<< Предыдущая

стр. 34
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
Здесь Rn = Rn (y3 ), Rn ? dRn /dy3 .
Таким образом, комбинируя локальную и нелокальную замену переменных
(2.2), (2.7), мы существенно упростили систему нелинейных ДУЧП (1.38), по-
скольку два последних уравнений из (2.8) являются линейными. Интегрирование
этих уравнений дает следующее выражение для H = H(y):
H = ?Rn (y3 )yn + Q(y3 ), (2.9)
где Q ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольная функция.
138 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Подставляя (2.9) в уравнение 1) из (2.8), имеем
?1/2
(?Rn yn + Q)?1 (1 + Rn ? Q2 ) = ?? 1 ? yn ? (Rn yn ? Q)2
? ? ?2 ? ? ?
2
(2.10)
.

Необходимым условием расщепления уравнения (2.10) по переменным y1 , y2
является требование, чтобы выражение
? ? ?
1 ? y1 ? y2 ? (R1 y1 + R2 y2 ? Q)2
2 2
(2.11)
было точным квадратом. Предположим, что это так, т.e. ? ?n (y3 ), ?3 (y3 ), для
которых
? ?
(?n yn + ?3 )2 = 1 ? yn ? (Rn yn ? Q)2 .
2


Приравнивая коэффициенты при степенях независимых переменных y1 , y2 , по-
лучаем систему нелинейных, алгебраических уравнений
? ?? ?2 ??
?2 = 1 ? Q2 , ?2 = ?1 ? Rn ,
?3 ?n = QRn , ?1 ? 2 = R 1 R 2 .
3 n

Несложный подсчет показывает, что эта система несовместна. Следовательно,
выражение (2.11) не является точным квадратом по переменным y1 , y2 ни при
каких Rn (y3 ), Q(y3 ). Из этого заключаем, что уравнение (2.10) может иметь не-
тривиальные решения только при ? = 0.
B. rank pza zb = 2.
В этом случае, не умаляя общности, можно считать, что выполнено условие

pz1 z1 pz1 z2
(2.12)
det = 0.
pz1 z2 pz2 z2

Следовательно, существует такая функция R ? C 3 (C2 , C1 ), для которой
(2.13)
pz3 = R(pz1 , pz2 ).
С учетом равенства (2.13) система ДУЧП (2.3) переписывается следующим
образом:
1 + R1 ? (z1 + z3 R1 )2 pz1 z1 + 2 [R1 R2 ? (z1 + z3 R1 )(z2 + z3 R2 )] pz1 z2 +
2
1)
+ 1 + R2 ? (z2 + z3 R2 )2 pz2 z2 = ?(? + ?)(1 ? za )?1/2 ,
2 2

(2.14)
pz1 z1 pz1 z2
= ??(1 ? za )?1 ,
(1 ? za )(1 + Rn ) + (z3 ? zn Rn )2
2 2 2
2)
pz1 z2 pz2 z2
3) pz3 = R.
Здесь мы использовали обозначение Rn ? dR/dpzn .
Совершим в (2.14) следующее контактное преобразование Эйлера:
yn = pzn , y3 = z3 , H(y) = zn pzn ? p, Hyn = zn , Hy3 = ?pz3 ,
Hy1 y1 = ? ?1 pz2 z2 , Hy1 y2 = ?? ?1 pz1 z2 , Hy2 y2 = ? ?1 pz1 z1 ,
(2.15)
Hy3 y3 = ?? ?1 det pza zb , Hy1 y3 = ? ?1 (pz1 z2 pz2 z3 ? pz2 z2 pz1 z3 ),
Hy2 y3 = ? ?1 (pz1 z3 pz1 z2 ? pz1 z1 pz2 z3 ),
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 139

где
? = pz1 z1 pz2 z2 ? p21 z2 = 0.
z

В новых переменных система ДУЧП (2.14) принимает вид
1 + Ry2 ? (Hy2 + y3 Ry2 )2 Hy1 y1 ?
2
1)
? 2 (Ry1 y2 ? (Hy1 + y3 Ry1 )(Hy2 + y3 Ry2 )) Hy1 y2 +
+ 1 + Ry1 ? (Hy1 + y3 Ry1 )2 Hy2 y2 =
2

?1/2
= ?(? + ?) 1 ? Hyn ? y3 Hy 1 y 1 Hy 2 y 2 ? H y 1 y 2 ,
2 2 2 (2.16)
1 ? y 3 ? Hy n 1 + Ryn + (y3 ? Ryn Hyn )2 =
2 2 2
2)
?1
= ??? 1 ? Hyn ? y3 Hy 1 y 1 Hy 2 y 2 ? H y 1 y 2 ,
2 2 2

3) Hy3 = R(y1 , y2 ).
Интегрируя последнее уравнение из (2.16), имеем
H = ?y3 R(y1 , y2 ) + iQ(y1 , y2 ), (2.17)
где Q ? C 3 (C2 , C1 ) — произвольная функция.
Подстановка выражения (2.17) в первые два уравнения системы (2.16) дает
следующие соотношения для определения функций R, Q:
?y3 f (R) + if (Q) = ?(? + ?) det ? y3 Ryn ym + iQyn ym ?
1)
?1/2
? 1 ? y3 ? (y3 Ryn ? iQyn )2
2
, (2.18)
?1
g(R, Q) = ?? det ? y3 Ryn ym + iQyn ym 1 ? y3 ? (y3 Ryn ? iQyn )2
2
2) .
В (2.18) использованы такие обозначения:
f (S) = 1 + Ryn + Q2n Sym ym ? (Ryn Rym + Qyn Qym )Syn ym ,
2
y
2
1 + Q2m ? (Ryn Qyn ) .
2
g(R, Q) = 1 + Ryn y

