<< Предыдущая

стр. 32
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

dv dv
Доказательство. Из (1.4) следует, что величины u0 , . . . , u3 — функционально-
зависимы, откуда
3
?uµ
det = 0.
?x? µ,?=0

Поэтому ранг (4 ? 4)-матрицы uµ? принимает одно из следующих значений:
1, 2, 3.
I. rank uµ? = 3. В этом случае, не умаляя общности, можно считать, что
3
?2u
(1.9)
det = 0.
?xa ?xb a,b=1

Совершим в (1.4) следующее нелокальное преобразование :
y0 = x0 , ya = ua ,
(1.10)
H(y) = xa ua ? u, Hy0 = ?u0 , Hya = xa .
Нетрудно проверить, что (1.10) — это контактное преобразование, которое яв-
ляется обобщением классического преобразования Эйлера для двух независимых
переменных [11–12].
130 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

В новых переменных yµ , H(y) уравнение (1.4) принимает вид

Hy0 = ? ? + ya ,
2


т.е. замена (1.10) приводит ДУЧП (1.4) при условии (1.9) к линейному уравнению,
общее решение которого задается следующей формулой:

H = ?y0 ? + ya ? ?(y),
2 (1.11)
где ?(y1 , y2 , y3 ) ? C 1 (C3 , C1 ) — произвольная функция.
Подставляя (1.11) в (1.10), приходим к такому выражению для u(x):

u(x) = xa ya ? H = x0 2 (1.12а)
1 + ya + xa ya + ?(y),
причем функции ya = ya (x) определяются неявными соотношениями
xa = Hya = ?x0 ya (? + yb )?1/2 ? ?ya .
2
(1.12б)
Обозначая в (1.12) va = ya (x), получаем формулы (1.5).
II. rank uµ? = 2. В этом случае, не умаляя общности, можно считать, что
2
?2u
(1.13)
det = 0.
?xn ?xm n,m=1

и, кроме того, существует функция w ? C 1 (C4 , C1 ) такая, что
?
w(u0 , u1 , u2 , u3 ) = 0
?
и величины w(u0 , u1 , u2 , u3 ), uµ uµ ? ? — функционально-независимы.
?
С учетом сказанного уравнение (1.4) при условии (1.13) может быть представ-
лено в виде
? + u2 ,
u0 = w(u0 , u1 , u2 , u3 ) = 0
?
a

или
? + u2 + w 2 , (1.14)
u0 = u3 = w(u1 , u2 ).
n

Совершим в (1.14) следующее контактное преобразование:
x0 = y0 , xn = Hyn , x3 = y3 , u = yn Hyn ? H,
(1.15)
u0 = ?Hy0 , un = yn , u3 = ?Hy3 ,
Откуда

Hy 0 = ? ? + y n + w 2 , Hy3 = ?w(y1 , y2 ).
2 (1.16)
Интегрируя систему линейных ДУЧП (1.16), имеем

H = ?y0 ? + yn + w2 ? y3 w ? ?(y1 , y2 ),
2


где ? ? C 1 (C2 , C1 ) — произвольная функция. Подстановка полученного результата
в формулы (1.15) дает следующее выражение для функции u(x):

u = xn yn ? H = xn yn + x0 ? + yn + w2 + x3 w + ?(y1 , y2 ),
2 (1.17а)
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 131

причем функции yn (x) определяются неявными соотношениями
xn = ?x0 (yn + wwyn )(? + yn + w2 )?1/2 ? x3 wyn ? ?yn ,
2
(1.17б)
n = 1, 2.
Обозначая в (1.17) vn = yn (x), приходим к формулам (1.6).
III. rank uµ? = 1. Не умаляя общности, можно считать, что

a) u00 = 0,
? wa = wa (u0 ) ? C 1 (C1 , C1 ) : ua = wa (u0 ), a = 1, 3.
б)
С учетом этого уравнение Гамильтона (1.4) представляется в виде
2 (1.18)
u0 = ? + wa (u0 ), ua = wa (u0 ).
Совершим в (1.18) следующее контактное преобразование:
y0 = u0 , ya = xa ,
(1.19)
H = x0 u0 ? u, Hy0 = x0 , Hya = ?ua .

В новых переменных yµ , H(y) переопределенная система ДУЧП (1.18) прини-
мает вид
Hya = ?wa (y0 ), (1.20а)

wa (y0 ) = y0 ? ?.
2 2
(1.20б)

