<< Предыдущая

стр. 30
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


1. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в сб. Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
2. Grundland A., Harnad J., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invariant
equations, J. Math. Phys., 1984, 25, 791–807.
3. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’Alembert and eikonal equation, J. Phys. A, 1983, 16, 3645–3656.
4. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
5. Collins S.B., Complex potential equations. I, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1976, 80, 165–187.
6. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On some new exact solutions of the nonlinear d’Alembert–Hamilton
system, Phys. Lett. A, 1989, 141, № 3–4, 113–115.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 121–125.

Нелиевские анзацы и точные решения
нелинейного спинорного уравнения
В.И. ФУЩИЧ, Р.З. ЖДАНОВ
С использованием условной симметрии нелинейного уравнения Дирака получены но-
вые анзацы для спинорного поля, редуцирующие это уравнение к системам обыкно-
венных дифференциальных уравнений. Построен новый класс точных решений не-
линейного уравнения Дирака, содержащий три произвольных функции.

1. В [1–3] предложено естественное обобщение лиевского подхода к построе-
нию точных решений дифференциальных уравнений в частных производных (ДУ-
ЧП). Оно основано на выделении из всего множества решений таких подмножеств,
которые обладают более широкой симметрией, чем множество в целом. Для этого
необходимо к заданному уравнению дописать дополнительные условия (уравне-
ния) с тем, чтобы полученная система ДУЧП обладала более широкой симметри-
ей, чем исходное уравнение и, кроме того, была совместной.
В настоящей работе, используя эту идею, построим семейство новых точных
решений следующего нелинейного спинорного уравнения
?
{i?µ ?µ ? ?(??)1/2k }? = 0, (1)
где ? = ?(x0 , x1 , x2 , x3 ) — четырехкомпонентная комплексная функция-столбец,
?
? = ? + ?0 , ?µ — матрицы Дирака размерности 4 ? 4, ?µ = ?/?xµ , µ = 0, 3,
?, k = const, по повторяющимся индексам предполагается суммирование от 0 до 3.
2. Решение уравнения (1) ищем в виде
?(x) = exp{fµ? (x)?µ ?? }?(?), (2)
где ?(?) — четырехкомпонентная функция-столбец; fµ? (x) и ? = ?(x) — скаляр-
ные действительные функции, которые выбираются так, чтобы подстановка выра-
жения (2) в уравнение (1) приводила последнее к системе обыкновенных уравне-
ний дифференциальных (ОДУ) для ?(?).
Далее, опишем все анзацы (2), редуцирующие систему нелинейных спинорных
ДУЧП (1) к ОДУ при условии, что функции fµ? , ? имеют следующую структуру:
1
f00 = ?f11 = ?f22 = ?f33 = ?0 (x0 + x3 , x1 , x2 ),
4
1
f01 = ?f10 = f13 = ?f31 = ?1 (x0 + x3 , x1 , x2 ),
2
1
= ?f20 = f23 = ?f32 = ?2 (x0 + x3 , x1 , x2 ),
f02
2
f03 = f30 = f12 = f21 = 0, ? = ?(x0 + x3 , x1 , x2 ).
Подставляя анзац
(3)
?(x) = exp{?0 + (?1 ?1 + ?2 ?2 )(?0 + ?3 )}?(?)
Укр. матем. журн., 1990, 42, № 7, C. 958–962.
122 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

