<< Предыдущая

стр. 31
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?1
?
Q3 L = 2w1 [(w1 w1 ? 2w1 )(?1 x1 + (2k ? 1)?2 x2 ) + (w1 w2 ? 2w1 w2 )?1 +
2
? ? ??
?2
+ 2(w1 w3 ? w3 w1 )?2 ]Q1 ? + 2w1 [(1 ? k)(2w1 ? w1 w1 )x2 + w1 w3 ?
?2
? ? ? ?
? ?1
? w3 w1 ]Q2 ? + 2w1 w1 (?0 + ?3 )Q3 ? ? {w1 + (2w1 )?1 (2w1 ? w1 w1 ) ?
?2
? ? ?
? (?1 x1 + (2k ? 1)?2 x2 )(?0 + ?3 ) + (2w1 )?1 [(2w1 w2 ? w1 w2 )?1 +
?? ?
+ 2(w3 w1 ? w1 w3 )?2 ](?0 + ?3 )}L,
? ?
?
где символом Qa обозначено первое продолжение оператора Qa , L = i?µ ?µ ? ?
?
?(??)1/2k ?.
Кроме того, выполнены коммутационные соотношения вида [Q1 , Q2 ] = [Q1 , Q3 ]
= 0, [Q2 , Q3 ] = ?2w1 Q2 . Из этого следует, что нелинейное уравнение Дирака (1)
?
условно инвариантно относительно операторов (18).
Аналогичным образом можно показать, что анзацы 2, 3 из (12) тоже получаю-
тся с использованием условной симметрии уравнения (1).
В заключение отметим, что анзацы (12) редуцируют к системам ОДУ более
общие нелинейные спинорные уравнения

i?µ ?µ ? (??)1/2k f1 ??(??4 ?)?1 + f2 ??(??4 ?)?1 ?4
? ??? ??? ? = 0,

?
где fa ? C 1 (R1 , C1 ).

1. Фущич В.И., Как расширить симметрию дифференциальных уравнений? в сб. Симметрия и
решения нелинейных уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР,
1987, 4–16.
2. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн. 1987, 39, № 1, 116–123.
3. Fushchych W.I., Tsifra I.M., On a reduction and solutions of nonlinear wave equation with broken
symmetry, J. Phys. A: Math. and Gen., 1987, 20, № 2, L45–L48.
4. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Symmetry and exact solutions of nonlinear spinot equations, Phys.
Repts., 1989, 172, № 4, 123–174.
5. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, M., Наука, 1978, 400 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 126–160.

Совместность и решения нелинейных
уравнений Даламбера и Гамильтона
В.И. ФУЩИЧ, Р.З. ЖДАНОВ, И.В. РЕВЕНКО
Установлены необходимые и достаточные условия совместности системы двух ска-
лярных комплексных волновых уравнений Даламбера и Гамильтона в четырехмерном
пространстве Минковского. Предложен и эффективно реализован конструктивный
метод интегрирования этой системы.


Введение
Настоящая работа посвящена интегрированию системы нелинейных дифферен-
циальных уравнений в частных производных (ДУЧП)

?2
2u ? ? ?3 u = F1 (u), (1.а)
?x2
0

(1.б)
gµ? uxµ ux? = F2 (u),

которую мы, следуя [1, 2] , будем в дальнейшем называть системой Даламбера–
Гамилътона.
В (1) u = u(x0 , x1 , x2 , x3 ) ? C 2 (C4 , C1 ), F1 , F2 ? C 1 (C1 , C1 ), gµ? = diag (1, ?1,
?1, ?1) — метрический тензор пространства Минковского M (1, 3). Здесь и далее
по повторяющимся индексам предполагается суммирование, причем индексы, обо-
значенные греческими буквами µ, ? изменяются от 0 до 3, латинскими буквами a,
b, c — от 1 до 3, латинскими буквами e, m, n — от 1 до 2.
Ряд важных результатов по точным решениям системы ДУЧП (1) был получен
Бейтменом [3], Картаном [4], Смирновым и Соболевым [5].
Сравнительно недавно Коллинзом получены необходимые и достаточные усло-
вия совместности переопределенной системы ДУЧП (1) и построено ее общее
решение в случае, когда число независимых переменных равно трем. Его подход
использовал геометрические идеи и методы и существенно опирался на трехмер-
ность пространства независимых переменных [6].
В работе [7] установлено, что при F2 = 0 уравнения Даламбера–Гамильтона
совместны, если и только если F1 = 0. В случае, когда F2 ? 0, система (1) с
помощью замены зависимой переменной вида u > f (u) приводится к виду

2u = F (u),
(2)
gµ? uxµ ux? = 1.

Оказывается, что существует довольно узкий класс функций F (u), при которых
система (2) имеет нетривиальные решения. Именно. из требования совместно-
сти уравнений (2) с необходимостью вытекает, что F = F (u) задается одной из

Препринт 90.39, Киев, Институт математики АН УССР, 1990, 65 c.
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 127

cледующих формул [1, 2]:
?
?0,
?
?
(u + c1 )?1 ,
(3)
F (u) =
?(u + c1 )?1 + (u + c2 )?1 ,
?
?
(u + c1 )?1 + (u + c2 )?1 + (u + c3 )?1 ,
где c1 , . . . , c3 — произвольные комплексные константы.
В данной работе установлены необходимые и достаточные условия совместно-
сти уравнений Даламбера–Гамильтона, а также предложен и эффективно реали-
зован конструктивный метод интегрирования этих уравнений.
Следует подчеркнуть, что система (1) играет особую роль в теории пуанкаре-
инвариантных скалярных ДУЧП, поскольку всякое P (1, 3)-инвариантное уравне-
ние о помощью подстановки

(4)
u(x) = ?(?),

где ? = ?(x) — произвольное решение уравнений (1), приводится к обыкновен-
ному дифференциальному уравнению (ОДУ) на ? = ?(?) [8]. Например, если
подставить (4) в нелинейное уравнение Даламбера

2u = F3 (u), (5)

то для определения функции ?(?) получается следующее ОДУ:

F1 (?)? + F2 (?)? = F3 (?).
? ?

