<< Предыдущая

стр. 36
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

z 2 + 2µ2 zg + µ2 = 0, (2.40)
2

причем µ2 = 0. Разрешая (2.41) относительно функции g(z), имеем
1 z µ2
g(z) = ? (2.41)
+ .
2 µ2 z
Функция (2.41) тождественно удовлетворяет равенству
1 + 2µ2 g ? (z g ? g)2 = 0,
? ?
из которого вытекает справедливость соотношения
1 + G2n ? (zn Gzn ? G)2 |G= 1 µ2 z? +g(z) = 1 + 2µ2 g ? (z g ? g)2 = 0.
? ?
z 2

Возвращаясь к переменным vn , w(v1 , v2 ), переписываем это равенство в виде
1 + wvn + (vn wvn ? w)2 = 0.
2


Из полученного соотношения в силу уравнений (1.42) следует, что определи-
тель (1.39) равен нулю. Пришли к противоречию.
С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что случай ?0 = ?i
также приводит к противоречию.
Рассмотрим теперь случай II. Подставляя в уравнения 3),4) из (2.32) равенства
Pz1 z1 = 0, Gz1 z1 = 0, имеем
Pz1 z2 = Gz1 z2 = 0,
откуда
(2.42)
P = ?1 z1 + f (z2 ), G = ?2 z1 + g(z2 ).
В (2.42) f, g ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольные функции; ?n ? C1 .
Подставляя выражения (2.42) в остальные уравнения системы (2.32), убежда-
емся в том, что пятое уравнение выполняется тождественно, а первое и второе
представляются в виде
g (1 + ?2 )(1 ? z2 ) ? g 2 = 0,
2
1) ? 2
?1/2
?
f (1 + ?2 )(1 ? z2 ) ? g 2 = ?? 1 ? zn ? (?2 z1 + g)2 ? (2.43)
2 2
2) 2
? 1 + ?2 + g 2 ? (z2 g ? g)2 .
? ?
2
146 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Если ? = 0, то необходимым условием совместности системы (2.43) является
требование, чтобы правая часть уравнения 2) не зависела от z1 . Приравнивая к
нулю коэффициенты при степенях z1 , имеем
1 + ?2 = 0, g = 0.
2

Следовательно, выполнено соотношение
1 + G2n ? (zn Gzn ? G)2 |G=?2 z1 +g(z2 ) = 1 + ?2 + g 2 ? (z2 g ? g)2 = 0,
? ?
z 2

откуда в силу уравнений (1.42) вытекает равенство нулю определителя (1.39).
Итак, мы пришли к противоречию, источником которого является предположение
о том, что ? = 0. Следовательно, параметр ? с необходимостью равен нулю.
Обратимся к случаю III. При Gz1 z1 = 0, Pz1 z1 = 0 из четвертого и пятого
уравнений системы ДУЧП (2.32) следует, что
Pz1 z2 = Pz2 z2 = 0.
Подстановка полученных результатов в уравнение 2) из (2.32) приводит к та-
кому соотношению
? 1 + G2n ? (zn Gzn ? G)2 = 0.
z

Второй сомножитель не равен нулю, так как в противном случае определитель
(1.39) равен нулю, что невозможно. Следовательно, ? = 0.
Нам осталось рассмотреть случай IV. При Gz1 z1 = 0, Pz1 z1 = 0 из третьего и
пятого уравнений система (2.32) вытекают такие соотношения:
Gz1 z2 = Gz2 z2 = 0,
откуда
?n , ?0 ? C1 . (2.44)
G = ? n zn + ? 0 ,
Кроме того, из четвертого уравнения систему (2.32) следует существование
дважды непрерывно-дифференцируемой функции Q(Pz1 ) такой, что
(2.45)
Pz2 = Q(Pz1 ).
Подставляя полученные результаты в уравнения 1), 2) из (2.32), приходим к
следующему соотношению:
? ? ?
(1 + Q2 ) 1 ? (?n zn + ?0 )2 ? (z1 + z2 Q)2 + (1 ? zn )(?1 Q ? ?2 )2 +
2


? ?
+ 2(?n zn + ?0 )(z1 Q ? z2 )(?1 Q ? ?2 ) Pz1 z1 = (2.46)
?1/2
= ?? 1 ? zn ? (?n zn + ?0 )2 (1 + ?2 ? ?2 ),
2
n 0