в уравнение (1) и умножая полученное равенство слева на exp{??0 ? (?1 ?1 +
?2 ?2 )(?0 + ?3 )}, имеем
i[(?0 + ?2 )?? ?0 + ?a ?a ?0 + ?a ?b (?a ?b )(?0 + ?3 ) ? 2?a (?a ?0 )(?0 + ?3 )]? +
+ i[(?0 + ?3 )(?? ? ? 2?a ?a ?) + ?a ?a ?]? ? ?e?0 /k (??)1/2k ? = 0,
? ?
где ? = x0 + x3 , ?? = ?/??, по повторяющимся индексам предполагается суммиро-
вание от 1 до 2.
Отсюда заключаем, что анзац (3) редуцирует исходное ДУЧП к ОДУ, если
выполняются следующие нелинейные уравнения:
?? ?0 ? 2?a ?a ?0 ? ?a ?a = e?0 /k f1 (?),
1)
?1 ?0 = e?0 /k f2 (?),
2)
?2 ?0 = e?0 /k f3 (?),
3)
?2 ?1 ? ?1 ?2 = e?0 /k f4 (?), (4)
4)
?? ? ? 2?a ?a ? = e?0 /k f5 (?),
5)
?1 ? = e?0 /k f6 (?),
6)
?2 ? = e?0 /k f7 (?).
6)
В (4) f1 , . . . , f7 — произвольные гладкие функции.
Следует отметить, что в силу произвольности ?(?) при подстановке выражений
(5)
?(x), ?? (x)
и
(6)
h(?(x)), ?? + h? (?(x)),
где h, h? ? C 1 (R1 , R1 ), ? = 0, 2, в формулу (3) получаем один и тот же анзац для
поля ?(x). В этом смысле решения системы ДУЧП (4) вида (5), (6) эквивалентны.
Система (4) содержит семь уравнений для четырех функций ?, ?? , т.е. являе-
тся переопределенной. Именно это обстоятельство позволяет построить ее общее
решение.
Теорема. Общее решение системы нелинейных ДУЧП (4), определяемое с то-
чностью до введенного выше отношения эквивалентности, задается одной из
следующих формул:
?0 = k ln w1 , ?1 = (2w1 )?1 (w1 x1 + w2 ),
1) ? ?
?1
?2 = (2w1 ) ((2k ? 1)w1 x2 + w3 ), ? = w1 x1 + w2 ;
?
?0 = ?k ln(x1 + w1 ),
2)
1
k?1
?a = w3 (x1 + w1 )2 + (x2 + w2 )2 (7)
(xa + wa ) + wa , a = 1, 2,
?
2
? = (x1 + w1 )(x2 + w2 )?1 ;
?0 = 0, ?1 = R(x1 + ix2 , x0 + x3 ) + R(x1 ? ix2 , x0 + x3 ) + w1 x1 ,
3)
?2 = R(x1 + ix2 , x0 + x3 ) ? R(x1 ? ix2 , x0 + x3 ) + w2 x1 , ? = x0 + x3 .
Здесь w1 , w2 , w3 — произвольные гладкие функции от x0 +x3 , R — произвольная
аналитическая по первой переменной функция.
Нелиевские анзацы и точные решения нелинейного спинорного уравнения 123

Приведем основные этапы доказательства, опуская громоздкие промежуточные
выкладки.
Вначале интегрируется переопределенная система уравнений 2, 3, 6, 7 из (4).
Сделав замену ? = e??0 /k , перепишем эту систему в виде
?a ? = ??1 Ga (?), Fa , Ga ? C 1 (R1 , R1 ), a = 1, 2. (8)
?a ? = Fa (?),
Из необходимых и достаточных условий совместности уравнений (8) ?1 ?2 ? =
?2 ?1 ?, ?1 ?2 ? = ?2 ?1 ? следуют такие соотношения на Fa (?), Ga (?):
? ? ? ?
G2 G1 ? G1 F2 = G1 G1 ? G2 F1 (9)
F1 G2 = G1 F2 ,
(точка обозначает производную по переменной ?).
Интегрирование системы ОДУ (9) существенно облегчается, если заметить,
что определенное выше отношение эквивалентности (формулы (6), (7)) индуцирует
отношение эквивалентности на множестве решений уравнений (9)
?
? ? ?
Fa (?) ? Fa (f1 (?)) ? f 2 (?)Ga (f1 (?)),
(10)
?
Ga (?) ? (f 1 (?)f2 (?))?1 Ga (f1 (?)),
? ? ?

??
?? ?
где f1 , f2 ? C 1 (R1 , R1 ), f 1 f2 = 0.
Интегрируя систему ДУЧП (8), (9), устанавливаем, что ее общее решение,
определяемое с точностью до отношений эквивалентности (6), (7), (10), задается
одной из формул вида
?1
1) F1 = G1 = 1, F2 = G2 = 0, ? = w1 , ? = w1 x1 + w2 ;
F1 = 1, F2 = 0, G1 = ?, G2 = ?? ?2 , ? = x1 + w1 ,
2)
? = (x1 + w1 )(x2 + w2 )?1 ;
(11)
3) F1 = F2 = G1 = G2 = 0, ? = ?, ? = 1;
F1 = F2 = 0, G1 , G2 ? C 1 (R1 , R1 ), ? = ?,
4)
? = G1 (?)x1 + G2 (?)x2 + w3 .
Здесь w1 , w2 , w3 — произвольные гладкие действительные функции от ?.
Подставляя выражения для функций ?(x), ?0 (x) = ?k ln ?(x) в остальные урав-
нения системы (4), получаем четыре системы ДУЧП для определения функций
?a (x). Интегрируя первые три из них, получаем формулы (7). Четвертая система
несовместна.
Подставляя выражения (7) в формулу (3), получаем три класса анзацев для
спинорного поля ?(x):
?(x) = w1 exp (2w1 )?1 [((2k ? 1)w1 x2 + w3 )?2 +
k
1) ?
+ (w1 x1 + w2 )?1 ](?0 + ?3 ) ?(w1 x1 + w2 );
? ?
k?1
?(x) = (x1 + w1 )?k exp w3 (x1 + w1 )2 + (x2 + w2 )2 ?a (xa + wa ) ?
2)
(12)
1
? (?0 + ?3 ) + wa ?a (?0 + ?3 ) ? (x1 + w1 )(x2 + w2 )?1 ;
?
2
?(x) = exp [(R + R? + w1 x1 )?1 + (iR ? iR? + w2 x1 )?2 ](?0 + ?3 ) ?
3)
? ?(x0 + x3 ),
124 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