Интегрируя уравнения (1.20а), имеем
H = ?wa (y0 )ya ? ?(y0 ),
где ?(y0 ) ? C 1 (C1 , C1 ) — произвольная функция.
Подстановка полученного результата в (1.19) дает следующее выражение для
функции u = u(x):

u = x0 y0 ? H = x0 2 (1.21а)
? + wa (y0 ) + wa (y0 )ya + ?(y0 ),
причем функция y0 = y0 (x) определяется из соотношения
x0 wa wa (? + wb )?1/2 + wa ya + ? = 0
?
2
(1.21б)
? ?
и выполнено равенство (1.20б).
Вводя в (1.20б), (1.21) обозначение v = y0 (x), приходим к формулам (1.7).
Чтобы завершить доказательство, нам осталось рассмотреть вырожденный слу-
чай, когда матрица uµ? — нулевая, т.е.
uµ? = 0, µ, ? = 0, 3
Отсюда следует, что
(1.22а)
u = c0 x0 + ca xa + c4 ,
причем константы cµ , c4 удовлетворяют соотношению
c2 ? c2 = ?. (1.22б)
0 a
132 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Легко видеть, что формулы (1.22) получаются из (1.7), если положить v = c0 ,
wa = ca , ? = c4 . Теорема доказана.
Формулы (1.5)–(1.7) имеют очень прозрачный геометрический смысл при ? = 1.
Рассмотрим, например, выражения (1.5). Разрешая эти соотношения относительно
xµ , имеем
2
x0 = (v0 + ?) 1 + va ,
(1.23)
xa = ??va ? (v0 + ?)va (1 + va )?1/2 .
2


Здесь использованы обозначения v0 = u, ? = va ?va ? ?.
Вводя четырехвекторы
2 2
? 1 + va 1 + va
(1.24)
S= , n= ,
??vb ? ?vb (1 + va )?1/2 ?vb
2


переписываем формулы (1.23) следующим образом:

(1.25)
xµ = Sµ (v ) + v0 nµ (v ).

Из (1.25) заключаем, что xµ = Sµ (v ) — это параметрическая форма записи по-
верхности уровня u(x) = 0 решения уравнения uµ uµ = 1, задаваемого формулами
(1.5).
Непосредственный подсчет показывает, что четырехвекторы (1.24) удовлетво-
ряют соотношениям

n · n ? gµ? nµ n? = 1,
(1.26)
?S?
n · Sva ? gµ? nµ = 0, a = 1, 3
?va
(точкой обозначено скалярное произведение в пространстве Минковского M (1, 3)
с метрикой gµ? ). Следовательно, n(v ) — это единичный четырехвектор нормали к
поверхности xµ = Sµ (v ).
Из всего вышесказанного можно заключить, что значение функции u, опре-
деляемой соотношениями (1.5), в точке x ? R(1, 3) равно расстоянию (в смысле
метрики пространства M (1, 3)) от точки x до поверхности уровня этого решения
(см. также [6]).
Соотношения (1.6), (1.7) также представляются в виде (1.25), где
? ? ? ?
? 1 + vn + w 2
2
1 + vn + w 2
2
? ?
S = ???vn ? v3 wvn ? vn ? ? , n = ? ?,
?vn
(1.27)
?w
v3 ? ?w
? = v3 (vn wvn ? w) + vn ?vn ? ?.
? ? ? ?
2 2
2 2
? 1 + wn + v3 1 + wn + v3
? ? ? ?
vn ? ?wn ?wn
S=? ?, n=? ?,
(1.28)
?v3
?
?? ? vn wn ? v3 ?
?
?
? = v3 ? ? ? + vn (v3 wn ? wn ).
?
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 133

Как показывает прямая проверка, четырехвекторы (1.27), (1.28) также удов-
летворяют соотношениям (1.26). Следовательно, для произвольного решения ура-
внения uµ uµ = 1 значение его и точка равно расстоянию от x до поверхности
уровня этого решения u(x) = 0.
Формулы (1.23), (1.25), (1.27), (1.28) можно рассматривать как замены перемен-
ных
xµ , u(x) > vµ , u(v), (1.29)
причем в новых переменных решение ДУЧП uµ uµ = 1 с точностью до P (1, 3)-
сопряженности имеет вид
(1.30)
u(v) = v0 .
При замене переменных (1.29) уравнение (1.2а) переходит в следующее ДУЧП
(см., например, [16]);
Lu = |?|?1/2 gµ? ?v? (|?|1/2 ?vµ u) = F (v0 ). (1.31)
g ? g
Здесь L — оператор Лапласа–Бельтрами в криволинейных координатах vµ (x);
?xµ ?x?
|?| = det gµ? . (1.32)
gµ? =
? g?? , µ, ? = 0, 3, g ?
?v? ?v?
Подставляя в (1.31) выражение (1.30), приходим к уравнению на |?|
g
1 ?1 ?|?|
g
|?| (1.33)
g = F (v0 ).
2 ?v0
Следовательно, с помощью замены переменных (1.25) система ДУЧП Даламбе-
ра–Гамильтона сводится к уравнению (1.33). Явный вид матричных элементов gµ?
?
существенно зависит от ранга матрицы uµ? . Мы детально рассмотрим случай,
когда rank uµ? = 3, в остальных случаях рассуждения аналогичны.
При условии rank uµ? = 3 замена переменных (1.29) определяется формулами
?xµ
(1.23). Вычисляя из этих соотношений ?va и подставляя полученный результат в
(1.32), имеем
g00 = 1, g0a = ga0 = 0,
? ? ?
gab = (v0 + ?)2 (1 + vc )?1 va vb ? ?ab ? (1.34)
2
?
? 2(v0 + ?)?va vb ? ?va vc ?vb vc ? ?va ?vb ,

где ? = va ?va ? ?, a, b, c = 1, 3. Следовательно,
|?| = det gab 3
g ? a,b=1 .

<< Предыдущая

стр. 32
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>