<< Предыдущая

стр. 33
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Вычисление определителя матрицы G = gab существенно упрощается, если
?
воспользоваться тождеством (справедливость которого устанавливается прямой
проверкой)
V G = ?((v0 + ?)I + V ?)2 , (1.35)
где
3 3 3
V = ?ab + va vb a,b=1 , I = ?ab a,b=1 , ? = ?va vb a,b=1 .
134 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Так как det V = 1 + va = 0, то существует V ?1 . Умножая (1.35) на V ?1 слева,
2

имеем следующее представление для матрицы G:
G = ?V ?1 ((v0 + ?)I + V ?)2 ,
откуда
det G = ?(1 + va )?1 [det((v0 + ?)I + V ?)]2 =
2


= ?(1 + va )?1 (v0 + ?)3 + (v0 + ?)2 (?? + va vb ?va vb ) +
2

(1.36)
+ (v0 + ?)(M2 (?) + (??)va vb ?va vb ? va vb ?va vc ?vb vc ) +
2
2
+ (1 + va ) det ?Va Vb .

Здесь ? — трехмерный оператор Лапласа, M2 (?) — сумма главных миноров вто-
рого порядка матрицы ?va vb , т.е.

?v1 v1 ?v1 v2 ?v2 v2 ?v2 v3 ?v3 v3 ?v1 v3
M2 (?) = + + .
?v1 v2 ?v2 v2 ?v2 v3 ?v3 v3 ?v1 v3 ?v1 v1

Подставляя (1.36) в (1.33) и сравнивая полученное выражение для функции
F (v0 ) с (3), заключаем, что
?1
F (v0 ) = (v0 + ?)?1 + (v0 + ?)?1 + v0 , ?, ? ? C1 . (1.37)
Расщепляя равенство (1.33), где |?| = det G, F (v0 ) задаются формулами (1.36),
g
(1.37), по степеням величины v0 + ?, приходим к системе трех ДУЧП на функцию
? = ?(v1 , v2 , v3 )
?? + va vb ?va vb = ?3? + ? + ?,
M2 (?)+ (??)va vb ?va vb ? va vb ?ac ?bc = (? ? ?)(? ? ?)? ?(? + ? ? 2?), (1.38)
|?va vb | = ?(? ? ?)(? ? ?)?(1 + va )?1 ,
2


где ? = va ?va ? ?.
Таким образом, общее решение cистeмы (1.2) при условии rank uµ? = 3
с точностью до P (1, 3)-сопряженности задается формулами (1.5), где ? = 1, ? =
?(v ) — произвольное решение системы ДУЧП (1.38).
Вычисляя определитель матрицы gµ? для случая, когда rank uµ? = 2, имеем
?
det gµ? = ?(1 + vn + w2 ) ?
2
?
(1.39)
2
? (v0 + ?)2 S2 + (v0 + ?)(1 + vn + w2 )S1 + S0
2
,
где
S2 = (1 + wvn + ? 2 )(1 + vn + w2 )?1 ,
2 2

S1 = (vn ? + wvn )(vm ? + wvm )(?vn vm + v3 wvn vm ) ?
? [?? + vn vm ?vn vm + v3 (?w + vn vm wvn vm )](1 + wvn + ? 2 ),
2

S0 = det ?vn vm + v3 wvn vm .
Здесь ? = v3 (vn wvn ? w) + vn ?vn ? ?, ? = vn wvn ? w, ? — двумерный оператор
Лапласа.
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 135

Определитель (1.39) не равен нулю, так как соотношения S1 = S2 = S0 =
0 противоречат равенствам (1.6б). Действительно, дифференцируя последние по
переменной xm , имеем (при ? = 1)

?vm
= ??nm .
2
1 + vl + w 2
x0 + x3 wvn vm + ?vn vm
?xm
vn vm

Но это равенство невозможно, так как определитель матрицы
2
2
1 + vl + w 2
x0 + x3 wvn vm + ?vn vm
vn vm n,m =1

в силу условий S0 = S1 = S2 = 0 равен нулю.
Подставляя определитель (1.39) в формулу (1.33) и сравнивая полученный ре-
зультат с (3), заключаем, что функция F (u) с необходимостью задается одним из
следующих выражений:

I. F (u) = 0,
II. F (u) = u?1 ,
III. F (u) = u?1 + (u + ?)?1 , ? ? C1 .

Расщепляя в каждом из приведенных случаев равенство (1.33) по степеням
величины v0 , v3 , приходим к системам двумерных ДУЧП на функции ?(v1 , v2 ),
w(v1 , v2 )

1 + wvn + ? 2 = 0,
2
I.
(1.40)
(vn ? + wvn )(vm ? + wvm )?vn vm = 0,

причем det v3 wvn vm + ?vn vm = 0;

II. 1 + wvn + ? 2 = 0, det wvn vm = 0,
2

(1 + vn + w2 ) det ?vn vm = ?{(vn ? + wvn )(vm ? + wvm )?vn vm },
2
(1.41)
(1 + vn + w2 )(??? w ? ?vn vm wvn vm ) =
2

= ? {(vn ? + wvn )(vm ? + wvm )?vn vm };

