<< Предыдущая

стр. 3
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

x2 x3
v
2t + 1 u ? mtx 2
2
2t2 + 1
AO(3) ? S1 + T1 + ?Z1 : ? 2? arctg ( 2t).
, ln
x2 x2
v 2
x1 + 2x2
S1 + T1 + J12 , Z1 , H1 + P2 : ,
(2t2 + 1) x2
v v
3
v
x2 ? x2 2t + x1 x2 2t2 ? 1
2 2t2 + 1 u 2tx 2 1 2
?m +2 .
x2 x2 x2
3 3 3
v v
S1 + T1 + 2J12 + ?M1 , H1 + P2 + 2P3 , H2 ? P1 ? 2H3 (? < 0) :
v
2 2tx1 + 2t2 ? 1 x2 + v2 2t2 + 1 x3
1
?= ,
3/2
(2t2 + 1)
v
v m t 2t2 ? 3 2 1 ? 6t2
u ? 2mt? 2 ? v x2 ? x2 + 2 x1 x2 ?
1 2
2 (2t2 + 1)2 (2t2 + 1)
Редукция и точные решения уравнения Гамильтона–Якоби 9
v
v
2 2 2t
?2 x1 x3 ? 2 x2 x3 ? m? arctg ( 2t).
2t + 1 2t + 1
v v
?Z1 + S1 + T1 + 2J12 , H1 + P2 + 2P3 , H2 ? P1 ? 2H3 (? ? R) :
v v
2t 2t2 ? 3 1 ? 6t2
m 2
u? 2 x1 ? x2 + x1 x2 ? 2 x1 x3 ?
2 2
2 2
? 2t + 1
2 (2t2 + 1) (2t2 + 1)
v v
2t
?2 x2 x3 ? 2mt, ln ? + ? arctg ( 2t),
2t + 1
v
2 2tx1 + 2t2 ? 1 x2 + v2 2t2 + 1 x3
1
где ? = .
3/2
(2t2 + 1)
J04 + D, H1 + P3 , H2 + ?P2 + ?P3 (? > 0, ? ? 0) :
v
? ? 2( 2t??) 2
v 2 x2
m
m2
u 2t x1
2, t.
?x2 x1
v + v2t + x3
2t??
m2
G3 , P1 , P2 : ut ? x , u.
23
m2
G1 , G2 , G3 ? J12 : u, ut ? x1 + x2 + x2 .
2 3
2
AO(1, 3) : u ? mt, u2 + m2 t2 ? x2 ? x2 ? x2 .
1 2 3
G3 + 2T, P1 , P2 : u ? 2m x3 , u ? 3m x3 u + 3m3 t.
2 2 3 2
v v v
2 22 m 2
G1 , G2 ? P2 , P3 : u, u+1 t? x2 ? u + 1 x2 .
1
m 2 2u m
G3 , J04 + P2 , P1 : uex2 , 2ut ? mx2 .
3
G1 , G2 , J04 + P3 : ue , 2ut ? m x2 + x2 .
x3
1 2
ut
J04 + ?D, J12 + ?D, P3 (?2 + ? 2 = 0) : 2 ,
x1 + x2
2
u x2
? ln x2 + x2 .
? ln + 2? arctg 1 2
t x1
2ut ? mx2
? ?+1 3
?
G3 , J04 + ?D, P1 : ux2 , ,
2
x2
2ut ? mx2 mt + u
3
J12 , J34 , D : 2 + x2 , .
1/2
x1 (x2 + x2 )
2 1 2
2
u3 ? 3m2 x3 u + 3m3 t
u2 ? 2m x3 2
J04 ? 2D, G3 + 2T, P1 : , .
x3
x2 2
u2 ? 2m2 x3 u3 ? 3m2 x3 u + 3m3 t
J12 , J04 ? 2D, G3 + 2T : , .
1/2 3/4
(x2 + x2 ) (x2 + x2 )
1 2 1 2
u2
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 : u + mt, t ? + 2 x2 + x2 + x2 .
1 2 3
m
P1 + K1 + 2J03 , P2 + K2 + 2J04 , J12 + J34 :
2
2ut ? m x2 + x2 + x2 + 1 ? 4 x2 + x2
1 2 3 1 2
,
2
[2ut ? m (x2 + x2 + x2 ? 1)]
v
1 2 3
(mt + u) tu ? m x1 + x2 + x2 + 1 + 2 2x1 x3 m2 + 2mx2 (mt ? u)
2 2
3
v .
2
2 [2ut ? m (x2 + x2 + x2 ? 1)]
1 2 3
10 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