которые редуцируют нелинейное уравнение Дирака (1) к системам ОДУ

i?1 ? = ?(??)1/2k ?;
1) ? ?
i(?2 ? ??1 )? = ?(??)1/2k ?; (13)
2) ? ?
i(?0 + ?3 )? = ?(??)1/2k ?.
3) ? ?

Общее решение системы 1 из (13) задается следующей формулой [4]:

?(?) = exp i?(??)1/2k ?1 ? ?,
?

где ? — постоянный четырехкомпонентный столбец. Подставляя это выражение в
анзац 1 из (12), получаем новое семейство точных решений нелинейного спинор-
ного уравнения (1), содержащее три произвольных функции

?(x) = w1 exp (2w1 )?1 [(w1 x1 + w2 )?1 + ((2k ? 1)w1 x2 + w3 )?2 ] ?
k
? ? ?
(14)
? (?0 + ?3 ) exp i??1 (??)1/2k (w1 x1 + w2 ) ?.
?

Заметим, что анзацы (12) неинвариантны относительно трехпараметрических
подгрупп группы симметрии уравнения (1) (в данном случае — это расширенная
группа Пуанкаре [4]) и, следовательно, не могут быть получены в рамках тради-
ционного подхода С. Ли [5].
3. Покажем теперь, что нелиевские анзацы (12) можно построить, используя
условную инвариантность нелинейного уравнения Дирака (1).
Определение. Уравнение (1) условно-инвариантно относительно операторов

(15)
Q? = ?? µ (x)?µ + ?? (x), ? = 1, N ,

где ?? ? (x) — действительные скалярные функции, ?? (x) — переменные (4 ? 4)-
матрицы, если система ДУЧП
?
i?µ ?µ ? ?(??)1/2k = 0,
(16)
Q? ? = 0, ? = 1, N ,

инвариантна в смысле Ли относительно однопараметрических групп преобра-
зований, генерируемых операторами Q? .
Иначе говоря, уравнение (1) обладает условной симметрией, если множество
его решений содержит непустое подмножество, не совпадающее со всем множе-
ством, которое имеет нетривиальную симметрию.
Укажем в явном виде операторы Q? , ? = 1, 3, такие, что (14) удовлетворяет
системе (16). Для этого необходимо решить следующую систему алгебраических
уравнений для функций ?? µ , ?? :

?? µ (x)?µ ?(x) = 0,
?? = ? ?? µ (x)?µ exp{?0 (x) + ?a ?a (x)(?0 + ?3 )} ? (17)
? exp{??0 (x) ? ?a ?a (x)(?0 + ?3 )}.

Здесь ?, ?0 , ?1 , ?2 — скалярные функции, определяемые формулами 1 из (7),
? = 1, 3.
Нелиевские анзацы и точные решения нелинейного спинорного уравнения 125

Решая уравнения (17), имеем
1 1
(?0 ? ?3 ), Q2 = w1 ?2 + (1 ? 2k)w1 ?2 (?0 + ?3 ),
Q1 = ?
2 2
1
Q3 = w1 (?0 + ?3 ) ? w1 (x1 ?1 + x2 ?2 ) ? w2 ?2 ? k w1 +
? ? ? (18)
2
+ (2w1 )?1 [(2w1 w2 ? w1 w2 )?1 + 2(w3 w1 ? w1 w3 )?2 ](?0 + ?3 ) +
?? ? ? ?
+ (2w1 )?1 (2w1 ? w1 w1 )(?1 x1 + (2k ? 1)?2 x2 )(?0 + ?3 ).
?2 ?
Очевидно, что операторы Q2 , Q3 не являются линейными комбинациями генерато-
ров расширенной группы Пуанкаре и, следовательно, не принадлежат алгебре Ли
группы симметрии уравнения (1). Подействовав первыми продолжениями операто-
ров Q? на нелинейное ДУЧП (1), получаем соотношения
?
Q1 L = 0,
Q2 L = 2(2k ? 1)w1 ?2 Q1 ? + 2k w1 ? ?1 (?0 + ?3 )Q2 ? +
? ? ? 1
1
+ (2k ? 1)w1 ?2 (?0 + ?3 )L,
?
2

<< Предыдущая

стр. 30
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>