Более того, в [9] была предложена подстановка, позволяющая с помощью точных
решений системы Даламбера–Гамильтона строить частные решения нелинейного
уравнения Дирака.
Хорошо известно, что система уравнений Даламбера–Гамильтона инвариантна
относительно десятипараметрической группы Пуанкаре P (1, 3). Решения этой си-
стемы, которые переводятся друг в друга конечным преобразованием из группы
P (1, 3), мы будем называть P (1, 3)-эквивалентными (P (1, 3)-сопряженными). Если
u(x) ? const, то с помощью преобразований из группы Пуанкаре можно добиться,
?u
чтобы ?x0 = 0. Следовательно, с точностью до P (1, 3)-эквивалентности можно
считать, что при F2 (u) ? 0 имеет место равенство ?x0 = 0.
?u

Приведем перечень основных обозначений, используемых в дальнейшем
?2u
?u
?xµ , ?xµ ?x? ;
uµ = uµ? =

— матрица 4 ? 4 с элементами uµ? , µ, ? = 0, 3;
3
uµ? µ,?=0

det uµ? ? |uµ? | — определитель матрицы uµ? 3
µ,?=0 ;

f?(x) ? df
— производная функции одной переменной;
dx

fxµ ? ?xµ f ? ?f
— частная производная функции f по переменной xµ ;
?xµ

xµ xµ ? gµ? xµ x? — скалярное произведение в пространстве Минковского
M (1, 3).
128 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

§ 1. Редукция четырехмерных уравнений Даламбера–Гамильтона
к уравнениям меньшей размерности
Система ДУЧП Даламбера–Гамильтона при F2 (u) ? 0 с помощью замены за-
висимой переменной
u
(F3 (? ))?1/2 d?
u>u = (1.1)

приводится к виду

2u = F (u), (1.2а)

uµ uµ = 1. (1.2б)

Поэтому задача исследования совместности системы уравнений Даламбера–
Гамильтона (1а,б) сводится к изучению совместности системы более простого вида
(1.2). В основе нашего подхода к решению этой задачи лежит метод нелокальных
преобразований [10–13].
Определение 1. Преобразование зависимых и независимых переменных вида

xµ = fµ (x, u, u, . . . , u),
r
1
(1.3)
r ? 1,
u = f (x, u, u, . . . , u),
r
1

где fµ , f — r-раз непрерывно дифференцируемые функции,

?su
u= : µ1 , . . . , µs = 0, 3 , s = 1, r
?xµ1 · · · ?xµs
s

называется нелокальным преобразованием порядка r.
Основная идея метода нелокальной линеаризации состоит в том, чтобы для
исследуемого нелинейного ДУЧП указать в явном виде нелокальное преобразо-
вание (1.3), приводящее его к линейному. Если для преобразованного уравнения
удается построить общее или частное решение, то, обращая преобразование (1.3),
получаем решение исходного уравнения.
Особая роль в теории ДУЧП первого порядка принадлежит контактным пре-
образованиям — нелокальным преобразованиям вида

xµ = fµ (x, u, u),
1
u = f (x, u, u),
1
uµ = gµ (x, u, u),
1

которые сохраняют условия касания первого порядка du = uµ dxµ ? du ? uµ dxµ =
0. Этот факт объясняется тем, что всякие два скалярных ДУЧП первого порядка
могут быть переведены друг в друга подходящим контактным преобразованием
(C. Ли [14]).
Для уравнения uµ uµ = ?, ? = const удается в явном виде построить контактное
преобразование, приводящее его к линейному ДУЧП, что позволяет построить его
общее решение в параметрическом виде [15].
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 129

Теорема 1. Общее решение уравнения Гамильтона
uµ uµ = ?, (1.4)
u = const,
определяемое с точностью до P (1, 3)-сопряженности, задается одной из сле-
дующих формул:
2 (1.5а)
1) u = x0 ? + va + xa va + ?(v),
где va = va (x) — гладкие функции, определяемые такими соотношениями:
xa + x0 va (? + vb )?1/2 + ?va = 0,
2
(1.5б)
a = 1, 3,
? = ?(v1 , v2 , v3 ) ? C 1 (C3 , C1 ) — произвольная функция;

? + w2 + vn + xn vn + x3 w + ?(v),
2 (1.6а)
2) u = x0
где vn = vn (x) — гладкие функции, определяемые такими соотношениями:
xn + x3 wvn + x0 (vn + wwvn )(1 + vn + w2 )?1/2 + ?vn = 0,
2
(1.6б)
n = 1, 2,
?(v1 , v2 ), w(v1 , v2 ) ? C 1 (C2 , C1 ) — произвольные функции;
2 (1.7а)
3) u = x0 ? + wa (v) + xa wa (v) + ?(v),
где v = v(x) — гладкая функция, определяемая соотношением
wa wa x0 (? + wb )?1/2 + xa wa + ? = 0,
?
2
(1.7б)
? ?
wa (v), ?(v) ? C 1 (C1 , C1 ) — произвольные функции, удовлетворяющие равен-
ству
dwa d?
?
wa (v) = ?? + v 2 , wa ? ??
2
(1.8)
? , .

<< Предыдущая

стр. 31
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>