ = 0

(якщо W = 0, то редуковане рiвняння параболiчного типу);
4) рiвняння першого порядку r = s = q = 0: y > v, z > ?

vµ vµ = ?µ ?µ = vµ ?µ = 0,
(8)
2v = V (v, ?), 2? = W (v, ?).

Аналiз сумiсностi системи Даламбера–Гамiльтона

2u = F (u), (9)
uµ uµ = f (u)

в тривимiрному просторi був проведений Коллiнзом в [5]. Необхiднi умови сумi-
сностi системи (9) для чотирьох незалежних змiнних вивчались в роботi [6].
Сформулюємо необхiднi умови сумiсностi систем (5)–(8).
Теорема 1. Система (5) сумiсна тiльки в тому випадку, коли
h(v, v ? )?v? ? ?
?v? ?
V= , ,
?v ?
?
де ? довiльна функцiя, для якої виконується умова

(h?v? )n+1 ? = 0.

Теорема 2. Система (6) може бути сумiсною тiльки в тому випадку, коли
h(v, ?)?? ? h(v, ?)?0 ?
V= , W= ,
? ?
де функцiї ?, ? задовольняють умови

(h?v )n+1 ? = 0, (h?? )n+1 ? = 0.

Теорема 3. Система (7) сумiсна тiльки в тому випадку, коли
??v ?
W ? 0.
n+1
V= , ?v ? = 0,
?
120 В.I. Фущич, I.А. Єгорченко

Система (8) сумiсна у випадку V = W ? 0.
Доведення цих теорем проводиться iз застосуванням лем, наведених в [6], та
вiдомої теореми Гамiльтона–Келi, згiдно з якою матриця є коренем свого характе-
ристичного полiнома.
Зауваження 1. Рiвняння (5) можна переписати для пари дiйсних функцiй ? =
Re v, ? = Im v. Проте в цьому випадку необхiднi умови сумiсностi мають дуже
громiздкий вигляд.
Зауваження 2. Перехiд вiд (4) до (5)–(8) зручний тiльки з точки зору дослiдже-
ння сумiсностi. Знак виразу rs ? q 2 може змiнюватись для рiзних y, z i перехiд
розглядається тiльки в областi, де цей знак постiйний.
3. Наведемо явнi розв’язки систем типу (4) i редукованi рiвняння. Параметри
aµ , bµ , cµ , dµ (µ = 0, 3) задовольняють умови

?a2 = b2 = c2 = d2 = ?1 (a2 ? a2 ? a2 ? · · · ? a2 ),
0 1 3
ab = ac = ad = bc = bd = cd = 0;
y, z — функцiї вiд x0 , x1 , x2 , x3 .
1) y = ax, z = dx,
?yy ? ?zz = F (?);
1/2
y = ax, z = (bx)2 + (cx)2 + (dx)2
2) ,
2
?yy ? ?zz ? ?z = F (?);
z
3) y = bx + ?(ax + dx), z = cx,
??zz ? ?yy = F (?);
1/2
y = (bx)2 + (cx2 )
4) , z = ax + dx,
1
??yy ? ?y = F (?).
y

<< Предыдущая

стр. 29
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>