<< Предыдущая

стр. 35
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

y

откуда Rym ? Qym , m = 1, 2.
Подставляя этот результат в (2.20), имеем
1/2
i? det Ryn ym = ?2 1 + Ryn
2
1) (Rym Ryl Rym yl ),
2
2) 1 + 2Ryn = 0.

Но из второго уравнения этой системы следует, что det Ryn ym = 0, откуда
h(R, Q) = det Qyn ym = 0. Пришли к противоречию с условием (2.19).
Обратимся теперь к случаю б). Из условия Ryn Qyn = 0 в силу четвертого
уравнения системы (2.20) следуют три возможных случая
2
1 + Q2n = 0;
б.1) 1 + Ryn = 0, y
2
1 + Q2n = 0;
б.2) 1 + Ryn = 0, y
б.3) 1 + Q2n = 1 + Ryn = 0.
2
y

Пусть имеет место случай б.1). Так как условие Q = const противоречит (2.19),
то, не умаляя общности, можно считать, что Qy2 = 0. Разрешая соотношение
Ryn Qyn = 0 относительно Ry2 и подставляя полученный результат в уравнение
2
1 + Ryn = 0, имеем

Q22 + Ry1 Q2n = 0.
2
y y

Из этого равенства следует, что Qyn = 0, откуда
?1/2 ?1/2
Ry2 = ?iQy1 Q2n
Ry1 = iQy2 Q2n (2.26)
, ,
y y
142 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Из необходимого и достаточного условия совместности системы (2.26) получа-
ется такое уравнение на Q:
Q2n Qym ym ? Qyn Qym Qyn ym = 0. (2.27)
y
2
Но из соотношений 1 + Ryn = 0, Ryn Qyn = 0 следует, что Ryn Rym Qyn ym = 0.
Поэтому справедливо равенство
f (Q) ? 1 + Ryn + Q2n Qym ym ? (Ryn Rym + Qyn Qym )Qyn ym = 0.
2
y

Таким образом, мы пришли к противоречию с исходным предположением f (Q) =
0.
Пусть имеет место случай б.2). Если R = const, то определитель матрицы
? Ryn ym + iQyn ym равен нулю, что противоречит условию (2.19). Следователь-
но, не умаляя общности, можно считать, что Ry2 = 0. Разрешая соотношение
Qyn Ryn = 0 относительно Qy2 и подставляя полученный результат в уравнение
1 + Q2n = 0, имеем
y

Ry2 + Q21 Ryn = 0.
2 2
y
2
Из этого равенства следует, что Ryn = 0, откуда
?1/2 ?1/2
Qy2 = ?iRy1 Ryn
2 2
(2.28)
Qy1 = iRy2 Ryn , .
Система (2.28) совместна, если и только если ?Qy1 /?y2 = ?Qy2 /?y1 Из этого
условия вытекает следующее двумерное ДУЧП на функцию R(y1 , y2 ):
Ryn Rym ym ? Ryn Rym Ryn ym = 0.
2
(2.29)
Но из соотношений 1 + Q2n = 0, Ryn Qyn = 0 следует, что Qyn Qym Ryn um = 0.
y
Поэтому справедливо равенство
f (R) ? 1 + Ryn + Q2n Rym ym ? (Ryn ym + Qyn Qym )Ryn ym = 0.
2
y

Подставляя формулы (2.28) в третье уравнение системы (2.20) при 1 + Q2n = 0,
y
1/2
2
f (R) = 0, имеем 1 + Ryn f (Q) = 0, что противоречит исходному предположе-
нию.
Обратимся теперь к случаю б.3). Разрешая соотношения 1 + Ryn = 0, 1 + Q2n =
2
y
0, Ryn Qyn = 0 относительно Ryn , имеем
Ry1 = ±iQy2 , Ry2 = ±iQy1 , 1 + Q2n = 0.
y

Отсюда вытекают равенства
det Ryn ym = det Qyn ym = h(R, Q) = 0
что противоречит условию (2.19).
2. f (Q) = 0. Если f (Q) = 0, то из уравнений (2.20) в силу (2.19) следует, что
? = 0. Если же f (R) = 0, то замена
R > Q, Q>R (2.30)
сводит этот случай к уже рассмотренному (здесь используется симметрия уравне-
ний относительно преобразования (2.30).
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 143

Таким образом, требование совместности переопределенной системы ДУЧП с
необходимостью приводит к условию ? = 0. Аналогичный результат имеет место и
для системы (2.21). Следовательно, из требования совместности переопределенной
системы ДУЧП (2.14) с необходимостью вытекает, что ? = ? = 0.
Суммируя вышесказанное, приходим к выводу: необходимым условием совме-
стности системы уравнений (1.38) является равенство нулю параметров ?, ?.
2. Совместность системы ДУЧП (1.42). Как и в предыдущем случае, прежде
чем исследовать совместность уравнений (1.42), упростим их о помощью следую-
щей локальной замены переменных:
?1/2
z n = vn 1 + v m + w 2
2
,
(2.31)
?1/2 ?1/2
G(z) = w 1 + vm + w2
2
P (z) = ? 1 + vm + w2
2
, .
1/2
2
Замена (2.31) не определена при w = i 1 + vm , однако это равенство не-
возможно, поскольку в силу формул (1.15), (1.16) оно влечет за собой равенство
u0 = 0, что противоречит исходному предположению.
Совершив в (1.42) замену переменных (2.31), после громоздких вычислений
приходим к системе двумерных ДУЧП для определения функций G(z1 , z2 ),
P (z1 , z2 )