Первое уравнение системы (2.16) расщепляется по y3 только при условии, что
выражение
1 ? y3 ? (y3 Ryn ? iQyn )2
2

является точным квадратом по переменной y3 . Вычисляя его детерминант ?, име-
ем
? = ?g(R, Q).
Если ? = ?g(R, Q) = 0, то ввиду условия
det Hyn ym ? det ? Ryn ym y3 + iQyn ym = 0 (2.19)
имеем из (2.18), что ?? = 0. Следовательно, при ? = 0 один из параметров ?, ?
(скажем, ?) равен нулю. С учетом этого факта уравнения (2.18) после расщепления
по степеням переменной y3 принимают вид
1/2
2
1) i? det Ryn ym = 1 + Ryn f (R),
1/2
i? det Qyn ym = 1 + Q2n
2) f (Q),
y
(2.20)
2 1/2 1/2
Q2n
3) i?h(R, Q) = 1 + R yn f (Q) + 1 + f (R),
y
4) g(R, Q) = 0.
140 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

В (2.20) h(R, Q) = Ry1 y1 Qy2 y2 + Ry2 y2 Qy1 y1 ? 2Ry1 y2 Qy1 y2 ; функции f (R), f (Q),
g(R, Q) определены выше.
Если в (2.18) ? = ?g(R, Q) = 0, то в силу (2.19) из первого уравнения следует,
что ?+? = 0. Расщепляя уравнения (2.18) по степеням переменной y3 при ? = ??,
приходим к переопределенной системе двумерных ДУЧП на функции R, Q.

1) f (R) = 0,
2) f (Q) = 0,
1/2
?2 det Ryn ym = 1 + Ryn
2
3) g(R, Q), (2.21)
1/2
?2 det Qyn ym = 1 + Q2n
4) g(R, Q),
y
?2 h(R, Q) = 2(Ryn Qyn )g(R, Q).
5)

Таким образом, задача исследования совместности системы ДУЧП (2.14) с по-
мощью нелокального преобразования (2.15) сводится к исследованию совместно-
сти систем двумерных уравнений (2.20), (2.21). Мы подробно рассмотрим случай
системы (2.20), для уравнений (2.21) рассуждения аналогичны.
Продифференцировав уравнение 4) из (2.20) по переменным yn , n = ?1, 2,
имеем следующие ДУЧП второго порядка:

1 + Q2n Rym ? (Ryn Qym )Qym Rym yl +
y
1 + Ryn Qym ? (Ryn Qym )Rym Qym yl = 0.
2
+

Эти соотношения на множестве решений системы (2.20) переписываются в виде
1/2 1/2
R ym ye ? 1 + R yn
1 + Q2n 2
(2.22)
?m Qym ye = 0,
y

где
1/2 1/2
R ym ? 1 + R yn
?m = 1 + Q2n 2
Qym , m = 1, 2.
y

Пусть ? = 0. Рассматриваем уравнения (2.22) совместно с уравнением 3) из
(2.20) как систему линейных алгебраических уравнений на Ry1 y1 , Ry1 y2 , Ry2 y2

Ry1 y1 Qy2 y2 ? 2Ry1 y2 Qy1 y2 + Ry2 y2 Qy1 y1 =
1/2 1/2
= (i?)?1 f (R) ?
2
f (Q) + 1 + Q2n
1 + R yn y
(2.23)
1/2
? 2(i?)?1 1 + Ryn
2
f (Q),
1/2 1/2
1 + Q2n 2
?m R y m y l = 1 + R y n ?m Qym yl .
y

На множестве решений системы ДУЧП (2.20) определитель системы линейных
алгебраических уравнений (2.23) равен

? = ? 1 + Q2n f (Q). (2.24)
y

Далее необходимо рассматривать два случая f (Q) = 0, f (Q) = 0.
1. f (Q) = 0. Здесь имеется две принципиально различных возможности

a) Ryn Qyn = 0, б) Ryn Qyn = 0.
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 141

Пусть имеет место условие a). В силу уравнения 4) из (2.20)

1 + Q2n 2
1 + R ym = n
y

и, следовательно, определитель системы (2.23) не равен нулю. Поэтому эта систе-
ма имеет единственное решение, явный вид которого дается формулами
?1/2
1/2
2
1 + Q2l (2.25)
R yn ym = 1 + R yl Qyn ym .
y

Из необходимых и достаточных условий совместности системы ДУЧП (2.25)
?Ryn ym ?Ryl ym
= , l, m, n = 1, 2.
?yl ?yn
следуют такие соотношения:
?1/2
1/2
det Qyn ym ?
2
1 + Q2n
1 + R yn y
1/2 1/2
? Qyl ? 1 + Q2n
2
1 + R yn Ryl = 0.
y

Если det Qyn ym = 0, то из (2.25) заключаем, что det Ryn ym = h(R, Q) = 0.
Но это невозможно в силу (2.19). Поэтому из необходимых и достаточных условий
совместности системы (2.23) следуют такие уравнения на функции R, Q:
1/2 1/2
2
Qym = 1 + Q2n
1 + R yn R ym , m = 1, 2.

<< Предыдущая

стр. 34
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>