III. (?w + vn vm wvn vm )(1 + wvn + ? 2 ) ?
2

? (vn ? + wvn )(vm ? + wvm )wvn vm = ?2? (1 + wvn + ? 2 ),
2

det wvn vm = ? 2 (1 + wn + ? 2 )(1 + vn + w2 )?1 ,
2 2

(?? + vn vm ?vn vm )(1 + wvn + ? 2 ) ? (vn ? + wvn ) ?
2
(1.42)
? (vm ? + wvm )?vn vm = ?(2? + ?)(1 + wvn + ? 2 ),
2

det ?vn vm = ?(? + ?)(1 + wvn + ? 2 )(1 + vn + w2 )?1 ,
2 2

???w ? ?vn vm wvn vm = ? (2? + ?)(1 + wvn + ? 2 )(1 + vn + w2 )?1 .
2 2


В формулах (1.42) использовано обозначение ? = vn ?vn ? ?.
Таким образом, общее решение системы Даламбера–Гамильтона (1.2) при ус-
ловии rank uµ? = 2 с точностью до P (1, 3)-сопряженности задается формулами
136 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

(1.6), где ? = 1, ?(v1 , v2 ), w(v1 , v2 ) — произвольные решения одной из систем
ДУЧП (1.40)–(1.42).
Проводя аналогичные вычисления для случая, когда rank uµ? = 1, убеждаем-
ся, что функция F (u) с необходимостью задается одним из следующих соотноше-
ний:
I. F (u) = 0,
II. F (u) = u?1 .

При этом общее решение системы уравнений Даламбера–Гамильтона (1.2) за-
дается формулами (1.7), где ? = 1, wa (v), ?(v) — гладкие функции, удовлетворя-
ющие системам ОДУ

wa = v 2 ? 1.
?2 2
(1.43)
I. wa = 1,

II. wa = (1 ? wb )(v wa ? wa ),
?2
? ?
(1.44)
? ?
? = (1 ? wb )(v ? ? ?), wa = v 2 ? 1,
?2 2



при F (u) = 0 и F (u) = u?1 соответственно.
В (1.43), (1.44) точкой обозначено дифференцирование по переменной v.
§ 2. Необходимые и достаточные условия совместности
системы уравнений Даламбера–Гамильтона
В этом параграфе получен критерий совместности переопределенной системы
ДУЧП (1), т.е. описаны в явном виде все функции F1 (u), F2 (u), при которых
система уравнений Даламбера–Гамильтона имеет нетривиальные решения.
Теорема 2. Система ДУЧП (1) совместна, если и только если функции F1 (u),
F2 (u) имеют вид

1) F1 (u) = F2 (u) = 0;
(2.1)
F1 (u) = N f??1 (f ? c)?1 ? f f??3 , F2 (u) = f??2 .
?
2)

Здесь f = f (u) ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольная функция, удовлетворяющая усло-
вию f?(u) ? 0; c = const; N — дискретный параметр, принимающий одно из
значений 0, 1, 2, 3.
Доказательство. Пусть F2 ? 0, тогда согласно [1, 2, 7] система ДУЧП (1) совме-
стна, если и только если F1 ? 0.
Предположим теперь, что F2 ? 0, тогда замена (1.1) приводит уравнения Да-
ламбера–Гамильтона к виду (1.2). Задача исследования совместности уравнений
(1.2а) и (1.2б) в предыдущем параграфе была сведена к исследованию совместно-
сти переопределенных систем ДУЧП меньшей размерности (1.38), (1.40)–(1.44).
Покажем, что из требования совместности этих систем с необходимостью следует
равенство ? = ? = 0.
1. Совместность системы ДУЧП (1.38). Уравнения (1.38) существенно упро-
щаются, если сделать следующую локальную замену переменных:

za = va (1 + vb )?1/2 , p(z ) = (1 + vb )?1/2 ?(v ).
2 2
(2.2)
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 137

В переменных za , p(z ) система (1.38) принимает вид
?p ? za zb pza zb = ?(? + ?)(1 ? za )?1/2 ,
2
1)
M2 (p) ? (?p)za zb pza zb + +za zb pza zc pzb zc = ??(1 ? za )?1 ,
2 (2.3)
2)
3) det pza zb = 0,
где ? = ?za ?za , M2 (p) — сумма главных миноров второго порядка матрицы pza zb .
Из третьего уравнения системы (2.3) следует, что матрица pza zb является
вырожденной. Поэтому ее ранг равен либо 1, либо 2. Рассмотрим отдельно каждый
из этих случаев.
(2.4)
A. rank pza zb = 1.
Из условия (2.4) следует существование таких функций Rn ? C 2 (C1 , C1 ), для
которых
(2.5)
pzn = Rn (pz3 ), n = 1, 2.
Подставляя (2.5) во второе уравнение из (2.3), видим, что его левая часть
тождественно равна нулю, откуда ?? = 0. Следовательно, один из параметров
(скажем ?) равен нулю.
С учетом cказанного первое уравнение системы (2.3) представляется в виде

pz3 z3 1 + Rn ? (zn Rn + z3 )2 = ??(1 ? za )?1/2 ,
?2 ? 2
(2.6)

?
где Rn ? dRn /dpz3 .
Если pz3 z3 = 0, то из (2.6) с необходимостью следует, что ? = 0.
Пусть pz3 z3 = 0. Совершим в (2.6) контактное преобразование Эйлера для трех
независимых переменных [17]
yn = zn , y3 = pz3 , H(y ) = z3 pz3 ? p,
Hyn = ?Pzn , Hy3 = z3 , Hy3 y3 = p?1 3 ,
z3 z
(2.7)
pz3 z3 pzn z3
Hyn y3 = ?pzn z3 p?1 3 , p?1 3 ,
Hyn ym = n, m = 1, 2.
z3 z z3 z
pzm z3 pzn zm

В новых переменных ya , H(y ) уравнения (2.5), (2.6) принимают вид
?1
?2 ?
1 + Rn ? (yn Rn + Hy3 )2 Hy3 y3 = ??(1 ? yn ? Hy3 ),
2 2
1)
(2.8)
Hy1 = ?R1 ,
2)
Hy2 = ?R2 .
3)

<< Предыдущая

стр. 33
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>