причем множитель 1 + ?2 ? ?2 отличен от нуля, так как в противном случае
n 0
определитель (1.39) равен нулю, что невозможно.
Используя вращения из группы O(2), выражение (2.44) можно преобразовать
к виду
при ?2 = 0;
a) G = ?z1 + ?0 , (2.47а)
n
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 147

при ?2 = 0;
б) G = ?(z1 + i?2 ) + ?0 , (2.47б)
n

Пусть G задается формулой (2.47a). Подставляя ?1 = ?, ?2 = 0 в (2.46), имеем
? ?
(1 + Q2 ) 1 ? (?z1 + ?0 )2 ? (z1 + z2 Q)2 +
2? ? ?
+ ?2 (1 ? zn )Q2 + 2?(?z1 + ?0 )(z1 Q ? z2 )Q Pz1 z1 = (2.48)
?1/2
= ?? 1 ? zn ? (?z1 + ?0 )2 (1 + ?2 ? ?2 ).
2
0

Совершим в ДУЧП (2.45), (2.48) преобразование Эйлера [17]
y1 = Pz1 , y2 = z2 , H = z1 Pz1 Pz1 ? P, Hy1 = z1 , Hy2 = ?Pz2 ,
Hy1 y1 = (Pz1 z1 )?1 , Hy1 y2 = ?Pz1 z2 (Pz1 z1 )?1 , (2.49)
Hy2 y2 = ? det Pzn zm (Pz1 z1 )?1 .
В новых переменных yn , H(y1 , y2 ) уравнение (2.45) линеаризуется
Hy2 = ?Q(y1 ),
откуда
H = ?Q(y1 )y2 + Z(y1 ), (2.50)
где Z(y1 ) ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольная функция.
Подставляя выражение (2.50) в ДУЧП (2.48), записанное в переменных yn ,
H(y1 , y2 ), имеем
(?Qy2 + Z)?1 1 + (1 + ?2 ? ?2 )Q2 ? Z 2 ? (?Z + ?0 )2 =
? ? ? ? ?
0
(2.51)
?1/2
? ? ? ?
= ?? 1 ? ? (y2 Q ? Z)2 (1 + ?2 ) + 2?0 ?(y2 Q ? Z) ? ?2 (1 + ? ? ?2 ).
2 2
y2 0 0

Предположим, что величина
? ? ?
? = 1 + (1 + ?2 ? ?2 )Q2 ? Z 2 ? (?Z + ?0 )2
0

нe равна нулю. Тогда в силу независимости функций Q, Z от y2 , необходимым
условием расщепления уравнения (2.15) попеременной y2 является требование,
чтобы выражение под корнем было точным квадратом. Непосредственный подсчет
показывает, что детерминант этого выражения в точности равен ?. Следователь-
но, при ? = 0, уравнение (2.15) не имеет решений. Из этого заключаем, что
необходимым условием совместности уравнения (2.51) является равенство
? ? ?
1 + (1 + ?2 ? ?2 )Q2 ? Z 2 ? (?Z + ?0 )2 = 0. (2.52)
0

Сравнивая (2.52) и (2.51), приходим к выводу, что ? = 0.
Пусть теперь G задается формулой (2.47б). Переходя в уравнении (2.46) при
?1 = ?, ?2 = i? к новым переменным yn , H(y1 , y2 ) согласно формул (2.49) и
подставляя в полученное соотношение выражение (2.50), имеем
(?Qy2 + Z)?1 (1 + Q2 )(1 ? (?Z + ?0 )2 ) ? Z 2 +
? ? ? ? ?

? ? ? ?? ?
+ ?2 (Q ? i)2 (1 ? Z 2 ) + 2?(?Z + ?0 )QZ(Q ? i) = (2.53)
?1/2
? ? ? ?
= ?? 1 ? y2 ? (Qy2 ? Z)2 ? (?y2 (i ? Q) + ?Z + ?0 )2 (1 ? ?2 ),
2
0