1 + (1 ? zn )G2m + 2GGzn zn ? G2 ?G ? zn zm Gzn zm ?
2
1) z
? 2GGzn Gzn zm zm + (zn ? 1)Gzm Gzl Gzm zl = 0,
2

1 + (1 ? zn )G2m + 2GGzn zn ? G2 ?P ? zn zm Pzn zm ?
2
2) z
? 2GGzn Pzn zm zm + (zn ? 1)Gzm Gzl Pzm zl =
2
(2.32)
= ??(1 ? zn ? G2 )?1/2 1 + G2n ? (zn Gzn ? G)2 ,
2
z
|Gzn zm | = 0,
3)
|Pzn zm | = 0,
4)
Pz1 z1 Gz2 z2 + Pz2 z2 Gz1 z1 ? 2Pz1 z2 Gz1 z2 = 0,
5)
? ?
где ? = ?z2 + ?z2 .
1 2
Из третьего и четвертого уравнений системы (2.32) следует, что существуют
такие дважды непрерывно-дифференцируемые функции R, Q, для которых [12, 15]

(2.33)
Gz2 = R(Gz1 ), Pz2 = Q(Pz1 ).

Подставляя соотношения (2.33) в пятое уравнение из (2.32), имеем

? ?
Pz1 z1 Qz1 z1 (R ? Q)2 = 0. (2.34)

Далее необходимо отдельно рассмотреть следующие возможности:

I. Pz1 z1 Gz1 z1 = 0.
II. Pz1 z1 = Gz1 z1 = 0.
III. Pz1 z1 = 0, Gz1 z1 = 0.
IV. Pz1 z1 = 0, Gz1 z1 = 0.
144 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

? ? ?
В случае I из (2.34) немедленно следует, что R(Gz1 ) = Q(Pz1 ). Если Q = 0, то
в силу (2.33) имеем цепочки равенств
Pz1 z1 = R(Q)?1 Gz1 z1 ,
??
Pz z = QPz z = RR(Q)?1 Gz
? ?? ? ,
1 z1
12 11

Pz2 z2 = Q2 Pz1 z1 = R2 R(Q)?1 Gz1 z1 .
? ???

С учетом этих соотношений система ДУЧП (2.32) переписывается в виде
? ? ?
? ? (1 + R2 )(1 ? G2 ) ? (z1 + z2 R)2 + (1 ? zn )(RGz1 ? R)2 +
2
1)
? ?
+ 2G(z1 R ? z2 )(RGz ? R) = 0,
1

R(Q)?1 ?Gz1 z1 = ??(1 ? zn ? G2 )?1/2 ?
?? 2
2)
? 1 + G21 + R2 ? (z1 Gz1 + z2 R ? G)2 , (2.35)
z
3) Gz2 = R(Gz1 ),
4) Pz2 = Q(Pz1 ),
? ?
5) R(Gz ) = Q(Pz ).
1 1


Из первых двух уравнений системы (2.35) следует, что
? 1 + G21 + R2 ? (z1 Gz1 + z2 R ? G)2 ? ? 1 + G2n ? (zn Gzn ? G)2 = 0.
z z

Предположим, что ? = 0. Тогда справедливо равенство
1 + G2n + (zn Gzn ? G)2 = 0.
z

В переменных vn , w(v1 , v2 ) это соотношение имеет вид
1 + wvn + (vn wvn ? w)2 = 0.
2
(2.36)
Подставляя равенство (2.36) в (1.42), получаем следующую систему ДУЧП на
функции w, ?:
1) (vn ? + wvn )(vm ? + wvm )wvn vm = 0,
2) det wvn vm = 0,
3) (vn ? + wvn )(vm ? + wvm )?vn vm = 0, (2.37)
4) det ?vn vm = 0,
?
?v1 v1 wv2 v2 + ?v2 v2 wv1 v1 ? 2?v1 v2 wv1 v2 = 0.
5)
Из (2.36), (2.37) вытекает, что определитель (1.39) равен нулю. Пришли к
противоречию, источником которого является предположение о том, что ? = 0.
Следовательно, параметр ? с необходимостью равен нулю.
? ?
Пусть теперь Q = 0 или Q = ?0 Pz1 + ?1 , где ?0 , ?1 ? C1 . Так как R(Gz1 ) =
?
Q(Pz1 ) = ?0 , то R = ?0 Gz1 + ?2 , ?2 ? C1 . Следовательно, функции P , G удовле-
творяют соотношениям вида
(2.38)
Pz2 = ?0 Pz1 + ?1 , Gz2 = ?0 Gz1 + ?2 .
Легко видеть, что при ?0 = ±i соотношения (2.38) с помощью вращений из
группы O(2) могут быть приведены к виду
Pz1 = ?1 , Gz1 = ?2
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 145

или Pz1 z1 = Gz1 z1 = 0. Ho эти равенства противоречат предположению I.
Если ?0 = i, то общее решение системы (2.38) может быть записано в виде
1 1
µ1 z ? + f (z), G = µ2 z ? + g(z),
P=
2 2
где f , g — произвольные гладкие функции; µn = ?i?n , z = z1 + iz2 , z ? = z1 ? iz2 .
Подставляя эти выражения в уравнения 1), 2) из (2.32), имеем
g (z 2 + 2µ2 zg + µ2 ) = 0,
? 2
2 ?1/2
1
f (z 2 + 2µ2 zg + µ2 ) = ? 1 ? zz ? ? µ2 z ? + g
? ? (2.39)
2
2
? 1 + 2µ2 g ? (z g ? g)2 .
? ?
Так как по условию I Gz1 z1 = 0, то g = 0. Следователъно, выполнено равенство
?

<< Предыдущая

стр. 35
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>