2
2ut ? m x2 + x2 + x2
2m2 x2 + (mt ? u)2 1 2 3
P0 ? K0 , J12 , J34 : 3
, .
2 (x2 + x2 ) 2 (x2 + x2 )
2m m
v 1 2 1 2
2 2ut ? m x1 + x2 + x3 2ut ? m x2 + x2 + x2
2 2 2
1 2 3
AO(3) ? P0 ? K0 : , .
mt ? u 2 + x2 + x2 )1/2
m (x 1 2 3
P0 ? K0 ? ?(K4 ? P4 ), J12 , J13 , J23 (? > 0, ? = 1) :
2
2(mt ? u)2 + 2ut ? m x2 + x2 + x2 ? 1
1 2 3
,
2 (x2 + x2 + x2 )
m
v 1 2 3
2ut ? m x2 + x2 + x2 ? 1
2(mt + u)
v1 2 3
? arctg 2 + x2 + x2 + 1) + arctg .
2ut ? m (x1 2(mt ? u)
2 3
v v mt ? u
v,
?2D + J04 , ?P0 + P4 + 3G3 , K0 + K4 + 3H3 :
m2
v v v
v 2(mt + u + m 2x5 ) + 2 3(mt + u ? m 2x5 )x4
v
33 +
m 2x3 3
v v
v 3
3(mt + u ? m 2x5 )2 + 8m2 x4
(mt + u ? m 2x5 )3
v ? ?
+
8m6 x3
2 2m3 x3 3
v v
3
3(mt + u ? m 2x5 )2 + 8m2 x4
? 12 (mt ? u)2 + 2m2 .
4x
4m 3
m 1/2
J03 , J04 , J34 , J12 : ut ? x2 , x2 + x2 .
3 1 2
2 v
v
u x2 2 u 2
ln 2 ? (t ? 2 ln x3 ).
J04 + D + M, G3 , P1 : 2 , 3 +
x2 u m x3 m

§ 4. Анзацы вида u = f (t, x)?(?), ? = ?(t, x)
В §§ 4–7 мы используем инварианты подалгебр ранга 3 алгебры AC(1, 4), выпи-
санные в § 2, для построения анзацев, редуцирующих уравнение (1.1) к обыкно-
венным дифференциальным уравнениям. Все такие анзацы мы разбиваем на че-
тыре типа в зависимости от вида анзаца. Для каждого анзаца мы указываем
соответствующую ему подалгебру, выписываем редуцированное уравнение и не-
которые точные решения уравнения (1.1). В отдельных случаях удобно проводить
редукцию уравнения (1.1) по заданной алгебре L ? AC(1, 4), используя для это-
го цепочку ее подалгебр. Рассмотрим, например, алгебру L = Y1 , Y2 , Y3 , где
v v
Y1 = ?P0 + P4 + 3G3 , Y2 = ?2D + J04 , Y3 = K0 + K4 + 3H3 , и выделим в ней
цепочку подалгебр Y1 ? Y1 , Y2 ? L. Полная система инвариантов подалгебры
Y1 состоит из функций
v v2
3
t1 = 2y1 + 2 3y2 y5 + y2 , t2 = 3y2 + 4y5 , t3 = u, t4 = y4 ,

где y1 = x0 + x4 , y2 = x0 ? x4 , y2 = x2 , y5 = x3 . Уравнение Гамильтона–Якоби в
переменных y1 , y2 , y4 , y5 , u принимает вид
2 2
?u ?u ?u ?u
? ? (4.1)
4 = 1.
?y1 ?y2 ?y4 ?y5

Подалгебре Y1 соответствует анзац u = u(t1 , t2 , t4 ). Подставляя его в уравнение
Редукция и точные решения уравнения Гамильтона–Якоби 11

(4.1), получаем
v 2 2 2
?u ?u ?u
? ? 16 (4.2)
4 3t2 = 1.
?t1 ?t4 ?t2
Полная система инвариантов подалгебры Y1 , Y2 состоит из функций
t2 t2 u
?1 = 1 , ?2 = , .
t3 t4 t4
4

Применяя анзац u = t4 · v(?1 , ?2 ), редуцируем уравнение (4.2) к уравнению
v 2 2 2
?v ?v ?v
?v ? ?
2 2 2
16 3?1 ?2 9?1 ?2 +
??1 ??1 ??1
(4.3)
2
?v ?v ?v ?v ?v
? 6?1 ?2 v ? 16
+ 6?1 v + 2?2 v = 1.
??1 ??2 ??1 ??2 ??2
Генератор Y3 в переменных v, ?1 , ?2 приобретает вид
v
? ?
2m (4 + v 2 ) + ?2
2
+ 2 3m .
??1 ??2
Следовательно, полная система инвариантов алгебры L состоит из функций v и
v
? = 3 3?1 ? ?2 ? 12?2 (?3 + 1). Применяя анзац v = ?(?) и подставляя его в
3 2

<< Предыдущая

стр. 3
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>