причем 1 ? ?2 = 0.
0
148 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Предположим, что величина
? ? ? ?
? = (1 + Q2 )[1 ? (?Z + ?0 )2 ] ? Z 2 +
(2.54)
? ? ? ?? ?
+ ?2 (Q ? i)2 )(1 ? Z 2 ) + 2?(?Z + ?0 )QZ(Q ? i)
отлична от нуля. Тогда, в силу независимости функций Q, Z от y2 , необходимым
условием расщепления уравнения (2.53) по y2 является требование, чтобы выра-
жение под корнем было точным квадратом. Непосредственный подсчет показывает,
?
что детерминант этого выражения равен ?. Отсюда заключаем, что необходимым
?
условием совместности уравнения (2.53) является равенство ? = 0. Сравнивая это
соотношение с (2.53), приходим к выводу, что ? = 0.
Таким образом, доказано, что переопределенная система ДУЧП (2.32) (а, сле-
довательно, и (1.38)) может быть совместной только тогда, когда ? = 0.
Ввиду того, что среди всех редуцированных систем уравнений (1.38), (1.40)–
(1.44), только системы (1.38), (1.40) содержат числовые параметры ?, ?, из всего
вышеизложенного вытекает следующее утверждение: необходимым условием сов-
местности уравнений (1.2) является такое соотношение:
F (u) = N (u + c)?1 , (2.55)
где c ? C1 — произвольная константа, N = 0, 1, 2, 3.
Но равенство (2.55) является также и достаточным условием совместности си-
стемы ДУЧП (1.2), так как последняя имеет при F (u) вида (2.55) следующие
решения:
u = ?c + x0 ;
N = 0,
1/2
u = ?c + x2 ? x2
N = 1, ;
0 1
1/2
u = ?c + x2 ? x2 ? x2
N = 2, ;
0 1 2
1/2
u = ?c + x2 ? x2 ? x2 ? x2
N = 3, .
0 1 2 3

Подставляя (2.55) в (2.2) и совершая замену переменных, обратную к (1.1),
приходим к ДУЧП вида (1а,б), где функции F1 (u), F2 (u) задаются выражениями
(2.1). Теорема доказана.
§ 3. Интегрирование уравнений Даламбера–Гамильтона
В основе предлагаемого нами подхода к интегрированию переопределенной си-
стемы ДУЧП (1.2) также лежит метод нелокальных (контактных) преобразова-
ний. Явный вид используемых контактных преобразований существенно зависит
от ранга r матрицы uµ? , поэтому следует отдельно исследовать каждый из слу-
чаев r = 1, 2, 3.
I. Рассмотрим случай, когда rank uµ? = 3. Как было установлено в §§ 1, 2,
при таком условии система (1.2) совместна, если и только если F (u) = 3(u + c)?1 ,
причем ее общее решение задается следующими формулами:
u + c = x0 (1 + va )1/2 + xa va + ?(v1 , v2 , v3 ),
2
(3.1)
где va = va (x) — гладкие функции, определяемые такими соотношениями
xa + x0 va (1 + vb )1/2 + ?va = 0,
2
(3.2)
a = 1, 3,
а скалярная функция ?(v) удовлетворяет переопределенной системе ДУЧП (1.38).
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 149

В предыдущем параграфе система ДУЧП (1.38) с помощью локальной замены
переменных (2.2) была приведена к виду (2.3). Далее следует отдельно исследовать
две возможности:
rank pza zb = 1,
1)
rank pza zb = 2,
2)

Пусть имеет место 1). Если pz3 z3 = 0, то из формул (2.5) сразу же следует, что
pz3 zn = pzn zm = 0, n, m = 1, 2, откуда

cµ ? C1 . (3.3)
p(z) = ca za + c0 ,

Если pz3 z3 = 0, то система (2.3) после преобразования Эйлера (2.7) пере-
писывается в виде (2.8), причем ? = 0. Общее решение уравнений (2.8) за-
дается формулой (2.9), где Rn (y3 ), Q(y3 ) — произвольные дважды непрерывно-
дифференцируемые функции, удовлетворяющие, согласно (2.10), следующему соо-
тношению:
?2 ?
1 + Rn ? Q2 = 0, (3.4)
??
причем функции Rn , Q одновременно не равны нулю.
Возвращаясь по формулам (2.7) к переменным zn , p(z), имеем

p(z) = Rn (? )zn + ? z3 ? Q(? ), (3.5)

где ? = ? (z1 , z2 ) определяется из соотношения
? ?
z3 + Rn (? )zn ? Q(? ) = 0, (3.6)

Rn (? ), Q(? ) ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольные функции, удовлетворяющие (3.4).

<< Предыдущая

стр. 36
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>